Benutzer:TimofeyPnin/Gruppe

Dies sind Notizen zu einem potentiellen Artikel Gruppe.

In der Mathematik ist eine Gruppe eine algebraische Struktur bestehend aus einer Menge mit einer Verknüpfung je zweier Elemente, die gewisse Rechenregeln (Guppenaxiome) erfüllt. Kurz gesagt fordert man, dass die Verknüpfung assoziativ ist, ein neutrales Element besitzt, und dass zu jedem Element ein Inverses existiert. Ein alltägliches Beispiel sind die ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}}$ mit der Addition als Verknüpfung: diese ist assoziativ, die Zahl ${\displaystyle 0}$ dient als neutrales Element, und zu jeder ganzen Zahl ${\displaystyle a}$ dient ${\displaystyle -a}$ als Inverses. Ein weiteres typisches Beispiel sind die Symmetrietransformationen eines Objekts (eines geometrischen Objekts oder einer beliebigen mathematischen Struktur wie etwa eines Vektorraums) mit der Verknüpfung, die durch das Hintereinanderausführung der Transformationen gegeben ist. Die Gruppentheorie beschäftigt sich mit dem systematischen Studium der Gruppen und ist für viele Gebiete der Mathematik von grundlegender Bedeutung und ein vielseitiges Werkzeug in zahlreichen Anwendungen.

Verschieben zur Gruppentheorie

Anschaulich gesprochen besteht eine (konkrete) Gruppe aus den Symmetrietransformationen eines Objekts zusammen mit der Verknüpfung, die durch das Hintereinanderausführen dieser Transformationen gegeben ist. Zum Beispiel bilden die Rotationen eines regelmäßigen n-Ecks in der Ebene eine Gruppe mit n Elementen. Um den Gruppenbegriff in voller Allgemeinheit zu fassen, hat sich eine sehr effiziente axiomatische Definition herausgebildet: demnach ist eine (abstrakte) Gruppe eine Menge zusammen mit einer assoziativen Verknüpfung, die eine neutrales Element besitzt sowie zu jedem Element ein Inverses. Zum Beispiel bilden die ganzen Zahlen zusammen mit der Addition eine Gruppe. Sowohl die abstrakte als auch die konkrete Sichtweise sind sehr nützlich, denn sie beschreiben dieselben Objekte und ergänzen sich gegenseitig.

Erklärung für Nicht-Mathematiker

Zwei einführende Beispiele

Man kann die Mathematik als Lehre von Zahlen und Figuren auffassen, zumindest wurde sie so bis ins 19. Jahrhundert so wahrgenommen. Der Gruppenbegriff fußt auf diesen beiden Perspektiven und verallgemeinert sowohl das Rechnen mit Zahlen als auch die Symmetriebewegungen von geometrischen Objekten.

Die große Bedeutung der Gruppentheorie für viele Gebiete der Mathematik und ihrer Anwendungen liegt in ihrer Allgemeinheit und ihrer Effizienz, denn sie umfasst in einer einheitlichen Sprache sowohl arithmetische Regeln (Rechnen mit Zahlen, Matrizen, etc.) als auch geometrische Sachverhalte (Bewegungen des Raumes, Symmetrien, etc.). Um den Gruppenbegriff zu motivieren betrachten wir daher zuerst zwei einfache aber repräsentative Beispiele. Ihre Eigenschaften werden uns dann als Modell für die Gruppenaxiome dienen.

Die ganzen Zahlen

Als Beispiel einer wohlbekannten Gruppe aus der Zahlentheorie betrachten wir die Menge der ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}}$ mit der Addition als Verknüpfung.

Symmetrietransformationen

Als Beispiel einer Gruppe aus der Geometrie betrachten wir die Symmetrietransformationen eines Quadrats. Dies sind vier Rotationen ${\displaystyle r_{0},r_{1},r_{2},r_{3}}$ und vier Spigelungen ${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}}$, wie in folgender Tabelle gezeigt. Hierbei sei ${\displaystyle r_{k}}$ die Drehung um den Winkel ${\displaystyle k\cdot \pi /2}$. Man beachte, dass ${\displaystyle r_{0}}$ die Drehung um den Winkel ${\displaystyle 0}$ ist, also die identische Abbildung, auch Identität genannt.

