Kerr-Metrik

Die Kerr-Metrik ist eine stationäre und axialsymmetrische Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen. Sie beschreibt die Raumzeit und damit auch das Gravitationsfeld eines ungeladenen und rotierenden Schwarzen Loches. Sie ist nach Roy Kerr benannt, der sie 1963 veröffentlicht hat.^[1] Jeweils kurz nach der Entdeckung der Schwarzschild- bzw. Kerr-Metrik wurden auch die zugehörigen Verallgemeinerungen für den Fall von elektrisch geladenen Schwarzen Löchern gefunden. Im Gegensatz zur Schwarzschild-Metrik, die auch im Außenbereich eines nichtrotierenden und sphärisch-symmetrischen Körpers beliebiger Ausdehnung gilt, beschreibt die Kerr-Metrik im Wesentlichen die Raumzeit eines Schwarzen Lochs, denn schnell rotierende Sterne haben oft ein nicht zu vernachlässigendes Multipolmoment und unterschiedliche Dichtegradienten,^[2] sodass sich deren Raumzeit-Geometrie erst in einem gewissen Abstand von der Oberfläche des Sterns an die Kerr-Metrik annähert.^[3]

Metriken für Schwarze Löcher

	statisch	rotierend
ungeladen	Schwarzschild-Metrik	Kerr-Metrik
geladen	Reissner-Nordström-Metrik	Kerr-Newman-Metrik

Die Kerr-Metrik enthält neben den vier raumzeitlichen Koordinaten auch zwei Parameter, die für die gravitierende Masse ${\displaystyle M}$und den Drehimpuls des Schwarzen Loches stehen. Der Parameter ${\displaystyle M}$ legt die felderzeugende, gravitierende Masse inklusive der Rotationsenergie fest. Der Parameter ${\displaystyle a}$ wird auch Kerrparameter genannt. In geometrisierten Einheiten mit ${\displaystyle G=c=1}$ berechnet sich der Drehimpuls ${\displaystyle J}$ des Schwarzen Loches gemäß ${\displaystyle J=aM}$. Wird einem Schwarzen Loch mithilfe des Penrose-Prozesses,^[4][5] seine gesamte Rotationsenergie entzogen, reduziert sich seine gravitierende Masse ${\displaystyle M}$ auf die irreduzible Masse ${\displaystyle M_{\mathrm {ir} }}$. ${\displaystyle M}$ ist also eine Funktion der irreduziblen Masse und des Drehimpulses. Ein positiver Drehimpuls beschreibt vom Nordpol aus betrachtet eine Rotation gegen den Uhrzeigersinn. Ein negativer Drehimpuls beschreibt die entgegengesetzte Richtung.

In den folgenden Abschnitten werden für die weitere Beschreibung der Eigenschaften eines rotierenden Schwarzen Loches immer geometrisierte Einheiten und Boyer-Lindquist-Koordinaten verwendet. Boyer-Lindquist-Koordinaten sind verallgemeinerte Kugelkoordinaten. Diese enthalten neben einer zeitartigen Koordinate ${\displaystyle t}$ demnach auch eine radiale Koordinate ${\displaystyle r}$, die im Folgenden häufig verwendet wird.

Besondere Flächen

Die Raumzeit, die durch die Kerr-Metrik beschrieben wird, besitzt aufgrund der Nullstellen im Nenner der Komponenten des metrischen Tensors einige Besonderheiten, die näher untersucht werden können. Genau wie bei einem ungeladenen und nicht-rotierenden Schwarzen Loch gibt es auch hier sogenannte lichtartige und stationäre Untermannigfaltigkeiten. Eine dieser Untermannigfaltigkeiten bildet einen physikalisch bedeutsamen Ereignishorizont, weil der Lichtkegel aller Punkte auf dieser Fläche komplett auf der Innenseite dieser Fläche liegt. Demnach können Lichtstrahlen den Ereignishorizont nur in Richtung hin zur Singularität bei ${\displaystyle r=0}$ verlassen. Neben dem Ereignishorizont gibt es noch eine zweite physikalisch bedeutsame Fläche, die im Folgenden näher beschrieben wird. Weiterführende Rechnungen zeigen, dass nur der äußere Ereignishorizont und die äußere Ergosphäre eine eigentliche physikalische Bedeutung hat.^[6]

Um eine anschauliche Vorstellung von der Form der besonderen Flächen zu bekommen, kann man entweder Koordinaten mit einer anschaulichen Bedeutung, wie den Kerr-Schild-Koordinaten verwenden oder man untersucht das Krümmungsverhalten dieser Flächen. In den Grafiken wird die Darstellung des metrischen Tensors in Kerr-Schild-Koordinaten verwendet. Eine Beschreibung des Krümmungsverhaltens der besonderen Flächen kann den angegebenen Referenzen entnommen werden.^[7][6]

Ereignishorizont

Geometrische Darstellung der Ereignishorizonte und Ergosphären der Kerr-Raumzeit in Kerr-Schild-Koordinaten. Die Ringsingularität liegt an der äquatorialen Ausbuchtung der inneren Ergosphäre bei ${\displaystyle R=a.}$^[8]

Größenvergleich des Schattens (schwarz) und der besonderen Flächen (weiß) eines Schwarzen Lochs. Der Spinparameter ${\displaystyle a}$ läuft von 0 bis ${\displaystyle M,}$ wobei die linke Seite des Schwarzen Lochs auf den Beobachter zu rotiert.^[9]

In Boyer-Lindquist-Koordinaten entarten die oben angegebenen Komponenten des metrischen Tensors auf mehreren Flächen. Mit den Bezeichnungen von oben kann beispielsweise der Nenner der rein radialen Komponente ${\displaystyle g_{rr}}$ gleich Null werden, wenn ${\displaystyle \Delta =0}$ gesetzt und nach ${\displaystyle r}$ aufgelöst wird. Die beiden Ereignishorizonte liegen damit auf

${\displaystyle r_{\text{H}}^{\pm }\ =\ M\ \pm \ {\sqrt {M^{2}\ -\ a^{2}}}.}$

Die beiden Flächen, die durch die Werte von ${\displaystyle r_{\text{H}}^{\pm }}$ definiert werden, werden als innerer und äußerer Ereignishorizont bezeichnet. Der Wert unter der Wurzel wird nicht negativ, solange die irreduzible Masse und der Kerr-Parameter als unabhängige physikalische Parameter vorausgesetzt werden. Bei maximaler Rotation mit ${\displaystyle a=M}$ fallen beide Werte mit dem Gravitationsradius ${\displaystyle r_{G}=M}$ zusammen. Bei minimaler Rotation mit ${\displaystyle a=0}$ fällt der positive Wert mit dem Schwarzschild-Radius ${\displaystyle r_{s}=2r_{G}}$ zusammen und es gilt ${\displaystyle r_{\text{H}}^{-}=0}$. Obwohl die radiale Koordinate ${\displaystyle r}$ bei beiden Ereignishorizonten einen konstanten Wert besitzt, weicht das geometrische Krümmungsverhalten der Ereignishorizonte stark von dem Krümmungsverhalten einer Kugeloberfläche ab.^[6][7] Der innere Ereignishorizont, bei dem es sich um einen Cauchy-Horizont handelt, entzieht sich der direkten Beobachtung, solange für den Spinparameter ${\displaystyle a\leq M}$ gilt.^[10] Da die Raumzeit im Inneren desselben extrem instabil ist, gilt es als eher unwahrscheinlich, dass sich ein solcher bei einem realen Kollaps eines Sterns tatsächlich ausbildet.^[8]

