Eine schiefsymmetrische Matrix (auch antisymmetrische Matrix) ist eine Matrix, die gleich dem Negativen ihrer Transponierten ist. In einem Körper mit Charakteristik ungleich zwei sind die schiefsymmetrischen Matrizen genau die alternierenden Matrizen und werden daher häufig mit ihnen gleichgesetzt. Schiefsymmetrische Matrizen werden in der linearen Algebra unter anderem zur Charakterisierung antisymmetrischer Bilinearformen verwendet.
Eng verwandt mit den Matrizen sind die Tensoren zweiter Stufe, die ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel in den Natur- und Ingenieurwissenschaften sind, insbesondere in der Kontinuumsmechanik; siehe #Schiefsymmetrischer Tensor.
Die Matrix
ist schiefsymmetrisch, da
.
Reelle schiefsymmetrische Matrizen
Ist schiefsymmetrisch mit reellen Einträgen, so sind alle Diagonaleinträge notwendigerweise gleich 0. Des Weiteren ist jeder Eigenwert rein imaginär oder gleich 0.
Die Bilinearform zu einer schiefsymmetrischen Matrix ist antisymmetrisch, das heißt,
für alle . Falls die Hauptdiagonaleinträge einer schiefsymmetrischen Matrix alle gleich null sind (wenn die Matrix also alternierend ist), dann ist die zugehörige Bilinearform alternierend, das heißt,
für alle . Umgekehrt ist in einem endlichdimensionalen Vektorraum die Darstellungsmatrix einer antisymmetrischen oder alternierenden Bilinearform bezüglich einer beliebigen Basis stets schiefsymmetrisch, also
- ,
wobei die Hauptdiagonaleinträge von alle gleich null sind.
Exponentialabbildung
Die durch das Matrixexponential definierte Abbildung
- :&{\mathfrak {s}}{\mathfrak {o}}(n)&\to &\operatorname {SO} (n)\\&A&\mapsto &\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}A^{n}\end{matrix}}}
ist surjektiv und beschreibt gerade die Exponentialabbildung an der Einheitsmatrix (siehe auch Spezielle orthogonale Gruppe).
Kreuzprodukt
Für den Spezialfall können schiefsymmetrische Matrizen benutzt werden, um das Kreuzprodukt als Matrixmultiplikation auszudrücken.
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren und
kann als Matrixmultiplikation der schiefsymmetrischen Kreuzproduktmatrix
mit dem Vektor ausgedrückt werden:
Auf diese Weise kann eine Formel mit Kreuzprodukt differenziert werden:
Das Exponential der Matrix kann mittels der Rodrigues-Formel wie folgt dargestellt werden
Hierbei ist
| die orthogonale Projektion von auf die durch aufgespannte Gerade , |
| das dazu senkrechte Lot von auf die Achse , |
| der Vektor, der aus durch Rotation um 90° um die Achse entsteht. |
Insgesamt zeigt die Formel, dass durch das Exponential des Kreuzproduktes der Vektor um die durch definierte Achse rotiert wird, mit der Norm von als Winkelgeschwindigkeit.
Tensoren sind ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel in den Natur- und Ingenieurwissenschaften, insbesondere in der Kontinuumsmechanik, da sie neben dem Zahlenwert und der Einheit auch noch Informationen über Orientierungen im Raum enthalten.[Anm. 1] Die Komponenten des Tensors verweisen auf Tupel von Basisvektoren, die durch das dyadische Produkt ⊗ verknüpft sind. Der Anschaulichkeit halber beschränkt sich die allgemeine Darstellung hier auf den reellen dreidimensionalen Vektorraum, nicht zuletzt auch wegen seiner besonderen Relevanz in den Natur- und Ingenieurwissenschaften. Hier sind alle schiefsymmetrischen Tensoren auch alternierend.
