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schwingfähiges Übertragungsglied in der Modelltheorie Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Als PT2-Glied bezeichnet man ein LZI-Übertragungsglied in der Regelungstechnik, welches ein proportionales Übertragungsverhalten mit einer Verzögerung 2. Ordnung aufweist. Bedingt durch seine konjugiert komplexen Pole antwortet das PT2-Glied (auch -Glied bezeichnet) gegenüber einer Eingangssignal-Änderung mit einem oszillatorisch gedämpften Ausgangssignal.
Der Dämpfungsgrad bestimmt mit dem Zeitverhalten die Schwingeigenschaften des Systems. Bei einem Dämpfungsgrad lässt sich das PT2-Glied in zwei PT1-Glieder zerlegen. Bei einem Dämpfungsgrad entsteht Instabilität mit steigenden Schwingamplituden.
Schwingfähige lineare Übertragungsglieder entstehen durch Energieaustausch seiner verkoppelten Einzelelemente. Besteht ein Regelkreis mit einer Regelstrecke aus zwei -Gliedern und einer P-Verstärkung von ca. entsteht bereits nach einer Eingangserregung ein gedämpft schwingendes Ausgangsverhalten.
In der Regelungstechnik ist ein schwaches Überschwingverhalten eines Regelkreises in der Größenordnung von ca. 10 % des Sollwertes häufig erwünscht, weil die Regelgröße schneller den Sollwert erreicht.
Gebräuchliche Beispiele eines PT2-Gliedes sind in der Elektrotechnik der R-L-C-Schwingkreis und im Maschinenbau das gedämpfte Federmassependel.
Die allgemeine Form der zugehörigen Differentialgleichung mit der Eingangsvariable und der Ausgangsvariable lautet in den verschiedenen Schreibweisen:
Wird die Differentialgleichung eines Übertragungssystems mittels des Laplace-Differentiationssatzes in den s-Bereich (auch Bildbereich) transformiert, entsteht aus einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten die Übertragungsfunktion als eine rational gebrochene Funktion in Polynom-Darstellung. Sie ist ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel zur Lösung von Differentialgleichungen.
Laplace-Transformation der oben genannten Differentialgleichung:
Die Übertragungsfunktion ist definiert als das Verhältnis des Ausgangssignals zum Eingangssignal eines Systems als Funktion der komplexen Frequenz :
Die Übertragungsfunktion wird in eine Normalform des -Gliedes gebracht, indem alle Terme durch dividiert werden. Der Term wird gleichgesetzt.
Damit entsteht die Normalform der Übertragungsfunktion des -Schwingungsgliedes mit als Eigenkreisfrequenz:
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oder mit :
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Hierbei bezeichnet:
Die Nullstellen des Nennerpolynoms (= Pole) einer Übertragungsfunktion bestimmen ausschließlich das Zeitverhalten eines Übertragungssystems.
Die Pole bewirken folgendes globales Systemverhalten:
Sind die Realteile von Nullstellen und Polstellen negativ, handelt es sich um ein stabiles System. Negative Realteile der Pole bedeuten asymptotische Stabilität des Teilsystems.
Die Pole (Nullstellen des Nennerpolynoms) lassen sich nun bestimmen, indem das Nennerpolynom der Übertragungsfunktion gleich Null gesetzt wird.
Sind Zahlenwerte einer Übertragungsfunktion in der Polynomdarstellung gegeben, können mit verschiedenen Methoden, wie mit der pq-Formel, die Pole für Systeme zweiter Ordnung bestimmt werden. Im Internet stehen verfügbare Programme bis 4. Ordnung mit dem Aufruf „Nullstellen (Lösungen) von Polynomen bestimmen“ zur Verfügung.
Für Systeme mit Polynomen 2. Ordnung der Form errechnen sich die Nullstellen bzw. die Pole:
Man unterscheidet bei gedämpften und ungedämpften Übertragungssystemen:
Aus der Normalform der Übertragungsfunktion eines gedämpften -Gliedes kann die Kennkreisfrequenz aus dem Koeffizienten gebildet werden.