${\displaystyle r_{0}=\operatorname {id} }$ (Identität)	${\displaystyle r_{1}}$ (Drehung um 90° nach rechts)	${\displaystyle r_{2}}$ (Drehung um 180°)	${\displaystyle r_{3}}$ (Drehung um 90° nach links)
${\displaystyle s_{0}}$	${\displaystyle s_{1}}$	${\displaystyle s_{2}}$	${\displaystyle s_{3}}$
Drehungen und Spiegelungen eines Quadrates. Die vier Ecken sind numeriert und farbig dargestellt, um die Transformation bildlich darzustellen.

sei ${\displaystyle G}$ die Menge der Drehungen eines Quadrats. Je zwei Rotationen ${\displaystyle a,b\in G}$ lassen sich verknüpfen, das heißt hintereinander ausführen (hier geschrieben als ${\displaystyle a\circ b}$), und das Ergebnis ist wieder eine Rotation:

Abgeschlossenheit

Die Verknüpfung auf ${\displaystyle G}$ ist eine interne zweistellige Operation ${\displaystyle \circ \colon G\times G\to G}$.

Die Klammerung ist bei dieser Verknüpfung unerheblich:

(A) Assoziativgesetz

für alle ${\displaystyle a,b,c\in G}$ gilt ${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}$.

Die Verknüpfung mit der Identität ändert nichts:

(N) Neutrales Element

es gibt ein Element ${\displaystyle e\in G}$, welches ${\displaystyle a\circ e=e\circ a=a}$ für alle ${\displaystyle a\in G}$ erfüllt.

Zu jeder Rotation gibt es eine inverse Rotation, die zurück zur Identität führt:

(I) Inverse Elemente

zu jedem Element ${\displaystyle a\in G}$ existiert ein inverses Element ${\displaystyle a^{-1}\in G}$ welches ${\displaystyle a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e}$ erfüllt.

Für je zwei Rotationen ist zudem die Reihenfolge unwichtig, in der wir sie Durchführen:

(K) Kommutativität

für alle ${\displaystyle a,b\in G}$ gilt ${\displaystyle a\circ b=b\circ a}$.

Wenn wir zu den Rotationen auch noch die Spiegelungen hinzunehmen (Diedergruppe), dann gelten weiterhin alle Eigenschaften bis auf die Kommutativität: für Spiegelungen ist die Reihenfolge im Allgemeinen wichtig, das heißt ${\displaystyle s\circ t\neq t\circ s}$. Da viele interessante Beispiele dieser Art nicht kommutativ sind, lohnt es sich diese Eigenschaft gesondert zu betrachten.

Zur Definition des Gruppenbegriffs fordern wir nun genau die obigen Eigenschaften, das heißt wir erheben sie zu den definierenden Eigenschaften (Axiomen) einer Gruppe.

Mathematische Definition des Gruppenbegriffs

Definition

Eine Gruppe ${\displaystyle (G,\ast )}$ besteht aus einer Menge ${\displaystyle G}$ und einer inneren zweistelligen Verknüpfung ${\displaystyle \ast \colon G\times G\to G}$ die assoziativ ist, ein neutrales Element besitzt, und zu jedem Element ein Inverses.

Ausführlicher gesagt fordert man also von der Verknüpfung ${\displaystyle \ast \colon G\times G\to G}$ folgende Eigenschaften, auch Gruppenaxiome genannt:

• Assoziativität: Für alle Gruppenelemente ${\displaystyle a,b,c\in G}$ gilt ${\displaystyle (a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)}$.
• Neutrales Element: Es gibt ein Gruppenelement ${\displaystyle e\in G}$ sodass für alle Gruppenelemente ${\displaystyle a\in G}$ gilt ${\displaystyle a\ast e=e\ast a=a}$.
• Inverses Element: Zu jedem Gruppenelement ${\displaystyle a\in G}$ existiert ein inverses Element ${\displaystyle b\in G}$ für das ${\displaystyle a\ast b=b\ast a=e}$ gilt.

Eine Gruppe ${\displaystyle (G,\ast )}$ heißt abelsch oder kommutativ, wenn die Verknüpfung ${\displaystyle \ast }$ symmetrisch ist, d. h. wenn zusätzlich gilt:

• Kommutativität: Für alle Gruppenelemente ${\displaystyle a,b\in G}$ gilt ${\displaystyle a\ast b=b\ast a}$.

Beispiele

Gruppen spielen in praktisch jedem Teilgebiet der Mathematik eine Rolle, und auch in Anwendungen in der Physik oder Chemie, siehe Gruppentheorie Gruppentheorie#Anwendungen. Die folgende Liste nennt nur einige prominente Beispiele.