Ergosphäre

Zwei weitere Flächen ergeben sich in Boyer-Lindquist-Koordinaten aufgrund eines Vorzeichenwechsels der zeitartigen Komponente ${\displaystyle g_{tt}}$. Die Bedingung ${\displaystyle g_{tt}=0}$ führt hier erneut auf eine quadratische Gleichung mit den Lösungen

${\displaystyle r_{\text{E}}^{\pm }=M\pm {\sqrt {M^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}.}$

Diese zwei Flächen können wegen des Terms ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$ unter der Wurzel bei geringem Spinparameter als abgeflachte Sphären bzw. Rotationsellipsoide dargestellt werden. Die äußere Fläche berührt dabei den äußeren Ereignishorizont an den zwei Polen, die durch die Rotationsachse definiert werden. Die beiden Pole entsprechen einem Winkel ${\displaystyle \theta }$ von ${\displaystyle 0}$ bzw. ${\displaystyle \pi }$. Bei einem höheren Spinparameter beult sich die Ergosphäre von den Polen weg auch auf der z-Achse kürbisförmig^[11] aus, während der innere Ereignishorizont auf den äußeren zu konvergiert und bei ${\displaystyle a=M}$ mit diesem zusammenfällt.

Der Raum zwischen den zwei äußeren Flächen mit ${\displaystyle r=r_{\text{H}}^{\text{+}}}$ und ${\displaystyle r=r_{\text{E}}^{\text{+}}}$ wird Ergosphäre genannt. Für ein massebehaftetes Teilchen ist ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}}$ entlang seiner Weltlinie negativ. Da innerhalb der Ergospäre die Komponente ${\displaystyle g_{tt}}$ der Metrik positiv ist, ist dies jedoch nur dann möglich, wenn das Teilchen mit einer gewissen Mindest-Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \Omega }$ mit der inneren Masse ${\displaystyle M}$ mitrotiert. Es kann deshalb innerhalb der Ergosphäre keine Teilchen geben, die ruhen oder sich in entgegengesetzter Richtung zu der Masse auf der Ringsingularität drehen, da die lokale Transversalgeschwindigkeit des Raumzeitstrudels (der Frame-Dragging-Effekt) ${\displaystyle v_{\mathrm {zamo} }=\Omega \ {\bar {R}}\ \varsigma }$ ab dem äußeren Rand der Ergosphäre größer gleich der Lichtgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$ ist.^[12][13]

Schatten

Beim Schatten eines Schwarzen Lochs handelt es sich um den schwarzen Bereich, den ein Beobachter an der Stelle sieht, wo sich das Schwarze Loch befindet. Es handelt sich also um die scheinbare Ausdehnung des Schwarzen Lochs, die aufgrund der starken Krümmung der Raumzeit in der Nähe des Schwarzen Loches immer größer als der äußere Ereignishorizont ist.

Der Umriss des Schattens kann entweder mit numerischer Integration der lichtartigen Geodäten oder auch durch fouriertransformierte Limaçons berechnet werden.^{[14][15][16][17][18]}

Der Beobachter wird im Folgenden als in weiter Entfernung vom Schwarzen Loch und stationär angenommen. ${\displaystyle \theta }$ bezeichnet den Polarwinkel der Position des Beobachters. ${\displaystyle \theta =0}$ und ${\displaystyle \theta =\pi }$ entspricht also einer Position auf der Symmetrieachse der betrachteten Raumzeit. ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ entspricht dagegen einer Position in der äquatorialen Ebene. Die Wellenlänge des Lichts wird im Vergleich zum Gravitationsradius als vernachlässigbar klein betrachtet. Die Konturlinien sind gegeben durch

${\displaystyle 0=(x^{2}+z^{2}-x\ A)^{2}-B^{2}\ (x^{2}+z^{2})}$

mit den beiden Parametern

${\displaystyle A=\alpha \sin \theta +{\bar {a}}\sin ^{3}\theta \cos ^{2}\theta /5}$

${\displaystyle B=\beta +0{,}23\cos ^{4}\theta \ (1-{\sqrt {1-{\bar {a}}^{4}}}),}$

die noch vom Kerrparameter und der Position des Beobachters abhängen. Ferner gilt noch die folgende Reihenentwicklung

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha =&-8892{,}68{\bar {a}}^{10}+30413{,}2{\bar {a}}^{9}-46107{,}4{\bar {a}}^{8}+\\&+37064{,}7{\bar {a}}^{7}-18685{,}4{\bar {a}}^{6}+4666{,}5{\bar {a}}^{5}-3894{,}54{\bar {a}}^{4}+\\&+49{,}5645{\bar {a}}^{3}-9672{,}25{\bar {a}}^{2}+2{,}27392{\bar {a}}+9669{,}01{\bar {a}}\ \tan({\bar {a}})\end{aligned}}}$

${\displaystyle \beta =5{,}19058-0{,}343743{\bar {a}}\ \tan({\bar {a}})+0{,}0284803{\bar {a}}-0{,}0470795{\bar {a}}^{\ 27{,}5224}\tan({\bar {a}})}$

mit ${\displaystyle {\bar {a}}=a/M}$, wodurch die beobachteten Längenmaßstäbe hier in Einheiten von ${\displaystyle GM/c^{2}}$ betrachtet werden. Der beobachtete Radius des Schattens in Polarkoordinaten ist damit ${\displaystyle r_{\mathrm {obs} }=A\cos \vartheta +B}$. Aus der polaren Ansicht bei ${\displaystyle \theta =0}$ rotiert das Schwarze Loch aus der Sicht des Beobachters gegen den Uhrzeigersinn und aus dem Blickwinkel ${\displaystyle \theta =\pi }$ im Uhrzeigersinn. Der beobachtete Radius des Schattens eines nichtrotierenden Schwarzen Lochs liegt damit bei bzw. knapp über ${\displaystyle {\sqrt {27}}GM/c^{2}\approx 5GM/c^{2}}$. Das trifft auch für rotierende Schwarze Löcher zu, wenn diese aus der polaren Perspektive betrachtet werden. Je weiter die Position des Beobachters in der äquatorialen Ebene liegt, umso stärker wird die asymmetrische Verzerrung. Auf der dem Beobachter entgegenrotierenden Seite wird der Schatten eingedellt und auf der von ihm wegrotierenden Seite ausgebeult.