Bei einer gegebenen Übertragungsfunktion sind die Koeffizienten wie auch je Zahlenwerte.[3]
Aus dem Koeffizienten wird die Kennkreisfrequenz des dämpfungslosen Systems bestimmt.
Aus dem Zahlenwert des Koeffizienten für wird die Dämpfung errechnet.
Mit steigendem Dämpfungswert verringert sich die Schwingfrequenz und die Amplitude der Systemantwort (Übergangsfunktion). Bei geht die gedämpfte Schwingung in einen aperiodischen Verlauf zweiter Ordnung bzw. bei weiter steigendem in einen Kriechfall über.
Die Eigenkreisfrequenz des gedämpft schwingenden System wird bestimmt durch:
Die Schwingfrequenz des gedämpften Systems lautet:
Die Periodendauer des gedämpft schwingenden Systems lautet:
Ist die Sprungantwort dieses Systems grafisch gegeben, kann die Übertragungsfunktion des -Gliedes (Schwingungsglied) aus dem Amplitudenverhältnis der zwei ersten Halbwellen errechnet werden.
Mit wird die Amplitude in positiver Richtung und mit die Amplitude in negativer Richtung der ersten Schwingung bezeichnet.
Zunächst wird die Dämpfung der Schwingung berechnet:
Der Koeffizient errechnet sich aus der Periodendauer der 1. Schwingung und aus der Dämpfung :
Damit ergibt sich die Übertragungsfunktion mit den errechneten Werten von , und zu:
Gegeben Übertragungsfunktion mit Nennerpolynom für Gesucht: Pole, Dämpfung, EigenKreisfrequenzen , , Periodendauer .
Ergebnis: Das -Glied lässt sich nicht in weitere -Glieder zerlegen. Ermittlung der Dämpfung :
Bestimmung der gedämpften Eigenkreisfrequenz nach einem Eingangssprung : Die ungedämpfte Kennkreisfrequenz der Sprungantwort des -Gliedes lautet:
Die gedämpfte Eigenkreisfrequenz der Sprungantwort des -Gliedes lautet: Die Schwingfrequenz des gedämpften Systems lautet: Die Periodendauer der gedämpften Schwingung lautet: Ergebnis: Siehe Periodendauer der Grafik! Bei schwacher Dämpfung sind und ähnlich. Bestimmung der Übertragungsfunktion für reelle Pole :
Das zu Null gesetzte Polynom wurde oben durch den Faktor dividiert und muss berücksichtigt werden. Übertragungsfunktion in Pol-Darstellung und Zeitkonstanten-Darstellung: |
Zur Identifikation der Zeitkonstanten und Verstärkung eines nicht schwingenden -Systems bieten sich mehrere Verfahren an:
Das folgende Verfahren und die Gleichungen wurden durch numerische Simulation und der Optimierung von Funktionen bestimmt.[4]
Vorgehensweise:
Berechnungsbeispiel der Identifizierung einer Übertragungsfunktion aus der Sprungantwort:
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Anmerkung: Durch eine genaue numerische Berechnung (Auflösung ) der Sprungantwort eines -Gliedes wurde festgestellt, dass vorgegebene Soll-Zeitkonstanten nicht genau mit den errechneten Zeitkonstanten (Abweichung ca. 6 %) übereinstimmt, dennoch ein brauchbares Ergebnis brachten.
Die Ursache: Das Ergebnis der berechneten Zeitkonstanten ist offensichtlich eine gute Annäherung an die tatsächliche Funktion der Sprungantwort. Es wurde empirisch festgestellt, dass in einem Bereich von maximal % der kleineren Zeitkonstante die Beziehung der Soll-Zeitkonstanten zu den errechneten Zeitkonstanten gilt:
Daraus lässt sich beispielsweise für die dargestellte Grafik ableiten, dass die vermutete ursprüngliche Übertragungsfunktion wie folgt lautete:
In der grafischen Darstellung der Sprungantworten in einem Diagramm 10 * 10 [cm] ist der Verlauf der beiden Funktionen praktisch deckungsgleich. Die unnötige hohe Stellenzahl (bis 7 Ziffern einschließlich Dezimalstellen) der Faktoren (Konstanten) kann auf 4 Ziffern einschließlich der Dezimalstellen begrenzt werden, ohne dass sich am Ergebnis der Zeitkonstanten etwas ändern würde.