Arithmetische Beispiele

• Addition von Zahlen
  • Auf der Menge ${\displaystyle \mathbb {N} }$ der natürlichen Zahlen ist die Addition ${\displaystyle +\colon \mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ zwar assoziativ und besitzt ein neutrales Element (die Zahl ${\displaystyle 0}$), es gibt aber zu Elementen ${\displaystyle a>0}$ kein Inverses. Demnach ist ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ nur ein Monoid und keine Gruppe.
  • Die Menge ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ der ganzen Zahlen mit ihrer Addition bildet eine kommutative Gruppe, geschrieben ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$. Neutrales Element ist die Zahl ${\displaystyle 0}$. Das zu ${\displaystyle a}$ inverse Element ist ${\displaystyle -a}$. Gleiches gilt für die rationalen Zahlen ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}$, die reellen Zahlen ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ und die komplexen Zahlen ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$.
  • Auf dem kartesischen Produkt ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ definiert die komponentenweise Additon eine kommutative Gruppe. Gleiches gilt für die Addition auf ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. (Zusammen mit der Skalarmultiplikation bilden diese Gruppen den Prototyp von Vektorräumen, und diese werden in der linearen Algebra eingehend untersucht.)
• Multiplikation von Zahlen
  • Auf der Menge ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\times }=\mathbb {Z} \setminus \{0\}}$ der ganzen Zahlen ohne Null ist die Multiplikation ${\displaystyle \cdot \colon \mathbb {Z} ^{\times }\times \mathbb {Z} ^{\times }\to \mathbb {Z} ^{\times }}$ zwar assoziativ und besitzt ein neutrales Element (die Zahl ${\displaystyle 1}$), es gibt aber für Elemente ${\displaystyle a\neq \pm 1}$ kein Inverses. Demnach ist ${\displaystyle (\mathbb {Z} ^{\times },\cdot )}$ nur ein Monoid und keine Gruppe.
  • Die Menge ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }}$ der rationalen Zahlen ohne Null mit ihrer Multiplikation bildet eine kommutative Gruppe, geschrieben ${\displaystyle (\mathbb {Q} ^{\times },\cdot )}$. Neutrales Element ist die Zahl ${\displaystyle 1}$. Das zu ${\displaystyle a}$ inverse Element ist ${\displaystyle a^{-1}}$. Gleiches gilt für die reellen Zahlen ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{\times },\cdot )}$ und die komplexen Zahlen ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{\times },\cdot )}$. (In diesen Beispielen sind Addition und Multiplikation sind miteinander verträglich, im Sinne des Distributivgesetzes. Man spricht dann von einen Körper.)
  • Es gibt auch Zahlbereiche mit nicht-kommutativer Multiplikation. Das prominenteste Beispiel sind die Quaternionen ${\displaystyle (\mathbb {H} ,+,\cdot )}$: hier ist ${\displaystyle (\mathbb {H} ,+)}$ eine kommutative Gruppe aber ${\displaystyle (\mathbb {H} ^{\times },\cdot )}$ eine nicht-abelsche Gruppe. (Man spricht dann von einem Schiefkörper.)

Geometrische Beispiele

• In der linearen Algebra spielt die allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$ eine wichtige Rolle: Diese besteht aus allen invertierbaren ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung. Diese Gruppe enthält zum Beispiel auch die spezielle lineare Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$, die orthogonale Gruppe ${\displaystyle \operatorname {O} _{n}(\mathbb {R} )}$ und die die spezielle orthogonale Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SO} _{n}(\mathbb {R} )}$, die in der Mathematik und in der Physik eine wichtige Rolle spielen.
• Die Isometrien des euklidischen Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bilden eine Gruppe ${\displaystyle \operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{n})}$ mit der Verkettung von Abbildungen als Verknüpfung. Diese Gruppe enthält zum Beispiel auch die Translationsgruppe ${\displaystyle \operatorname {Trans} (\mathbb {R} ^{n})}$ und die Rotationsgruppe ${\displaystyle \operatorname {SO} (\mathbb {R} ^{n})}$.
• Ein geometrischer Körper ist eine Teilmenge ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$. Zu diesem gehört die Gruppe ${\displaystyle \operatorname {Isom} (K)}$ aller Isometrien, die ${\displaystyle K}$ auf sich selbst abbilden, zusammenn mit der Verkettung von Abbildungen als Verknüpfung. So erhält man zum Beispiel die Diedergruppe als Isometriegruppe des regulären ${\displaystyle n}$-Ecks in der Ebene.

Automorphismengruppen

• Die Permutationen der Menge ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$ bilden die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ mit der Verkettung von Abbildungen als Verknüpfung.
• Ganz allgemein zu jeder Menge ${\displaystyle X}$ bilden die Bijektionen ${\displaystyle X\to X}$ die symmetrische Gruppe ${\displaystyle \operatorname {Sym} (X)}$ mit der Verkettung von Abbildungen als Verknüpfung.
• Die letzten Beispiele sind Teil einer viel allgemeineren Betrachtungsweise: Für jede mathematische Struktur ${\displaystyle X}$ bilden die invertierbaren Abbildungen ${\displaystyle X\to X}$ eine Gruppe bezüglich Verkettung. Hierbei verlangt man strukturerhaltende Abbildungen, also Automorphismen von ${\displaystyle X}$, und die entstehende Gruppe heißt dann Automorphismengruppe, geschrieben ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$. Ganz allgemein wird diese Bezeichnung in der Kategorientheorie begründet.