Drehimpuls

Für ${\displaystyle a>M}$ würde sich theoretisch eine nackte Singularität bilden.^[10] Kip Thorne folgerte aber bereits 1974 aus Computersimulationen, dass Schwarze Löcher diesen Grenzwert nicht erreichen. Seine Simulationen deuteten damals auf einen maximalen Kerrparameter von ${\displaystyle a\approx 0{,}998M}$.^[19] Simulationen zur Kollision zweier Schwarzer Löcher bei hohen Energien von 2009 von E. Berti und Kollegen zeigten, dass der Grenzwert mit ${\displaystyle a=0{,}95M}$ zwar fast erreicht, aber nicht überschritten wird, da Energie und Drehimpuls durch Gravitationswellen abgestrahlt werden.^[20]

Allgemein wird auch aufgrund der Cosmic-Censorship-Hypothese davon ausgegangen, dass der Grenzwert prinzipiell nicht überschritten werden kann.^[21] Diese Begrenzung für Schwarze Löcher gilt nicht für Sterne und andere Objekte mit einer Ausdehnung, die signifikant größer als ihr äußerer Ereignishorizont ist. Bevor solche Objekte zu einem Schwarzen Loch kollabieren, müssen diese also einen Teil ihres Drehimpulses abgeben, bis der Kerrparameter des resultierenden Schwarzen Lochs dann bei ${\displaystyle a<M}$ liegt.^[22][23][24] Bei einem Kerrparameter von ${\displaystyle a=M}$ würde der Ereignishorizont zudem mit Lichtgeschwindigkeit rotieren. Dieser Grenzwert wird in der Natur zwar nicht erreicht, jedoch kommen manche Schwarze Löcher wie z. B. jenes im Kern der Spiralgalaxie NGC 1365 oder Markarian 335 sehr nah an dieses Limit heran.^{[25][26][27][28]}

Die Polstellen der Schwarzschild-Metrik in Schwarzschildkoordinaten sind nur durch die spezielle Wahl der Koordinaten begründet. Das gilt auch für die Polstellen der Kerr-Metrik in Boyer-Lindquist-Koordinaten. Durch eine andere Wahl der Koordinaten kann die Raumzeit der Kerr-Metrik ebenfalls bis in das Innere der Ereignishorizonte stetig und ohne Polstellen in der Metrik beschrieben werden.

Linienelement

Im Artikel wird, wie in der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) oftmals verwendet, die Vorzeichenkonvention ${\displaystyle {(-,+,+,+)}}$ für die Metrik benutzt.

Boyer-Lindquist-Koordinaten

Mit den kovarianten

${\displaystyle g_{tt}=\zeta -1,\ g_{rr}={\frac {\Sigma }{\Delta }},\ g_{\theta \theta }=\Sigma ,\ g_{\phi \phi }={\frac {\chi \sin ^{2}\theta }{\Sigma }},\ g_{t\phi }=-a\zeta \sin ^{2}\theta }$

und den durch Matrixinvertierung erhaltenen kontravarianten

${\displaystyle g^{tt}=-{\frac {\chi }{\Delta \Sigma }},g^{rr}={\frac {\Delta }{\Sigma }},g^{\theta \theta }={\frac {1}{\Sigma }},g^{\phi \phi }={\frac {\Delta -a^{2}\sin ^{2}\theta }{\Delta \Sigma \sin ^{2}\theta }},\ g^{t\phi }=-{\frac {a\zeta }{\Delta }}}$

metrischen Koeffizienten^[29][30][31] lautet das Linienelement der Kerr-Raumzeit in Boyer-Lindquist-Koordinaten und geometrisierten Einheiten, d. h. ${\displaystyle G=c=1}$:^[29][32]

${\displaystyle {\mathrm {d} s}^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=g_{tt}\mathrm {d} t^{2}+g_{rr}\mathrm {d} r^{2}+g_{\theta \theta }\mathrm {d} \theta ^{2}+g_{\phi \phi }\mathrm {d} \phi ^{2}+2g_{t\phi }\mathrm {d} t\mathrm {d} \phi ,}$

oder ausgeschrieben

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=(\zeta -1)\mathrm {d} t^{2}+{\frac {\Sigma }{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}+\Sigma \mathrm {d} \theta ^{2}+{\frac {\chi \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\mathrm {d} \phi ^{2}-2a\zeta \sin ^{2}\theta \mathrm {d} t\mathrm {d} \phi }$

Der D’Alembert-Operator lautet:

${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }=g^{\mu \nu }\left({\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right){\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}=g^{tt}\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}+g^{rr}\left({\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{2}+g^{\theta \theta }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)^{2}+g^{\phi \phi }\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)^{2}+2g^{t\phi }\,{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\frac {\partial }{\partial t}}}$

Es gilt:

${\displaystyle r_{\mathrm {s} }=2M,\quad a=J/M,\quad \Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta ,\quad \Delta =r^{2}-r_{\mathrm {s} }\ r+a^{2},\quad \chi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta \Delta ,\quad \zeta =r_{\mathrm {s} }r/\Sigma }$

${\displaystyle M}$ ist die felderzeugende, gravitierende Masse inklusive der Rotationsenergie. Die irreduzible Masse ${\displaystyle M_{\mathrm {ir} }}$ hängt mit dem Kerr-Parameter und der gravitierenden Masse wie folgt zusammen^[33][34]

${\displaystyle M={\frac {2M_{\mathrm {ir} }^{2}}{\sqrt {4M_{\mathrm {ir} }^{2}-a^{2}}}}\Rightarrow M\geq M_{\mathrm {ir} },\ M\geq a}$

oder nach ${\displaystyle M_{\mathrm {ir} }}$ aufgelöst:

${\displaystyle 2M_{\mathrm {ir} }^{2}=M\left(M+{\sqrt {M^{2}-a^{2}}}\right)}$

Der Rotationsenergie ${\displaystyle E_{\mathrm {rot} }=M-M_{\mathrm {ir} }}$ kann in Übereinstimmung mit der Äquivalenz von Masse und Energie eine Masse zugeordnet werden. ${\displaystyle r_{\mathrm {s} }}$ ist der Schwarzschild-Radius. Für den Fall einer verschwindenden Rotation mit ${\displaystyle a=0}$ reduziert sich das obige Linienelement auf das Schwarzschild-Linienelement in Schwarzschild-Koordinaten. Setzt man zusätzlich den Masseparameter auf Null ${\displaystyle M=0}$ reduziert sich das obige Linienelement auf das Linienelement der Minkowski-Raumzeit in Kugelkoordinaten.