Die in jedem guten Fachbuch der Regelungstechnik dargestellten Tabellen der wichtigsten Laplace-Transformationen erlauben die Berechnung des Zeitverhaltens eines Übertragungssystems für eine gegebene Übertragungsfunktion .
Die Korrespondenz-Tabellen enthalten für die nachfolgend dargestellten definierten Formen der Eingangssignale die zugehörigen Gleichungen zur Berechnung des Ausgangssignals im Zeitbereich . Um die Gleichung zur Berechnung das Zeitverhaltens des Übertragungssystems zu bestimmen, muss die gegebene Übertragungsfunktion mit der Art des Eingangssignals multipliziert werden.
Folgende normierte Laplace-transformierte Eingangssignale lauten:
Für die Bestimmung des Zeitverhaltens eines PT2/-Gliedes lautet die in der Transformationstabelle zu suchende Form der Gleichung:
Die Laplace-Rücktransformation in den Zeitbereich mit Hilfe von Laplace-Transformationstabellen erfolgt mit der gesuchten Funktion , multipliziert mit dem gewünschten Eingangssignal .
Für den Einheitssprung auf das PT2-Glied gilt:
oder
Je nach gegebenen Zahlenwerten einer Übertragungsfunktion G(s) ergeben sich unterschiedliche Darstellungen des Systemzeitverhaltens.
Anmerkung: Die Übertragungsfunktion als Suchfunktion in den Laplace-Transformationstabellen ändert sich für die Dämpfungsgrade , und . Damit ändern sich auch die Gleichungen für den Zeitbereich.[5]
Beispielverläufe der Sprungantworten für unterschiedliche D-Werte: .
Die Übertragungsfunktionen der dargestellten Grafikverläufe lassen sich anhand von Faktorenvergleich mit der Grundform bestimmen. Für alle Verläufe gilt T=1; K=2:
Eine Phasenverschiebung von φ < −180° und eine Verstärkung > 1 führt von der Gegenkopplung zur Mitkopplung und damit zur oszillierenden Instabilität, wenn der Regelkreis geschlossen wird.
Aus diesem Verhalten hat der amerikanische Physiker Harry Nyquist Stabilitätskriterien abgeleitet, die sich auf den offenen Regelkreis beziehen und für die Schließbedingung des Regelkreises anzuwenden sind.
Die grafischen Stabilitätsverfahren über das Bodediagramm und der Ortskurve des Frequenzgangs dienen dem Verständnis von Teilgebieten der Systemtheorie, sind aber keine Alternativen zur numerischen Berechnung eines Regelkreises, bei dem tabellarisch das innere Teil-Systemverhalten für jede Berechnungsfolge y(k·Δt) dargestellt und grafisch der zeitliche Signalverlauf verschiedener Ausgangsgrößen für eine beliebige Eingangsgröße gezeigt wird.
Beim PT2-Glied ist
der Frequenzgang. Daher gilt für den Amplituden- und Phasengang im Bodediagramm:
Die folgende Abbildung zeigt den Amplituden- und Phasengang. Typisch für ein PT2-Glied ist der Abfall der Amplitude um 40 dB je Dekade. Auch ist die Phasenverschiebung von 180° kennzeichnend. An der Überhöhung im Amplitudengang kann man erkennen, dass für die Dämpfung gelten muss. Keine Überhöhung bedeutet eine Dämpfung .
Bei der Kennkreisfrequenz (= Eckfrequenz ) hat die Phasenverschiebung einen Wert von −90°. Mit zunehmend steigenden Frequenzen beträgt die Phasenverschiebung maximal |-180|°.
Die Frequenzganggleichung des offenen Kreises wird nach Realteil und Imaginärteil aufgelöst und in ein Koordinatensystem eingetragen. Die senkrechte Achse zeigt die Daten der Imaginärteile, die waagerechten Achse die Realteile.
Die Ortskurve () des PT2-Gliedes verläuft vom Punkt K auf der positiven reellen Achse in Abhängigkeit von der Dämpfung d durch den vierten und dritten Quadranten für aus Richtung der negativen reellen Achse in den Punkt 0.
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