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Mathematische Definition komplexer Flächen Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
In der Mathematik sind komplexe Flächen lokal nach modellierte -dimensionale Mannigfaltigkeiten, deren Kartenwechsel holomorph sind.
Eine projektive analytische Fläche ist eine komplexe Fläche, die in einen komplex-projektiven Raum eingebettet werden kann. Eine komplexe algebraische Fläche ist eine komplexe Fläche, die durch polynomielle Gleichungen in einem komplex-projektiven Raum definiert wird. Nach dem Satz von Chow sind alle projektiven analytischen Flächen algebraisch. Die Hopf-Fläche ist ein Beispiel einer komplexen Fläche, die nicht projektiv analytisch ist.
Eine irreduzible Kurve auf einer komplexen Fläche ist eine (evtl. singuläre) geschlossene, komplex -dimensionale Untermannigfaltigkeit, die nicht als Vereinigung zweier solcher Untermannigfaltigkeiten zerlegt werden kann. Nach dem Satz von Lefschetz über -Klassen ist eine Kohomologieklasse in genau dann eine ganzzahlige Linearkombination von Kurven, wenn sie zu gehört.
Für nichtsinguläre Kurven gilt die Adjunktionsformel .
Jede Klasse in entspricht einem glatten komplexen Geradenbündel, aber nur Klassen in sind Chern-Klassen holomorpher Geradenbündel. Wenn ist, dann ist die Isomorphieklasse eines holomorphen Geradenbündels durch seine Chern-Klasse festgelegt.
Für einen meromorphen Schnitt bezeichnen und die aus den Null- bzw. Polstellen bestehenden Kurven, dann repräsentiert die Linearkombination Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle N(f)-P(f)} die Chern-Klasse des Geradenbündels. Das holomorphe Geradenbündel hat genau dann einen holomorphen Schnitt, wenn die Chern-Klasse eine Linearkombination mit positiven Koeffizienten aus Kurven in der Fläche ist. Die Dimension des Raums der holomorphen Schnitte lässt mit dem Satz von Riemann-Roch abschätzen.
Für das kanonische Bündel einer komplexen Fläche folgt aus dem Signatursatz von Hirzebruch .
Ein Geradenbündel heißt nef („numerically eventually free“), wenn für alle Kurven gilt.
Sei eine einfach zusammenhängende komplexe Fläche. Dann gibt es eine Folge von Blow-Downs so dass entweder
Für die minimalen Modelle, also für einfach zusammenhängende komplexe Flächen, deren kanonisches Bündel nef ist, hat man:
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