Kerr-Koordinaten

In der Originalarbeit von R. Kerr wird die Metrik in zwei Koordinatensystemen angegeben.^[1] Bei der ersten Form reduziert sich das Linienelement mit ${\displaystyle a=0}$ auf das Linienelement der Schwarzschild-Metrik in Eddington-Finkelstein-Koordinaten.^[35]

Die nichtverschwindenden kovarianten metrischen Komponenten lauten:^[36][30]

${\displaystyle g_{uu}=\zeta -1,\,g_{ur}=1,\,g_{u{\hat {\varphi }}}=\zeta a\sin ^{2}\theta ,\,g_{r{\hat {\varphi }}}=a\sin ^{2}\theta ,\,g_{\theta \theta }=\Sigma ,\,g_{{\hat {\varphi }}{\hat {\varphi }}}=\Sigma \sin ^{2}\theta +a^{2}(1+\zeta )\sin ^{4}\theta }$

Die kontravarianten Komponenten ergeben sich durch Matrixinvertierung:

${\displaystyle g^{uu}={\frac {a^{2}\sin ^{2}\theta }{\Sigma }},\,g^{ur}={\frac {r^{2}+a^{2}}{\Sigma }},\,g^{u{\hat {\varphi }}}={\frac {-a}{\Sigma }},\,g^{rr}={\frac {r^{2}+a^{2}}{\Sigma }}-\zeta ,\,g^{r{\hat {\varphi }}}={\frac {-a}{\Sigma }},\,g^{\theta \theta }={\frac {1}{\Sigma }},\,g^{{\hat {\varphi }}{\hat {\varphi }}}=-{\frac {1}{\Sigma \sin ^{2}\theta }}}$

Die radiale Koordinate ${\displaystyle r}$ und der Polwinkel ${\displaystyle \theta }$ sind identisch mit ihren Boyer-Lindquist-Pendants. Die beiden anderen Koordinaten unterscheiden sich von den Boyer-Lindquist-Pendants.

Der lokale Beobachter mit konstantem ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle {\hat {\varphi }}}$ befindet sich nicht auf einer festen Radialkoordinate. Er fällt radial gemäß

${\displaystyle \mathrm {d} r/\mathrm {d} t=-r_{\mathrm {s} }\ r\ \Delta /\chi }$

auf die zentrale Masse zu, während er wie der lokale Boyer-Lindquist-Beobachter mit der Winkelgeschwindigkeit

${\displaystyle \mathrm {d} \phi /\mathrm {d} t=r_{\mathrm {s} }\ r\ a/\chi }$

um die Symmetrieachse rotiert.^[36]

So ein gedachter lokaler Beobachter wird in der Literatur auch „zero angular momentum observer“ oder kurz ZAMO genannt.^[37][38] Siehe dazu auch weiter unten den Abschnitt Bahn von Testkörpern.

Kerr-Schild-Koordinaten

Die zweite Form des metrischen Tensors aus Kerrs Originalarbeit erhält man über die Koordinatentransformation:^[1][6]

${\displaystyle x=(r\cos {\hat {\varphi }}+a\sin {\hat {\varphi }})\sin \theta ,\quad y=(r\sin {\hat {\varphi }}-a\cos {\hat {\varphi }})\sin \theta ,\quad z=r\cos \theta ,\quad {\hat {t}}=u\,-\,r}$

Diese Koordinaten werden in der Literatur auch als Kerr-Schild-Koordinaten bezeichnet. In diesen Koordinaten wird die Koordinatensingularität am Ereignishorizont vermieden.^[4][32][35]

Das Linienelement lautet:

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}-\mathrm {d} {\hat {t}}^{2}+{\frac {r_{\mathrm {s} }\ r^{3}}{r^{4}+a^{2}\ z^{2}}}\ \left(\mathrm {d} {\hat {t}}+{\frac {r\ (x\ \mathrm {d} x+y\ \mathrm {d} y)}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {a\ (y\ \mathrm {d} x-x\ \mathrm {d} y)}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z\ \mathrm {d} z}{r}}\right)^{2}}$

Aufgrund der verwendeten Koordinatentransformationen gilt die folgende Gleichung:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}+a^{2}\left(1-{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\right)}$

Bahn von Testkörpern

Für alle ab hier folgenden Gleichungen wird der metrische Tensor in Boyer-Lindquist-Koordinaten verwendet. Zusätzlich wird ${\displaystyle M=1}$ gesetzt.

Körper, deren Masse so klein ist, dass das zugehörige Gravitationsfeld keinen wesentlichen Anteil zur Raumzeitgeometrie liefert, werden Testkörper genannt. Die kräftefreien Bewegungen dieser Testkörper im Gravitationsfeld des Schwarzen Loches entsprechen in guter Näherung denen von frei fallenden Beobachtern (FFO). Die zugehörigen Bahnen können mit Hilfe des hamiltonschen Prinzips und den daraus folgenden kanonischen Gleichungen oder den Geodätengleichungen beschrieben werden. Aus den kanonischen Gleichungen folgt, dass jede kovariante Komponente eines generalisierten Impulses immer dann konstant ist, wenn alle Komponenten des metrischen Tensors von der zugehörigen Koordinate unabhängig sind.

Für Testkörper mit einer invarianten Masse ${\displaystyle \mu }$ ungleich Null gilt

${\displaystyle p^{\alpha }=\mu {\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}}$.

Dabei ist der Parameter ${\displaystyle \tau }$ gleich der Eigenzeit einer mit dem Testkörper mitgeführten Uhr. Die so berechneten vier Komponenten entsprechen dann genau den kontravarianten Komponenten des Viererimpulses des Testkörpers.

Für Testkörper mit verschwindender Masse wie Licht gilt hingegen

${\displaystyle p^{\alpha }={\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}}$

mit einem geeigneten affinen Bahnparameter ${\displaystyle \lambda }$, der so gewählt wird, dass die gewünschten Rand- oder Startbedingungen für die zu untersuchenden Lichtstrahlen gelten.

In beiden Fällen gilt ferner ohne Einschränkungen

${\displaystyle p_{\alpha }=g_{\alpha \beta }p^{\beta }}$.

Bei der Kerr-Metrik sind nun alle Komponenten des metrischen Tensors nicht von der Zeit und der Koordinate ${\displaystyle \phi }$ abhängig. Es gilt also:

${\displaystyle E=-p_{t}}$

${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }}$

Dabei ist ${\displaystyle E}$ die konstante Gesamtenergie des Testkörpers entlang der geodätischen Bahn um das Schwarze Loch. Sie setzt sich bei Testköpern mit Masse aus der kinetischen, der potentiellen und der Ruheenergie zusammen, bleibt entlang der geodätischen Bahn immer erhalten und ist damit eine Integrationskonstante. Ebenso führt die Rotationssymmetrie der Kerr-Raumzeit zur Erhaltung des Drehimpulses ${\displaystyle L_{z}}$ des Testkörpers in Bezug auf die raumartige Symmetrieachse der Kerr-Metrik. Diese Symmetrieachse liegt parallel zum Drehimpuls des Schwarzen Loches.^[39][4]

Ferner gilt auch immer

${\displaystyle -\mu ^{2}=p^{\alpha }g_{\alpha \beta }p^{\beta }}$.