Schreibweisen

Mathematisch gesehen hat die Wahl der Schreibweise keinerlei Bedeutung: Nicht der Name ist wesentlich sondern das damit benannte Objekt, hier also eine Verknüpfung, die die Gruppenaxiome erfüllt. Die Benennung folgt daher meist praktischen oder ästhetischen Gesichtspunkten oder der jeweiligen Tradition. In diesem Sinne dient eine gut gewählte Schreibweise vor allem der Lesbarkeit.

Zur leichteren Unterscheidung wird die Trägermenge der Gruppe meist mit einem Großbuchstaben bezeichnet, zum Beispiel ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle K}$, etc., während Gruppenelemente meist mit Kleinbuchstaben ${\displaystyle a,b,c,\dots }$ oder ${\displaystyle g,h,\dots }$ oder ${\displaystyle x,y,z}$ bezeichnet werden. Ausnahmen bestehen traditionell in der linearen Algebra, wo Matrizen oft mit Großbuchstaben geschrieben werden und ihre Koeffizienten mit Kleinbuchstaben.

Ebenso wie die Trägermenge kann auch die Verknüpfung sehr verschieden geschrieben werden, zum Beispiel ${\displaystyle \ast }$ oder ${\displaystyle +}$ oder ${\displaystyle \cdot }$ oder ${\displaystyle \circ }$ oder ${\displaystyle \star }$ etc. Dies wird gelegentlich genutzt, um verschiedene Verknüpfungen auch verschieden zu benennen. Meist ergibt sich die Verknüpfung jedoch aus dem Zusammenhang, und die graphische Betonung wird überflüssig und daher weggelassen.

In diesem Artikel werden Gruppen meist multiplikativ geschrieben, also ${\displaystyle (G,\cdot )}$. Wie auch bei der gewöhnlichen Multiplikation üblich, kann in vielen Situationen der Malpunkt weggelassen werden. Wenn keine Verwechslung zu befürchten ist, schreibt man also für die Multiplikation statt ${\displaystyle a\cdot b}$ auch abkürzend ${\displaystyle ab}$. Ist die Verknüpfung aus dem Zusammenhang klar, so schreibt man für die Gruppe häufig nur ${\displaystyle G}$ statt ${\displaystyle (G,\cdot )}$.

Insbesondere für kommutative Gruppen ist daneben die additive Schreibweise ${\displaystyle (G,+)}$ weit verbreitet. Dies gilt insbesondere, wenn von zwei Verknüpfungen die Rede ist, wie zum Beispiel bei einem Ring oder Körper ${\displaystyle (K,+,\cdot )}$. Üblich ist die additive Schreibweise bei abelschen Gruppen, während nicht abelsche oder beliebige Gruppen zumeist multiplikativ geschrieben werden.

Neutrales Element

In jeder Gruppe ${\displaystyle (G,\ast )}$ ist das neutrale Element eindeutig durch die Verknüpfung bestimmt: Sind nämlich ${\displaystyle e}$ und ${\displaystyle e'}$ beide neutral für die Verknüpfung ${\displaystyle \ast }$, dann gilt ${\displaystyle e\ast e'=e'}$, weil ${\displaystyle e}$ neutral ist, und andererseits ${\displaystyle a\ast e'=e}$, weil ${\displaystyle e'}$ neutral ist, also ${\displaystyle e=e'}$.

• Bei multiplikativer Schreibweise ${\displaystyle (G,\cdot )}$ heißt das neutrale Element Einselement und wird durch ${\displaystyle 1}$ symbolisiert.
• Bei additiver Schreibweise ${\displaystyle (G,+)}$ heißt das neutrale Element Nullelement und wird durch ${\displaystyle 0}$ symbolisiert.

Inverse Elemente

In jeder Gruppe ${\displaystyle (G,\ast )}$ ist das zu ${\displaystyle a\in G}$ inverse Element eindeutig durch die Verknüpfung bestimmt: Sind nämlich ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle b'}$ beide invers zu ${\displaystyle a}$ für die Verknüpfung ${\displaystyle \ast }$, dann gilt ${\displaystyle b=b\ast e=b\ast (a\ast b')=(b\ast a)\ast b'=e\ast b'=b'}$.

• Bei multiplikativer Schreibweise ${\displaystyle (G,\cdot )}$ wird das zu ${\displaystyle a}$ inverse Element durch ${\displaystyle a^{-1}}$ symbolisiert.
• Bei additiver Schreibweise ${\displaystyle (G,+)}$ wird das zu ${\displaystyle a}$ inverse Element durch ${\displaystyle -a}$ symbolisiert.