Alles, was oben über reelle schiefsymmetrische Matrizen als Ganzes geschrieben steht, lässt sich auf schiefsymmetrische Tensoren zweiter Stufe übertragen. Insbesondere haben auch sie in drei Dimensionen einen verschwindenden und zwei konjugierte imaginäre Eigenwerte. Schiefsymmetrischen Tensoren zweiter Stufe wird auch ein dualer axialer Vektor zugeordnet, der das Tensorprodukt durch das Kreuzprodukt darstellt. Deshalb ist dieser duale axiale Vektor der zum Eigenwert 0 gehörende Eigenvektor.
Koeffizientenmatrix von schiefsymmetrischen Tensoren 2. Stufe
Nicht ohne Weiteres lassen sich die Aussagen über die Einträge in den Matrizen auf Tensoren übertragen, denn bei letzteren hängen sie von den verwendeten Basen ab. Nur bezüglich der Standardbasis – oder allgemeiner einer Orthonormalbasis – können Tensoren zweiter Stufe mit einer Matrix identifiziert werden.
Jeder Tensor zweiter Stufe kann bezüglich zweier Vektorraumbasen und als Summe
geschrieben werden. Bei der Transposition werden im dyadischen Produkt die Vektoren vertauscht. Der transponierte Tensor ist somit
Eine mögliche Asymmetrie ist hier nicht einfach erkennbar; jedenfalls genügt die Bedingung nicht für den Nachweis. Die Diagonalelemente müssen auch nicht notwendigerweise 0 sein. Die Bedingung gilt jedoch bezüglich einer Orthonormalbasis ê1,2,3:
Hier kann die Asymmetrie aus der Koeffizientenmatrix abgelesen werden:
Dies gilt auch bezüglich einer allgemeinen, nicht orthonormalen, kontravarianten[Anm. 2] Basis ĝ1,2,3:[Anm. 3]
Soll der zweite Tensor gleich dem ersten sein, dann folgt auch hier die Asymmetrie der Koeffizientenmatrix . In obiger Form wird der Tensor kovariant genannt. Beim kontravarianten Tensor wird die duale Basis benutzt, sodass . Für ihn folgt die Asymmetrie der Koeffizientenmatrix und die 0 auf der Diagonalen wie beim kovarianten Tensor. Beim gemischtvarianten Tensor werden beide Basen benutzt:
Die gemischtvariante Koeffizientenmatrix ist beim gemischtvarianten Tensor im Allgemeinen nicht schiefsymmetrisch. Besagtes gilt entsprechend auch für schiefsymmetrische gemischtvariante Tensoren der Form .
Invarianz der Symmetrieeigenschaft
Die Asymmetrie eines Tensors ist von Basiswechseln unberührt. Das ist daran ersichtlich, dass die Vektorinvariante, die ausschließlich vom schiefsymmetrischen Anteil bestimmt wird, invariant gegenüber Basiswechseln ist.
Kofaktor
Jeder Tensor zweiter Stufe hat einen Kofaktor
- ,
wo die ersten beiden Hauptinvarianten sind und 1 der Einheitstensor ist. Beim schiefsymmetrischen Tensor ist speziell
- ,
worin sein dualer axialer Vektor ist.
Dualer axialer Vektor, Vektorinvariante und Kreuzprodukt
Zu einem schiefsymmetrischen Tensor T gibt es einen dualen axialen
Vektor , für den gilt:
- für alle .
Der duale axiale Vektor ist proportional zur Vektorinvariante:
- ,
und berechnet sich mit dem Kreuzprodukt von Tensoren:
In einem kartesischen Koordinatensystem hat man wie bei Matrizen
- .
Invarianten
Hauptinvarianten
Die Hauptinvarianten eines schiefsymmetrischen Tensors lauten
- ,
worin sein dualer axialer Vektor ist.
Betrag
Der Betrag eines Tensors, definiert mit der Frobeniusnorm
- ,
lässt sich bei schiefsymmetrischen Tensoren mit der zweiten Hauptinvariante darstellen:
- ,
worin sein dualer axialer Vektor ist.
Einzelnachweise bezüglich Tensoren