Brandon Carter zeigte weiter über die Verwendung des Hamilton-Jacobi-Formalismus, dass es für die Bahnen von Testkörpern auch noch eine vierte Bewegungskonstante ${\displaystyle Q}$ gibt.^[40][18][4] Diese Konstante wird in der Literatur als Carter-Konstante bezeichnet. Sie hängt mit der Energie und dem Drehimpuls des Testkörpers wie folgt zusammen:

${\displaystyle Q=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)}$

Die vier Bewegungsgleichungen zweiter Ordnung (Geodätengleichung) enthalten einschließlich der invarianten Masse ${\displaystyle \mu }$ des Testkörpers also insgesamt vier Integrationskonstanten und sind demnach einmal integrierbar. Die Bewegungsgleichungen können damit beispielsweise auf die folgende Form gebracht werden.^[41][40]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma {\frac {dr}{d\lambda }}&=\pm {\sqrt {R(r)}}\\\Sigma {\frac {d\theta }{d\lambda }}&=\pm {\sqrt {\Theta (\theta )}}\\\Sigma {\frac {d\phi }{d\lambda }}&=-\left(aE-{\frac {L_{z}}{\sin ^{2}\theta }}\right)+{\frac {a}{\Delta }}P(r)\\\Sigma {\frac {dt}{d\lambda }}&=-a\left(aE\sin ^{2}\theta -L_{z}\right)+{\frac {r^{2}+a^{2}}{\Delta }}P(r)\end{aligned}}}$

mit:

${\displaystyle \Theta (\theta )=Q-\cos ^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)}$

${\displaystyle P(r)=E\left(r^{2}+a^{2}\right)-aL_{z}}$

${\displaystyle R(r)=P(r)^{2}-\Delta \left(\mu ^{2}r^{2}+(L_{z}-aE)^{2}+Q\right)}$

Aufgrund des Lense-Thirring-Effekts rotiert ein spezieller Beobachter mit konstantem ${\displaystyle r}$, konstantem ${\displaystyle \theta }$ und verschwindendem Drehimpuls ${\displaystyle L_{z}}$ mit einer festen Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \Omega }$ um das Schwarze Loch. Diese Winkelgeschwindigkeit kann in Abhängigkeit von der Koordinate ${\displaystyle r}$ berechnet werden.^[42] Es gilt:

${\displaystyle \Omega ={\frac {d\phi }{dt}}=-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {r_{\mathrm {s} }\ a\ r}{\chi }}}$

So ein Beobachter wird in der Literatur auch „zero-angular-momentum observer“ oder kurz „ZAMO“ genannt. Siehe dazu auch weiter unten den Abschnitt über mitbewegte Inertialsysteme.

Numerische Berechnung der Bahnen

Prograde Bahn eines Testkörpers um ein rotierendes Schwarzes Loch mit ${\displaystyle a=0{,}9\ M}$

Retrograde Bahn bei einem Spinparameter von ${\displaystyle a=0{,}95\ M}$

Der Einfachheit halber verwendet man für numerische Berechnungen der Bahnen von Testkörpern für massebehaftete Testteilchen anstelle der Masse ${\displaystyle \mu }$ einen auf eins normierten Parameter ${\displaystyle \epsilon }$ und für masselose Teilchen wie Photonen ${\displaystyle \epsilon =0}$.

Mit den Bezeichnungen von oben gilt:^[18]

${\displaystyle p_{t}=-E}$

${\displaystyle p_{r}=\Sigma \Delta ^{-1}{\dot {r}}}$

${\displaystyle p_{\theta }=\Sigma {\dot {\Theta }}}$

${\displaystyle p_{\phi }=L_{z}}$

Diese Komponenten werden auch im Hamilton-Formalismus verwendet. Der Punkt über den Variablen steht im Fall eines massebehafteten Testkörpers für das Differenzieren nach der Eigenzeit ${\displaystyle \tau }$ und im Fall eines masselosen Testteilchens nach dem affinen Parameter, der anstatt der Eigenzeit die im System der ZAMOs lokal aufintegrierte Strecke des Photons bezeichnet. Dabei ist ${\displaystyle p_{\theta }}$ die polare ${\displaystyle \theta }$-, ${\displaystyle p_{r}}$ die radiale ${\displaystyle r}$- und das konstante ${\displaystyle p_{\phi }=L_{z}}$ die azimutale ${\displaystyle \phi }$-Komponente.^[43]

Da sich die Gleichungen des vorherigen Abschnittes nur bedingt für eine numerische Berechnung der Bahnen von Testkörpern eignen, verwendet man besser Gleichungen, die sich aus dem Hamilton-Formalismus ergeben.^[41] Mit den oben angegebenen Abkürzungen und Konstanten erhält man so ein System aus gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung.^[18][44]

${\displaystyle {\dot {t}}=E+\left(2\ E\ r\ \left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ L_{z}\ r\right)\Delta ^{-1}\ \Sigma ^{-1}={\frac {\varsigma }{\sqrt {1-v^{2}}}}}$

${\displaystyle {\dot {r}}=\Delta \ \Sigma ^{-1}\ p_{r}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}=\Sigma ^{-1}\ p_{\theta }}$

${\displaystyle {\dot {\phi }}=\left(2\ a\ E\ r+L_{z}\ \csc ^{2}\theta \ (\Sigma -2r)\right)\Delta ^{-1}\ \Sigma ^{-1}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{t}=0}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{r}=\left((1-r)\left(\epsilon \ \left(a^{2}+r^{2}\right)+k\right)+2\ E^{2}\ r\left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ E\ L_{z}-\Delta \ \epsilon \ r\right)\Delta ^{-1}\ \Sigma ^{-1}-2\ p_{r}^{2}\ (r-1)\ \Sigma ^{-1}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{\theta }=\sin \theta \ \cos \theta \left(L_{z}^{2}/\sin ^{4}\theta -a^{2}\left(E^{2}-\epsilon \right)\right)\ \Sigma ^{-1}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{\phi }=0}$

mit

${\displaystyle k=a^{2}\left(E^{2}-\epsilon \right)+L_{z}^{2}+Q.}$

Längen werden in ${\displaystyle GM/c^{2}}$, Zeiten in ${\displaystyle GM/c^{3}}$ und der Spinparameter in ${\displaystyle a=Jc/(GM^{2})}$ gemessen. Die vier Konstanten der Bewegung sind wie bereits erwähnt ${\displaystyle E,L_{z},Q}$ und ${\displaystyle \epsilon }$.^[18]

${\displaystyle Q}$ ist die nach ihrem Entdecker Brandon Carter benannte Carter-Konstante:^{[40][18][4][41]}

${\displaystyle Q=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(\mu ^{2}-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (\mu ^{2}-E^{2})\ \sin ^{2}I+L_{z}^{2}\ \tan ^{2}I}$

${\displaystyle I}$ ist der Bahnneigungswinkel des Testteilchens.^[29][4]

Energie und Drehimpuls können auch aus den Eigenzeitableitungen der Koordinaten oder der lokalen Geschwindigkeit gewonnen werden:^[12]

${\displaystyle E=\ -g_{tt}\ {\dot {t}}\ -\ g_{t\phi }\ {\dot {\phi }}=\left(1-{\frac {2r}{\Sigma }}\right){\dot {t}}+{\frac {2ar}{\Sigma }}{\dot {\phi }}\sin ^{2}\theta }$

