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kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Statistik Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik wird mit Rayleigh-Verteilung (nach John William Strutt, 3. Baron Rayleigh) oder Betragsverteilung 2. Art eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet.
Wenn die Komponenten eines zweidimensionalen Zufallsvektors normalverteilt und stochastisch unabhängig sind, dann ist der Betrag Rayleigh-verteilt. Dies tritt zum Beispiel in einem funktechnisch genutzten Übertragungskanal bei Mobilfunksystemen auf, wenn zwischen dem Sender, wie einer Basisstation, und dem Empfänger, beispielsweise einem Mobiltelefon, kein direkter Sichtkontakt besteht. Der durch die Mehrwegeausbreitung über verschiedene, zufällige Reflexion und Streuungen, beispielsweise an Gebäudewänden und anderen Hindernissen, beeinträchtigte Übertragungskanal lässt sich dann mit Hilfe der Rayleigh-Verteilung als sogenannter Rayleigh-Kanal modellieren.
Die Verteilung von 10-Minutenmittelwerten der Windgeschwindigkeit werden ebenfalls des Öfteren durch eine Rayleigh-Verteilung beschrieben, wenn nicht eine zweiparametrige Weibull-Verteilung gewählt werden soll.
Eine stetige Zufallsvariable heißt Rayleigh-verteilt mit Parameter , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte
besitzt. Daraus ergibt sich die Verteilungsfunktion
Die Momente beliebiger Ordnung können über folgende Formel errechnet werden:
wobei die Gammafunktion darstellt.
Der Erwartungswert ergibt sich zu
Die Varianz der Verteilung ist
Somit ist das Verhältnis zwischen Erwartungswert und Standardabweichung bei dieser Verteilung konstant:
Für die Schiefe erhält man
Die Wölbung ergibt sich zu
Die charakteristische Funktion ist
wobei die komplexe Fehlerfunktion ist.
Die momenterzeugende Funktion ist gegeben durch
wobei wiederum die Fehlerfunktion ist.
Die Entropie, ausgedrückt in nats, ergibt sich zu
wobei die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.
Das Maximum erreicht die Rayleigh-Verteilung für , denn für gilt
Damit ist der Modus der Rayleigh-Verteilung.
Im Maximum hat den Wert
Die Maximum-Likelihood-Schätzung von aus Messwerten erfolgt über:
Die Chi-Verteilung, Weibull-Verteilung und Rice-Verteilung sind Verallgemeinerungen der Rayleigh-Verteilung.
Wenn , dann ist Chi-Quadrat-verteilt mit zwei Freiheitsgraden:
Wenn exponentialverteilt mit ist, dann ist .
Wenn , dann ist gammaverteilt mit den Parametern und : .
ist Rayleigh-verteilt, wenn und zwei stochastisch unabhängige normalverteilte Zufallsgrößen sind.
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