Äquivalente Definitionen

Eine Menge ${\displaystyle G}$ mit einer assoziativen Verknüpfung ${\displaystyle \ast \colon G\times G\to G}$ ist genau dann eine Gruppe, wenn es ein linksneutrales Element ${\displaystyle e\in G}$ gibt, sodass ${\displaystyle e\ast a=a}$ für alle ${\displaystyle a\in G}$ gilt, und zu jedem ${\displaystyle a\in G}$ ein linksinverses Element ${\displaystyle a^{-1}}$ existiert sodass ${\displaystyle a^{-1}\ast a=e}$.

Diese formal schwächere Definition ist äquivalent zu der ursprünglichen Definition, denn es gilt:

• Jedes linksinverse Element ist auch rechtsinvers, denn für beliebiges ${\displaystyle a\in G}$ gilt:

${\displaystyle a\ast a^{-1}=e\ast (a\ast a^{-1})=((a^{-1})^{-1}\ast a^{-1})\ast (a*a^{-1})=(a^{-1})^{-1}\ast ((a^{-1}\ast a)\ast a^{-1})=(a^{-1})^{-1}\ast (e\ast a^{-1})=(a^{-1})^{-1}\ast a^{-1}=e}$.

• Jedes linksneutrale Element ist auch rechtsneutral, denn für beliebiges ${\displaystyle a\in G}$ gilt:

${\displaystyle a\ast e=a\ast (a^{-1}\ast a)=(a\ast a^{-1})\ast a=e\ast a=a}$.

Entsprechendes gilt wenn man ein rechtneutrales Element und rechtsinverse Elemente fordert.

Quasigruppen

In jeder Gruppe ${\displaystyle (G,\ast )}$ hat zu gegebenen Elementen ${\displaystyle a,b\in G}$ die Gleichung ${\displaystyle a\ast x=b}$ genau eine Lösung ${\displaystyle x\in G}$, nämlich ${\displaystyle x=a^{-1}\ast b}$. Ebenso hat die Gleichung ${\displaystyle y\ast a=b}$ genau eine Lösung ${\displaystyle y\in G}$, nämlich ${\displaystyle y=b\ast a^{-1}}$. Diese Eigenschaft charakterisiert Gruppen in folgendem Sinne:

Eine nicht-leere Menge ${\displaystyle G}$ mit einer assoziativen Verknüpfung ${\displaystyle \ast \colon G\times G\to G}$ ist genau dann eine Gruppe, wenn für jedes Paar ${\displaystyle a,b\in G}$ die Gleichung ${\displaystyle a\ast x=b}$ eine Lösung ${\displaystyle x\in G}$ hat und ebenso die Gleichung ${\displaystyle y\ast a=b}$ eine Lösung ${\displaystyle y\in G}$ hat.

• Da ${\displaystyle G}$ nicht-leer ist, können wir ein Element ${\displaystyle a\in G}$ wählen. Zu diesem gibt es ein Element ${\displaystyle e\in G}$, sodass ${\displaystyle e\ast a=a}$ gilt. Zu jedem anderen Element ${\displaystyle b\in G}$ gibt es ${\displaystyle y\in G}$, sodass ${\displaystyle a\ast y=b}$ gilt. Daraus folgt ${\displaystyle e\ast b=e\ast (a\ast y)=(e\ast a)\ast y=a\ast y=b}$. Also ist ${\displaystyle e\in G}$ linksneutral für die Verknüpfung ${\displaystyle \ast }$.
• Für jedes Element ${\displaystyle a\in G}$ existiert ein Element ${\displaystyle y\in G}$, sodass ${\displaystyle ya=e}$ gilt; dieses ist also ein zu ${\displaystyle a}$ linksinverses Element.

Wenn man hierbei die Forderung nach Assoziativität aufgibt und nur die eindeutige Lösbarkeit aller Gleichungen ${\displaystyle ax=b}$ und ${\displaystyle ya=b}$ fordert, so erhält man den allgemeineren Begriff der Quasigruppe.

Rechenregeln

Invertieren

Das Inverse von ${\displaystyle a\cdot b}$ ist ${\displaystyle (a\cdot b)^{-1}=b^{-1}\cdot a^{-1}}$. Dies sieht man durch Ausmultiplizieren von ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot (b^{-1}\cdot a^{-1})=a\cdot (b\cdot b^{-1})\cdot a^{-1}=a\cdot a^{-1}=1.}$

Man beachte, dass in einer nicht-abelschen Gruppe im Allgemeinen ${\displaystyle a\cdot b\neq b\cdot a}$ gilt, und daher ist auch zwischen ${\displaystyle b^{-1}\cdot a^{-1}}$ und ${\displaystyle a^{-1}\cdot b^{-1}}$ sorgfältig zu unterscheiden.