${\displaystyle L_{z}=g_{\phi \phi }\ {\dot {\phi }}\ +\ g_{t\phi }\ {\dot {t}}={\frac {\sin ^{2}\theta \ ({\dot {\phi }}\ \Delta \ \Sigma -2\ a\ E\ r)}{\Sigma -2\ r}}}$

Im Fall eines massebehafteten Testpartikels erhält man die insgesamt zurückgelegte physikalische Wegstrecke mit dem Integral der Eigenzeit über die lokale 3er-Geschwindigkeit:

${\displaystyle \mathrm {d} {\bar {s}}=\mathrm {d} \tau \ \mathrm {d} v\ \gamma \ ,\ \ {\bar {s}}=\int _{0}^{\tau }v(\tau ')\ \gamma \,\mathrm {d} \tau '}$ mit dem Lorentzfaktor ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {(1-v^{2})}}={\dot {t}}/\varsigma }$

Dabei sind ${\displaystyle v^{r}}$, ${\displaystyle v^{\theta }}$ und ${\displaystyle v^{\phi }}$ die Komponenten der lokalen 3er-Geschwindigkeit^[39]

${\displaystyle v={\sqrt {(v^{r})^{2}+(v^{\theta })^{2}+(v^{\phi })^{2}}}={\sqrt {(v^{x})^{2}+(v^{y})^{2}+(v^{z})^{2}}}}$

entlang der jeweiligen Achsen, und es ergibt sich^[12]

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {\chi (E-L_{z}\ \Omega )^{2}-\Delta \Sigma }{\chi (E-L_{z}\ \Omega )^{2}}}}={\frac {\sqrt {{\dot {t}}^{2}-\varsigma ^{2}}}{\dot {t}}}}$.

Die lokale Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ eines Testkörpers wird relativ zu dem korotierenden Beobachter (ZAMO) gemessen.

Die gravitative Zeitdilatation zwischen einem stationären ZAMO mit festem ${\displaystyle r}$ und ${\displaystyle \theta }$ und einem stationären Beobachter (Koordinatenbuchhalter), der sehr weit vom Schwarzen Loch entfernt ist, berechnet sich gemäß den definierenden Eigenschaften des ZAMO (${\displaystyle L_{z}={\dot {r}}={\dot {\theta }}=0}$) zu:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}={\sqrt {\frac {-g_{\phi \phi }}{g_{tt}g_{\phi \phi }-g_{t\phi }^{2}}}}}$

Mitbewegte Inertialsysteme

Korotation von lokal stationären Messbojen aufgrund des Inertial-Frame-Dragging-Effekts

Das Bezugssystem (frame) eines lokal drehimpulsfreien Beobachters mit ${\displaystyle L_{z}=0}$, der in der Literatur auch „zero angular momentum observer“ oder kurz „ZAMO“ genannt wird, rotiert in der Kerr-Raumzeit mit einer gewissen Winkelgeschwindigkeit um die i. A. ebenfalls rotierende Masse im Zentrum der Raumzeit. Dieser Effekt wird auch Frame-dragging-Effekt genannt.^[26] Es gilt

${\displaystyle \Omega ={\frac {{\rm {d}}\phi }{{\rm {d}}t}}=-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {r_{\mathrm {s} }\ a\ r}{\chi }}}$

Die Winkelgeschwindigkeit entspricht dabei der Ableitung der Winkelkoordinate ${\displaystyle \phi }$ nach der Koordinatenzeit ${\displaystyle t}$ eines relativ zu den Fixsternen stationären Beobachters, der sich in ausreichend großer Entfernung von der Masse befindet.

Da der ZAMO relativ zum ihn lokal umgebenden Raum ruht, nimmt die Beschreibung der lokalen physikalischen Vorgänge in seinem Bezugssystem die einfachste Gestalt an.^[45][39] So ist z. B. nur in seinem Bezugssystem die Geschwindigkeit eines ihn passierenden Lichtstrahls gleich 1, während sie im System eines relativ zu den Fixsternen stationären Beobachters aufgrund der gravitativen Zeitdilatation verlangsamt und aufgrund des Frame-Draggings im Betrag und in der Richtung verschoben wäre. Der ZAMO kann deshalb als lokale Messboje, relativ zu der die Geschwindigkeit vor Ort ${\displaystyle (v)}$ bestimmt wird, verwendet werden.

Die gravitative Zeitdilatation zwischen einem solchen mit ${\displaystyle \Omega }$ mitbewegten und auf fixem ${\displaystyle r}$ sitzenden Beobachter und einem weit entfernten Beobachter beträgt

${\displaystyle \varsigma ={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}={\sqrt {g^{tt}}}}$.

Die radiale lokale Fluchtgeschwindigkeit ${\displaystyle v_{\mathrm {esc} }}$ ergibt sich damit über

${\displaystyle \varsigma ={\frac {1}{\sqrt {1-v_{\mathrm {esc} }^{2}}}}\ \to \ v_{\mathrm {esc} }={\frac {\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}{\varsigma }}}$.

Für einen Testkörper mit ${\displaystyle E=1,\ L=0}$ ergibt sich ${\displaystyle v^{r}=v_{\mathrm {esc} }}$, d. h., er entkommt der Masse mit der exakten Fluchtgeschwindigkeit.

Kreisbahnen

Pro- und retrograde Kreisbahngeschwindigkeit als Funktion von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle r}$

Photonenorbit auf r°_⊥ = (1+√2) GM/c² bei einem lokalen Inklinationswinkel von 90° ${\displaystyle (L_{z}=0).}$ Wegen der Verdrehung der Raumzeit führt das Photon trotz verschwindenden axialen Drehimpulses eine Bewegung entlang der ${\displaystyle \phi }$-Achse aus. Das führt dazu, dass von weitem eine Bahnneigung von 61° gemessen wird.

Ein rotierendes Schwarzes Loch hat 2 Radien, zwischen denen Photonenorbits aller denkbaren Inklinationswinkel möglich sind. In dieser Animation werden alle Photonenorbits für ${\displaystyle a=M}$ gezeigt.

