Elementzeichen

Das Elementzeichen (∈) ist ein mathematisches Zeichen, mit dem angegeben wird, dass ein Objekt ein Element einer Menge ist. Es geht auf Giuseppe Peano zurück und entstand durch Stilisierung aus dem griechischen Kleinbuchstaben Epsilon. Für das Elementzeichen existieren eine Reihe von Abwandlungen; häufig wird es in durchgestrichener Form (∉) oder umgedrehter Form (∋, ∌) verwendet.

∈
Mathematische Zeichen
Arithmetik
Pluszeichen	+
Minuszeichen	−, ⁒
Malzeichen	⋅, ×
Geteiltzeichen	:, ÷, /
Plusminuszeichen	±, ∓
Vergleichszeichen	<, ≤, =, ≥, >
Wurzelzeichen	√
Prozentzeichen	%
Analysis
Summenzeichen	Σ
Produktzeichen	Π
Differenzzeichen, Nabla	∆, ∇
Prime	′
Partielles Differential	∂
Integralzeichen	∫
Verkettungszeichen	∘
Unendlichzeichen	∞
Geometrie
Winkelzeichen	∠, ∡, ∢, ∟
Senkrecht, Parallel	⊥, ∥
Dreieck, Viereck	△, □
Durchmesserzeichen	⌀
Mengenlehre
Vereinigung, Schnitt	∪, ∩
Differenz, Komplement	∖, ∁
Elementzeichen	∈
Teilmenge, Obermenge	⊂, ⊆, ⊇, ⊃
Leere Menge	∅
Logik
Folgepfeil	⇒, ⇔, ⇐
Allquantor	∀
Existenzquantor	∃
Konjunktion, Disjunktion	∧, ∨
Negationszeichen	¬

Geschichte

Der Begründer der Mengenlehre Georg Cantor verwendete noch keine Abkürzung für den Ausdruck a ist ein Element von b. Das Elementzeichen geht auf den italienischen Mathematiker Giuseppe Peano zurück, der es in Form eines griechischen Kleinbuchstabens ϵ (Epsilon) erstmals 1889 in einer in lateinischer Sprache geschriebenen Arbeit zu den Peano-Axiomen einsetzte:^[1]

„Signum ϵ significat est. Ita a ϵ b legitur a est quoddam b“

„Das Zeichen ϵ bedeutet ist. Also wird a ϵ b als a ist ein b gelesen“

– Giuseppe Peano: Arithmetices principia nova methodo exposita, 1889, S. X^[2]

Das Epsilon ϵ, das Peano ab 1890 in der kursiven Form ε schrieb, ist die Initiale des griechischen Worts ἐστί (estí) mit der Bedeutung ist.^[3] In der Form ε und der heute gängigen Verbalisierung ist ein Element von wurde das Elementzeichen 1907 von Ernst Zermelo in seiner Arbeit zur Zermelo-Mengenlehre verwendet.^[4] In der ursprünglichen Form ϵ verbreitete sich das Elementzeichen ab 1910 über die Principia Mathematica von Bertrand Russell und Alfred North Whitehead weiter.^[5] Im Laufe der Zeit wurde es dann zu ∈ stilisiert.^[1]

Verwendung

Ist ein Objekt ${\displaystyle x}$ Element einer Menge ${\displaystyle M}$, so notiert man diesen Sachverhalt durch

${\displaystyle x\in M}$

und spricht „x ist Element von M“.

Gelegentlich ist es sinnvoll, die Reihenfolge umzudrehen, und man notiert dann

${\displaystyle M\ni x}$

und spricht „M enthält als Element x“.

Ist ${\displaystyle x}$ kein Element der Menge ${\displaystyle M}$, so schreibt man entsprechend

${\displaystyle x\notin M}$   bzw.   ${\displaystyle M\not \ni x}$.

Formal steht das Elementzeichen für eine Relation, die sogenannte Elementrelation.

Kodierung

Elementzeichen

Das Elementzeichen findet sich im Unicodeblock Mathematische Operatoren und wird in Computersystemen folgendermaßen kodiert.