Beispiel

• Die Regel ${\displaystyle (A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}}$ tritt beim Invertieren von Matrizen ${\displaystyle A,B\in \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$ in der linearen Algebra auf.

Potenzieren

Sei ${\displaystyle (G,\cdot )}$ eine multiplikativ geschriebene Gruppe. Die Potenzen eines Elements ${\displaystyle g\in G}$ definiert man durch ${\displaystyle g^{0}=1}$ und rekursiv vermöge ${\displaystyle g^{k+1}=g^{k}\cdot g}$ für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$. Wir erhalten so zu jeder natürlichen Zahl ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ die ${\displaystyle k}$-te Potenz von ${\displaystyle g}$, geschrieben ${\displaystyle g^{k}=g\cdot g\cdots g}$ mit genau ${\displaystyle k}$ Faktoren. Für negative Exponentnen ${\displaystyle k<0}$ definieren wir entsprechend ${\displaystyle g^{k}=(g^{-1})^{k}}$. Es gilt dann das folgende Potenzgesetz:

${\displaystyle g^{k+\ell }=g^{k}\cdot g^{\ell }}$ für alle ${\displaystyle k,\ell \in \mathbb {Z} }$.

Bei additiver Schreibweise ${\displaystyle (G,+)}$ spricht man statt der ${\displaystyle k}$-ten Potenz vom ${\displaystyle k}$-ten Vielfachen und schreibt ${\displaystyle kg}$ für ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle g}$. Es gilt dann entsprechend ${\displaystyle (k+\ell )g=kg+\ell g}$ für alle ${\displaystyle k,\ell \in \mathbb {Z} }$.

Kommutieren

Zwei Gruppenelemente ${\displaystyle a,b\in G}$ kommutieren, wenn ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ gilt.

Beispiele

• Eine Gruppe ist genau dann abelsch, wenn je zwei Elemente miteiannder kommutieren. Dies gilt zum Beispiel für ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$.
• In einer nicht-abelschen Gruppe gibt es sowohl Elementenpaare, die nicht kommutieren, aber auch Elementenpaare, die kommutieren. Zum Beispiel kommutieren alle Potenzen ${\displaystyle a^{k}}$ und ${\displaystyle a^{\ell }}$ eines Elementes ${\displaystyle a}$ untereinander.

Wenn zwei Elemente ${\displaystyle a,b\in G}$ kommutieren, dann gilt ${\displaystyle (a\cdot b)^{k}=a^{k}\cdot b^{k}}$ für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$. Die Umkehrung ist auch richtig:

• Die Gleichung ${\displaystyle (a\cdot b)^{-1}=a^{-1}\cdot b^{-1}}$ gilt genau dann, wenn ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ kommutieren: Invertieren dieser Gleichung liefert nämlich ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$.
• Die Gleichung ${\displaystyle (a\cdot b)^{2}=a^{2}\cdot b^{2}}$ gilt genau dann, wenn ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ kommutieren: Ausmultiplizieren liefert nämlich ${\displaystyle a\cdot b\cdot a\cdot b=a\cdot a\cdot b\cdot b}$, und dies ist gleichbedeutend mit ${\displaystyle b\cdot a=a\cdot b}$

Ordnung einer Gruppe

Die Ordnung einer Gruppe ${\displaystyle G}$ ist ihre Mächtigkeit, auch Kardinalität genannt, geschrieben ${\displaystyle \operatorname {ord} (G)=|G|}$. Für jede endliche Gruppe ist dies einfach die Anzahl ihrer Elemente.

Beispiele

• Die Ordnung der Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ist überabzählbar unendlich.
• Die Ordnung der Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ ist abzählbar unendlich.
• Die Ordnung der Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n,+)}$ ist ${\displaystyle n}$, wobei ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle n\geq 1}$.
• Die Ordnung der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ ist ${\displaystyle n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1}$.
• Die Ordnung der allgemeinen linearen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {F} _{q})}$ über einem endlichen Körper mit ${\displaystyle q}$ Elementen ist ${\displaystyle (q^{2}-1)(q^{2}-q)}$.

Ordnung eines Gruppenelementes

→ Hauptartikel: Ordnung eines Gruppenelementes

Gibt es zu einem Gruppenelement ${\displaystyle g\in G}$ eine natürliche Zahl ${\displaystyle n\geq 1}$, für die ${\displaystyle g^{n}=1}$ gilt, dann nennt man die kleinste solche Zahl die Ordnung von ${\displaystyle g}$, geschrieben ${\displaystyle \operatorname {ord} (g)=n}$. Gibt es keine solche Zahl, sind also alle positiven Potenzen von ${\displaystyle g}$ vom neutralen Element verschieden, so setzt man ${\displaystyle \operatorname {ord} (g)=\infty }$.