Die pro- und retrograde Kreisbahngeschwindigkeit (relativ zum ZAMO) ergibt sich, indem

${\displaystyle {\dot {p}}_{r}=v^{r}=v^{\theta }=0\ ,\ \ \theta =\pi /2\ ,\ \ v=v^{\phi }\ ,\ \ {\bar {a}}=a/M\ ,\ \ {\bar {r}}=r/M}$

gesetzt und nach ${\displaystyle v^{\phi }}$ aufgelöst wird. Damit ergibt sich als Lösung

${\displaystyle v_{\pm }^{\circ }={\frac {{\bar {a}}^{2}\mp 2{\bar {a}}{\sqrt {\bar {r}}}+{\bar {r}}^{2}}{{\sqrt {{\bar {a}}^{2}+({\bar {r}}-2)r}}\left({\bar {a}}\pm {\bar {r}}^{3/2}\right)}}}$

für die prograde (+) und retrograde (−) Kreisbahngeschwindigkeit. Für Photonen mit ${\displaystyle v=1,\ \mu =0}$ ergibt sich daher

${\displaystyle r_{\pm }^{\circ }=r_{\mathrm {s} }\ \left(\cos \left({\frac {2}{3}}\cos ^{-1}(\mp {\bar {a}})\right)+1\right)}$

für den pro- und retrograden Photonenkreisradius in Boyer-Lindquist-Koordinaten. Für ein Photon mit verschwindendem axialen Drehimpuls, also einem lokalen Inkliniationswinkel von 90°, ergibt sich ein geschlossener Orbit auf^[46]

${\displaystyle r_{\perp }^{\circ }=r_{\mathrm {s} }\ {\sqrt {1-{\frac {{\bar {a}}^{3}}{3}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\cos ^{-1}\left({\frac {1-{\bar {a}}^{2}}{\left(1-{\frac {{\bar {a}}^{2}}{3}}\right)^{3/2}}}\right)\right)+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{2}}.}$

Zwischen ${\displaystyle r_{+}^{\circ }}$ und ${\displaystyle r_{-}^{\circ }}$ sind Photonenorbits aller denkbaren Bahnneigungswinkel zwischen ±180° (retrograd) und 0° (prograd) möglich. Da alle Photonenorbits einen konstanten Boyer-Lindquist-Radius haben,^[47] kann der zum jeweiligen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle r}$ passende Inklinationswinkel gefunden werden, indem die radiale Impulsableitung ${\displaystyle {\dot {p}}_{r}}$ wie oben auf 0, der initiale Breitengrad ${\displaystyle \theta _{0}}$ auf den Äquator gesetzt und nach ${\displaystyle v^{\phi }}$ aufgelöst wird.

Für Photonenorbits auf ${\displaystyle r=3M}$ ergibt sich außerdem für alle ${\displaystyle a}$ ein aus der Ferne beobachteter äquatorialer Inklinationswinkel von 90°. Der lokale Inklinationswinkel relativ zu einem mitrotierenden Beobachter vor Ort (ZAMO) ist höher (der axiale Drehimpuls ist dann negativ), wird aber aufgrund des Frame-Dragging-Effekts kompensiert. Im Schwarzschild-Limit mit ${\displaystyle a=0}$ fallen die Photonenobits aller Bahnneigungswinkel auf ${\displaystyle r^{\circ }=3M}$ und bilden die kugelschalenförmige Photonensphäre.

Im extremen Fall von ${\displaystyle a=M}$ würden sich auf ${\displaystyle r=M}$ sowohl äquatoriale Photonenkreisbahnen mit ${\displaystyle v_{+}^{\circ }=1}$ als auch gleichzeitig Partikelkreisorbits mit ${\displaystyle v_{+}^{\circ }=1/2}$ ergeben. Der Grund dafür ist, dass die vom Zentrum ausgehenden Kreise auf der radialen Koordinate denselben Wert einnehmen können, während sie in der euklidischen Einbettung auch einen unendlichen Abstand zueinander haben können, wenn sie wie im Fall von ${\displaystyle a=M}$ den gleichen lokalen Umfang ${\displaystyle 2\pi {\bar {R}}}$ einnehmen.^[39]

Umfangs- und Flächenformeln

Durch die nichteuklidische Geometrie ergibt sich als Umfang nicht ${\displaystyle U=2\pi \ r}$, sondern in axialer Richtung

${\displaystyle U_{\phi }=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {|g_{\phi \phi }|}}\ \mathrm {d} \phi =2\pi {\bar {R}}}$

mit dem axialen Radius der Gyration^[12][31]

${\displaystyle {\bar {R}}={\sqrt {|g_{\phi \phi }|}}={\sqrt {\frac {\chi }{\Sigma }}}\ \sin \theta ,}$

der am äußeren Ereignishorizont auf der Äquatorebene für alle ${\displaystyle a}$ mit dem Schwarzschildradius ${\displaystyle r_{\mathrm {s} }}$ zusammenfällt.

In polodialer Richtung gilt

${\displaystyle U_{\theta }=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {|g_{\theta \theta }|}}\ \mathrm {d} \theta =4{\sqrt {a^{2}+r^{2}}}\ \xi \left({\frac {a^{2}}{a^{2}+r^{2}}}\right)}$,

wobei die Funktion ${\displaystyle \xi }$ das elliptische Integral 2. Art bezeichnet. Die Oberfläche des Ereignishorizonts ist nicht gleich ${\displaystyle 4\pi r_{\text{H}}^{2}}$, sondern^[48]

${\displaystyle A_{\mathrm {H} }=\int _{0}^{\pi }2\pi {\bar {R}}\ {\sqrt {\Sigma }}\,\mathrm {d} \theta =8\pi Mr_{\text{H}}.}$

Sonstiges

2022 gelang Sergiu Klainerman, Jérémie Szeftel und Elena Giorgi der mathematische Beweis der Stabilität der Kerr-Lösung gegen kleine Störungen bei schwach rotierenden Schwarzen Löchern.^[49][50][51]

Literatur

• Robert Wald: General Relativity. The University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-87032-8.
• Robert H. Boyer, Richard W. Lindquist: Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric. In: Journal of Mathematical Physics. Vol. 8, Issue 2, 1967, S. 265–281. doi:10.1063/1.1705193.
• Barrett O’Neill: The geometry of Kerr black holes. Peters, Wellesley 1995, ISBN 1-56881-019-9.
• David L. Wiltshire, Matt Visser, Susan M. Scott (Hrsg.): The Kerr spacetime: Rotating Black Holes in General Relativity. Cambridge University Press, Cambridge 2009, ISBN 978-0-521-88512-6.
• Roy P. Kerr: The Kerr and Kerr-Schild-Metrics. In: Wiltshire, Visser, Scott: The Kerr Spacetime. Cambridge UP, 2009, S. 38–72 (Erstveröffentlichung: Discovering the Kerr and Kerr-Schild metrics. arxiv:0706.1109).

Weblinks

• Andreas Müller: Schwarze Löcher: Kerr-Metrik. Wissenschaft-Online, August 2007.
• Hendrik van Hees: Gravitation im Universum: Die Kerr-Lösung. (Memento vom 24. November 2017 im Internet Archive). GSI Helmholtzzentrum für Schwerionenforschung.

