K3-Fläche

In der Mathematik sind K3-Flächen gewisse komplexe Flächen. Ein klassisches Beispiel ist die Lösungsmenge der Gleichung

${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}=0}$

im dreidimensionalen projektiven Raum. Die Bezeichnung „K3-Fläche“ geht auf André Weil zurück, „in honor of Kummer, Kähler, Kodaira, and the beautiful K2 mountain in Kashmir“.

Definition

Eine K3-Fläche ist eine einfach zusammenhängende, kompakte, komplexe Fläche, deren kanonisches Bündel trivial (äquivalent: auf der es eine nirgends verschwindende holomorphe ${\displaystyle 2}$-Form gibt).

Eine äquivalente Definition ist, dass eine K3-Fläche eine kompakte, zusammenhängende, komplexe Fläche ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle \Omega _{X}^{2}\simeq {\mathcal {O}}_{X}}$ und ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0}$ ist.

Beispiele

• glatte Quartiken im ${\displaystyle \mathbb {C} P^{3}}$ (d. h. durch ein homogenes Polynom vom Grad ${\displaystyle 4}$ ohne kritische Punkte gegebene Hyperflächen)
• Kummer-Flächen (d. h. Quotienten einer abelschen Varietät modulo der Involution ${\displaystyle a\mapsto -a}$)
• entlang einer Sextik verzweigte Überlagerungen der komplex-projektiven Ebene

Eigenschaften

• Der Hodge-Zahlen einer K3-Fläche sind ${\displaystyle h^{0,0}=1,h^{1,0}=h^{0,1}=0,h^{2,0}=h^{0,2}=1,h^{1,1}=20,h^{2,1}=h^{1,2}=0,h^{2,2}=1}$. Insbesondere sind die Betti-Zahlen ${\displaystyle b_{0}(X)=1,b_{1}(X)=0,b_{2}(X)=22,b_{3}(X)=0,b_{4}(X)=1}$. Die Schnittform ist ${\displaystyle E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}}$, wobei ${\displaystyle E_{8}}$ die gleichnamige Form und ${\displaystyle U}$ die hyperbolische Schnittform vom Rang ${\displaystyle 2}$ bezeichnet.
• Alle K3-Flächen sind diffeomorph zueinander.
• K3-Flächen tragen eine Hyperkähler-Metrik, insbesondere sind sie Kähler-Mannigfaltigkeiten.

Weblinks

• D. Huybrechts: Lectures on K3 surfaces