Das Deltoidalhexakontaeder (auch Deltoidhexakontaeder genannt) ist ein konvexes Polyeder , das sich aus 60 Deltoiden zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Rhombenikosidodekaeder und hat 62 Ecken sowie 120 Kanten.
3D-Ansicht eines Deltoidalhexakontaeders (Animation ) Drahtgittermodell eines Deltoidalhexakontaeders
Konstruktion des Deltoids am Rhombenikosidodekaeder Durch Verbinden der Mittelpunkte vierer Kanten, die in jeder Raumecke des Rhombenikosidodekaeders zusammenstoßen, entsteht ein Trapez , dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Deltoids, der Begrenzungsfläche des Deltoidalhexakontaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 154°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius .
Sei
d
{\displaystyle d}
a
=
d
3
25
−
5
5
{\displaystyle a=\,{\frac {d}{3}}\,{\sqrt {25-5{\sqrt {5}}}}}
b
=
d
11
5
(
85
−
31
5
)
{\displaystyle b=\,{\frac {d}{11}}\,{\sqrt {5\,(85-31{\sqrt {5}})}}}
Die Seitenlängen des Deltoids stehen somit im folgenden Verhältnis zueinander:[1]
3
a
(
7
−
5
)
=
22
b
{\displaystyle 3a\,(7-{\sqrt {5}})=22b}
Netz des DeltoidalhexakontaedersWeitere Informationen
Größen eines Deltoidalhexakontaeders mit Kantenlänge a
Volumen
V
=
45
11
a
3
370
+
164
5
25
{\displaystyle V={\frac {45}{11}}\,a^{3}{\sqrt {\frac {370+164{\sqrt {5}}}{25}}}}
Oberflächeninhalt
A
O
=
9
11
a
2
10
(
157
+
31
5
)
{\displaystyle A_{O}={\frac {9}{11}}\,a^{2}{\sqrt {10\,(157+31{\sqrt {5}})}}}
Inkugelradius
ρ
=
3
2
a
135
+
59
5
205
{\displaystyle \rho ={\frac {3}{2}}\,a\,{\sqrt {\frac {135+59{\sqrt {5}}}{205}}}}
Kantenkugelradius
r
=
3
20
a
(
5
+
3
5
)
{\displaystyle r={\frac {3}{20}}\,a\,(5+3{\sqrt {5}})}
Flächenwinkel ≈ 154° 7′ 17″
cos
α
=
−
1
41
(
19
+
8
5
)
{\displaystyle \cos \,\alpha =-{\frac {1}{41}}\,(19+8{\sqrt {5}})}
3D-Kantenwinkel ≈ 153° 26′ 6″
cos
γ
=
−
2
5
5
{\displaystyle \cos \,\gamma =-{\frac {2}{5}}{\sqrt {5}}}
Sphärizität ≈ 0,98161
Ψ
=
2
11
π
(
185
+
82
5
)
3
10
(
157
+
31
5
)
{\displaystyle \Psi ={\frac {2\,{\sqrt[{3}]{11\,\pi \left(185+82{\sqrt {5}}\right)}}}{\sqrt {10\left(157+31{\sqrt {5}}\right)}}}}
Schließen
Größen im Drachenviereck Weitere Informationen
Größen des Drachenvierecks
Flächeninhalt
A
=
3
22
a
2
157
+
31
5
10
{\displaystyle A={\frac {3}{22}}\,a^{2}{\sqrt {\frac {157+31{\sqrt {5}}}{10}}}}
2. Seitenlänge
b
=
3
22
a
(
7
−
5
)
{\displaystyle b={\frac {3}{22}}\,a\,(7-{\sqrt {5}})}
Kurze Diagonale
e
=
3
a
5
−
5
20
{\displaystyle e=3a\,{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}}
Lange Diagonale
f
=
a
11
470
+
156
5
5
{\displaystyle f={\frac {a}{11}}{\sqrt {\frac {470+156{\sqrt {5}}}{5}}}}
Inkreisradius
r
=
3
10
a
5
(
17
+
5
5
)
82
{\displaystyle r={\frac {3}{10}}\,a\,{\sqrt {\frac {5\,(17+5{\sqrt {5}})}{82}}}}
Seitenwinkel (2) ≈ 86° 58′ 27″
cos
α
=
1
10
(
5
−
2
5
)
{\displaystyle \cos \,\alpha ={\frac {1}{10}}\,(5-2{\sqrt {5}})}
Fußwinkel (1) ≈ 67° 46′ 59″
cos
β
=
1
40
(
9
5
−
5
)
{\displaystyle \cos \,\beta ={\frac {1}{40}}\,(9{\sqrt {5}}-5)}
Kopfwinkel (1) ≈ 118° 16′ 7″
cos
γ
=
−
1
20
(
5
+
2
5
)
{\displaystyle \cos \,\gamma =-{\frac {1}{20}}\,(5+2{\sqrt {5}})}
Schließen
Mit a sei die längere der beiden Seiten bezeichnet.
, 
...
, 
...
![{\displaystyle \Psi ={\frac {2\,{\sqrt[{3}]{11\,\pi \left(185+82{\sqrt {5}}\right)}}}{\sqrt {10\left(157+31{\sqrt {5}}\right)}}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12436fbcc7f327cd39e67691a8b03e4249098b72)