Einzelnachweise

1. Roy P. Kerr: Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics. In: Physical Review Letters. Band 11, 1963, S. 237–238, doi:10.1103/PhysRevLett.11.237.
2. Masaru Shibata, Misao Sasaki: Innermost stable circular orbits around relativistic rotating stars. (PDF; 220 kB).
3. Nikolaos Stergioulas: Rotating Stars in Relativity. (PDF; 700 kB) S. 16, Kapitel 2.8, arxiv:gr-qc/0302034.
4. Misner, Thorne, Wheeler: Gravitation. S. 899 f., 908.
5. Bhat, Dhurandhar, Dadhich: Energetics of the Kerr-Newman Black Hole by the Penrose Process. S. 94 ff.
6. Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction. (Erstveröffentlichung: arxiv:0706.0622), S. 27. (PDF; 321 kB), Formel 116.
7. Larry Smarr: Surface Geometry of Charged Rotating Black Holes. Physical Review D 7 (1973), S. 269–295, Abstract. In: journals.aps.org. Abgerufen am 8. Oktober 2022.
8. Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction. (Erstveröffentlichung: arxiv:0706.0622), S. 35. (PDF; 321 kB), Fig. 3.
9. Andreas de Vries: Shadows of rotating black holes. (PDF; 227 kB).
10. Gerald Marsh: The infinite red-shift surfaces of the Kerr solution. (PDF; 965 kB), S. 7. arxiv:gr-qc/0702114.
11. Katherine Blundell: Black Holes: A Very Short Introduction. S. 31.
12. Scott A. Hughes: Nearly horizon skimming orbits of Kerr black holes. (PDF; 583 kB), S. 5 ff.
13. Daniel Brennan: Energy Extraction from Black Holes. (PDF; 2,0 MB), S. 17.
14. Andreas de Vries: Shadows of rotating black holes. S. 9, Gleichungen (12), (13).
15. Claudio Paganini, Blazej Ruba, Marius Oancea: Null Geodesics on Kerr Spacetimes. (PDF; 4,7 MB), arxiv:1611.06927.
16. Naoki Tsukamoto: Kerr-Newman and rotating regular black hole shadows in flat spacetime. (PDF; 372 kB), arxiv:1708.07427.
17. Grenzebach, Perlick, Lämmerzahl: Photon Regions and Shadows of Kerr–Newman–NUT Black Holes. (PDF; 3,9 MB), arxiv:1403.5234.
18. Hung-Yi Pu, Kiyun Yun, Ziri Younsi, Suk Jin Yoon: A public GPU-based code for general-relativistic radiative transfer in Kerr spacetime. (PDF; 8,9 MB), S. 2 ff., arxiv:1601.02063.
19. Kip Thorne: Disk-Accretion onto a Black Hole. II. Evolution of the Hole. In: Astrophysical Journal, Band 191, 1974, S. 507–520, bibcode:1974ApJ...191..507T.
20. Berti u. a: Cross section, final spin and zoom-whirl behavior in high-energy black hole collisions. In: Phys. Rev. Lett., Band 103, 2009, S. 131102, arxiv:0907.1252.
21. Orlando Luongo, Hernando Quevedo: Characterizing repulsive gravity with curvature eigenvalues. (PDF; 253 kB).
22. Joakim Bolin, Ingemar Bengtsson: The Angular Momentum of Kerr Black Holes. (Memento vom 15. Dezember 2017 im Internet Archive). (PDF), S. 5, 10 f.
23. William Wheaton: Rotation Speed of a Black Hole.
24. Roy Kerr: Spinning Black Holes. (Youtube, Zeitstempel 36:47.) Crafoord Prize Symposium in Astronomy.
25. Supermassive Black Hole Spins Super-Fast. (Memento vom 4. März 2021 im Internet Archive) In: Harvard Smithsonian Center for Astrophysics.
26. Ignazio Ciufolini: Dragging of inertial frames. doi:10.1038/nature06071.
27. NuSTAR Sees Rare Blurring of Black Hole Light. In: NASA.gov.
28. Jeremy Hsu: Black Holes Spin Near Speed of Light.
29. Christopher M. Hirata: Lecture XXVI: Kerr black holes: I. Metric structure and regularity of particle orbits. (PDF; 104 kB), S. 5.
30. Leonardo Gualtieri, Valeria Ferrari (INFN Rome): The Kerr solution. (PDF), Gleichungen 19.6, 19.7, 19.10 (Boyer-Lindquist), 19.52 (Kerr-Schild).
31. Derek Raine, Edwin Thomas: Black Holes: A Student Text. S. 80 ff.
32. Luciano Rezzolla, Olindo Zanotti: Relativistic Hydrodynamics. S. 55 bis 57, Gleichungen 1.249 bis 1.265.
33. Stijn van Tongeren: Rotating Black Holes. (PDF; 1,2 MB), S. 42.
34. Thibault Damour: Black Holes: Energetics and Thermodynamics. (PDF; 263 kB), S. 11.
35. Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction. (Erstveröffentlichung: arxiv:0706.0622), S. 10–14. (PDF; 321 kB), Gleichungen 32–42 u. 55–56.
36. Serguei Komissarov: Electrodynamics of black hole magnetospheres. S. 20, arxiv:astro-ph/0402403v2.
37. Andrei V. Frolov, Valeri P. Frolov: Rigidly rotating ZAMO surfaces in the Kerr spacetime. arxiv:1408.6316v1.
38. Marek Abramowicz: Foundations of Black Hole Accretion Disk Theory. (PDF; 6,3 MB), S. 11 ff., arxiv:1104.5499.
39. James Bardeen: Rotating Black Holes: LNRFs. In: The Astrophysical Journal. 1. Dez. 1972, bibcode:1972ApJ...178..347B. Gleichungen (2.9), (3.2), (3.9) und Abschnitt III. (PDF).
40. Brandon Carter: Global Structure of the Kerr Family of Gravitational Fields. In: Physical Review. Band 174, Nr. 5, 25. Oktober 1968.
41. Janna Levin, Gabe Perez-Giz: A Periodic Table for Black Hole Orbits. (PDF; 2,6 MB), S. 32 ff., arxiv:0802.0459.
42. Andrei V. Frolov, Valeri P. Frolov: Rigidly rotating zero-angular-momentum observer surfaces in the Kerr spacetime. In: Physical Review D. 90. Jahrgang, Nr. 12, 2014, S. 124010, doi:10.1103/PhysRevD.90.124010, arxiv:1408.6316, bibcode:2014PhRvD..90l4010F (englisch).
43. Hakan Cebeci, Nülifer Özdemir: Motion of the charged test particles in Kerr-Newman-Taub-NUT spacetime and analytical solutions. (PDF; 959 kB).
44. Steven Fuerst, Kinwah Wu: Radiation Transfer of Emission Lines in Curved Space-Time. (PDF; 375 kB), S. 4 ff., arxiv:astro-ph/0406401.
45. Andreas Müller: Lexikon der Astronomie. Abschnitte ZAMO und Tetrad.
46. Edward Teo: Spherical Photon Orbits Around A Kerr Black Hole.
47. Leo C. Stein: Kerr Spherical Photon Orbits.
48. Mike Guidry: Chapter 13. Rotating Black Holes. (Memento vom 17. Mai 2017 im Internet Archive). (PDF), S. 9.
49. Giorgi, Klainerman, Szeftel: Wave equations estimates and the nonlinear stability of slowly rotating Kerr black holes. Arxiv 2022.
50. Klainerman, Szeftel: Kerr stability for small angular momentum. Arxiv 2021.
51. Steve Nadis: At Long Last, Mathematical Proof That Black Holes Are Stable. Quanta Magazine, 4. August 2022.