Kodierung in Unicode, HTML und LaTeX

Zeichen	Unicode		Bezeichnung	HTML			LaTeX
	Position	Bezeichnung		hexadezimal	dezimal	benannt
∈	U+2208	element of	Element von	∈	∈	∈	\in
∉	U+2209	not an element of	kein Element von	∉	∉	∉	\notin
∊	U+220A	small element of	kleines Element von	∊	∊
∋	U+220B	contains as member	enthält als Element	∋	∋	∋	\ni
∌	U+220C	does not contain as member	enthält nicht als Element	∌	∌		\not\ni
∍	U+220D	small contains as member	kleines enthält als Element	∍	∍
⟒	U+27D2	element of opening upwards	Element von nach oben geöffnet	⟒	⟒
⫙	U+2AD9	element of opening downwards	Element von nach unten geöffnet	⫙	⫙

Epsilon

Gelegentlich wird auch der griechische Kleinbuchstabe Epsilon als Elementzeichen verwendet.

Kodierung in Unicode, HTML und LaTeX

Zeichen	Unicode		Bezeichnung	HTML			LaTeX
	Position	Bezeichnung		hexadezimal	dezimal	benannt
ε	U+03B5	greek small letter epsilon	griechischer Kleinbuchstabe epsilon	ε	ε	ε	\varepsilon
ϵ	U+03F5	greek lunate epsilon symbol	griechisches halbmondförmiges Epsilon-Symbol	ϵ	ϵ		\epsilon
϶	U+03F6	greek reversed lunate epsilon symbol	griechisches umgedrehtes halbmondförmiges Epsilon-Symbol	϶	϶

Abwandlungen

Zudem existieren folgende Abwandlungen des Elementzeichens.

Kodierung in Unicode und HTML

Zeichen	Unicode		Bezeichnung	HTML
	Position	Bezeichnung		hexadezimal	dezimal
⋲	U+22F2	element of with long horizontal stroke	Element von mit langem horizontalen Strich	⋲	⋲
⋳	U+22F3	element of with vertical bar at end of horizontal stroke	Element von mit vertikalem Balken am Ende des horizontalen Strichs	⋳	⋳
⋴	U+22F4	small element of with vertical bar at end of horizontal stroke	kleines Element von mit vertikalem Balken am Ende des horizontalen Strichs	⋴	⋴
⋵	U+22F5	element of with dot above	Element von mit Punkt darüber	⋵	⋵
⋶	U+22F6	element of with overbar	Element von mit Überstrich	⋶	⋶
⋷	U+22F7	small element of with overbar	kleines Element von mit Überstrich	⋷	⋷
⋸	U+22F8	element of with underbar	Element von mit Unterstrich	⋸	⋸
⋹	U+22F9	element of with two horizontal strokes	Element von mit zwei horizontalen Strichen	⋹	⋹
⋺	U+22FA	contains with long horizontal stroke	enthält mit langem horizontalen Strich	⋺	⋺
⋻	U+22FB	contains with vertical bar at end of horizontal stroke	enthält mit vertikalem Balken am Ende des horizontalen Strichs	⋻	⋻
⋼	U+22FC	small contains with vertical bar at end of horizontal stroke	kleines enthält mit vertikalem Balken am Ende des horizontalen Strichs	⋼	⋼
⋽	U+22FD	contains with overbar	enthält mit Überstrich	⋽	⋽
⋾	U+22FE	small contains with overbar	kleines enthält mit Überstrich	⋾	⋾

Siehe auch

• Elementsymbol
• Epsilon-Induktion

Literatur

• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2009, ISBN 978-3-642-01445-1.

Einzelnachweise

1. Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2009, ISBN 978-3-642-01444-4, S. 21.
2. Siehe https://archive.org/details/arithmeticespri00peangoog für einen Link auf die Originalarbeit. Datei:First usage of the symbol ∈.png enthält ein Bild auf die entsprechende Textstelle.
3. Giuseppe Peano: Démonstration de l‘intégrabilité des équations différentielles ordinaires. In: Mathematische Annalen. Band 37, 1890, S. 183 (uni-goettingen.de).
4. Ernst Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. In: Mathematische Annalen. Band 65, 1908, S. 262 (uni-goettingen.de).
5. Bertrand Russell, Alfred North Whitehead: Principia Mathematica. Volume 1. Cambridge University Press, 1910, S. 26 (umich.edu).