Beispiele

• In ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ hat jedes Element ${\displaystyle a\neq 0}$ unendliche Ordnung.
• In ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n,+)}$ hat das Element ${\displaystyle 1}$ die Ordnung ${\displaystyle n}$.
• In der symmetrischen Gruppe haben die Element ${\displaystyle (1,2)}$ die ${\displaystyle (1,2)(3,4)}$ Ordnung ${\displaystyle 2}$, während ${\displaystyle (1,2)(3,4,5)}$ Ordnung ${\displaystyle 6}$ hat.

Die Ordnung ${\displaystyle n}$ ist der kleinste Exponent, sodass die Folge der Potenzen ${\displaystyle g^{0},g^{1},g^{2},\dots ,g^{n}}$ ein Element doppelt enthält. In diesem Fall gilt ${\displaystyle g^{n}=g^{0}}$ und die Elemente ${\displaystyle g^{0},g^{1},g^{2},\dots ,g^{n-1}}$ sind alle verschieden. Aus ${\displaystyle g^{n}=g^{k}}$ für ${\displaystyle 0\leq k<n}$ folgt nämlich nach Multiplikation mit ${\displaystyle g^{-k}}$, dass ${\displaystyle g^{n-k}=g^{0}}$; da ${\displaystyle n}$ minimal ist, muss hier also ${\displaystyle k=0}$ gelten.

Insbesondere gilt: In einer endlichen Gruppe, hat jedes Element eine endliche Ordnung.

Konstruktion neuer Gruppen aus alten

Kartesisches Produkt

Seien ${\displaystyle (G_{1},\cdot ),\dots ,(G_{n},\cdot )}$ Gruppen. Auf dem kartesischen Produkt ${\displaystyle H=G_{1}\times \cdots \times G_{n}}$ definiert man die komponentenweise Verknüpfung durch

${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})\cdot (b_{1},\dots ,b_{n}):=(a_{1}\cdot b_{1},\dots ,a_{n}\cdot b_{n})}$.

Hierdurch wird ${\displaystyle H}$ zu einer Gruppe:

1. Die Assoziativät gilt für ${\displaystyle (H,\cdot )}$ denn sie gilt komponentenweise für jede der Gruppen ${\displaystyle (G_{i},\cdot )}$.
2. Neutrales Element von ${\displaystyle H}$ ist ${\displaystyle e=(e_{1},\dots ,e_{n})}$.
3. Das zu ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$ inverse Element ist ${\displaystyle a^{-1}=(a_{1}^{-1},\dots ,a_{n}^{-1})}$.

Handelt es sich bei ${\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n}}$ jeweils um dieselbe Gruppe ${\displaystyle G}$, so schreibt man auch ${\displaystyle G^{n}}$ für das ${\displaystyle n}$-fache kartesische Produkt ${\displaystyle G\times \cdots \times G}$.

Ebenso wird das Produkt ${\displaystyle \prod _{i\in I}G_{i}}$ einer beliebigen Familien von Gruppen ${\displaystyle G_{i}}$ wieder zu einer Gruppe, indem man die Verknüpfung komponentenweise definiert. Handelt es sich bei allen ${\displaystyle G_{i}}$ um dieselbe Gruppe ${\displaystyle G}$, so schreibt man für das Produkt auch ${\displaystyle G^{I}}$. Elemente dieser Gruppe sind Abbildungen ${\displaystyle f,g\colon I\to G}$ und ihre Verküpfung ${\displaystyle (f\cdot g)\colon I\to G}$ ist punktweise definiert durch ${\displaystyle (f\cdot g)(i)=f(i)\cdot g(i)}$ für alle ${\displaystyle i\in I}$.

Beispiele

• Die Addition von zwei Vektoren aus ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ definiert man durch die komponentenweise Addition der Koordinaten. Demnach ist die Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},+)}$ das ${\displaystyle n}$-fache kartesische Produkt der Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$.
• Die Menge ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ aller Folgen ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ wird zu einer Gruppe mit der komponentenweisen Addition.
• Die Menge ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ aller Funtionen von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$ wird zu einer Gruppe mit der punktweisen Addition.

Umgekehrte Gruppe

Sei ${\displaystyle (G,\ast )}$ eine Gruppe. Auf der Menge ${\displaystyle G}$ kann man daraus eine weitere Gruppenoperation ableiten durch

${\displaystyle {\mathbin {\bar {\ast }}}\colon G\to G,\quad a{\mathbin {\bar {\ast }}}b=b\ast a}$.

Dann ist auch ${\displaystyle (G,{\mathbin {\bar {\ast }}})}$ eine Gruppe, da die Gruppenaxiome symmetrisch sind bezüglich Umkehrung. Man nennt dann ${\displaystyle (G,{\mathbin {\bar {\ast }}})=(G,\ast )^{\mathrm {op} }}$ die umgekehrte Gruppe zu ${\displaystyle (G,\ast )}$.

Beispiele

• Jede abelsche Gruppe ist identisch mit ihrer umgekehrten Gruppe.
• Eine nicht-abelsche Gruppe ist nicht identisch mit ihrer Umkehrung, aber beide Gruppen sind mittels ${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$ isomorph (siehe unten).
• In diesem Artikel wurde die symmetrische Gruppe ${\displaystyle (S_{n},\circ )}$ definiert durch die Verknüpfung ${\displaystyle (\sigma \circ \tau )(x)=\sigma (\tau (x))}$. In der Gruppentheorie schreiben manche Autoren ${\displaystyle x^{\tau }}$ statt ${\displaystyle \tau (x)}$, und definieren die Verküpfung ${\displaystyle \tau \circ \sigma }$ dann durch ${\displaystyle x^{\tau \circ \sigma }=(x^{\tau })^{\sigma }}$. Dies definiert die zu ${\displaystyle (S_{n},\circ )}$ umgekehrte Gruppe.

Untergruppen

→ Hauptartikel: Untergruppe

Definition

Sei ${\displaystyle (G,\cdot )}$ eine Gruppe. Eine Teilmenge ${\displaystyle U\subset G}$ heißt Untergruppe, wenn sie folgende drei Bedingungen erfüllt:

1. Die Menge ${\displaystyle U}$ enthält das neutrale Element der Gruppe ${\displaystyle G}$, also ${\displaystyle 1_{G}\in U}$.
2. Zu je zwei Elementen ${\displaystyle a,b\in U}$ enthält ${\displaystyle U}$ auch deren Produkt, also ${\displaystyle a\cdot b\in U}$.
3. Zu jedem Element ${\displaystyle a\in U}$ enthält ${\displaystyle U}$ auch dessen Inverses, also ${\displaystyle a^{-1}\in U}$.

Sind diese Bedingungen erfüllt, dann ist ${\displaystyle (U,\cdot )}$ selbt eine Gruppe durch Einschränkung der Multiplikation ${\displaystyle \cdot \colon G\times G\to G}$ auf ${\displaystyle \cdot \colon U\times U\to U}$.

Beispiele

• In jeder Gruppe sind ${\displaystyle \{1\}}$ und ${\displaystyle G}$ Untergruppen, die so genannten trivialen Untergruppen.
• In jeder Gruppe ${\displaystyle (G,\cdot )}$ definieren die Potenzen ${\displaystyle \{g^{k}\mid k\in \mathbb {Z} \}}$ eines beliebigen Elements ${\displaystyle g\in G}$ eine Untergruppe (siehe Potenzgesetze und zyklische Untergruppen).
• In der Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ ist die Menge ${\displaystyle a\mathbb {Z} }$ der Vielfachen von ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ eine Untergruppe. Umgekehrt ist jede Untergruppe von ${\displaystyle (Z,+)}$ von der Form ${\displaystyle a\mathbb {Z} }$ für ein ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$.
• Die Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$ enthält als Untergruppen ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ und ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, sowie viele weitere.
• Die Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{\times },\cdot )}$ enthält als Untergruppen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$, ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }}$ und ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\times }=\{-1,1\}}$, sowie viele weitere zum Beispiel ${\displaystyle S^{1}=\{z\in \mathbb {C}$ ;|z|=1\}} .
• Die Menge ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ aller Folgen ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist eine Gruppe mit der komponentenweisen Addition. Hierin bilden die konvergenten Folgen eine Untergruppe. Gleiches gilt für die Menge der Nullfolgen, der summierbaren Folgen, etc.
• Die Menge ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ aller Funtionen ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ist eine Gruppe mit der punktweisen Addition. Hierin bilden die stetigen Funktionen eine Untergruppe. Gleiches gilt für die Menge der differenzierbaren Funktionen, der stetig differenzierbaren Funktionen, etc.
• In der Diedergruppe ${\displaystyle D_{4}}$ gibt es folgende Untergruppen: (Hier ein Bild der Untergruppenverbandes)

Äquivalente Definition

Manchmal ist folgendes Kriterium praktisch: Eine Teilmenge ${\displaystyle U\subset G}$ ist genau dann eine Untergruppe von ${\displaystyle G}$, wenn sie die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:

1. ${\displaystyle U}$ ist nicht-leer.
2. Zu je zwei Elementen ${\displaystyle a,b\in U}$ gilt auch ${\displaystyle a\cdot b^{-1}\in U}$.

Beispiele

• In der Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ bildet die Untermenge ${\displaystyle \mathbb {N} }$ der natürlichen Zahlen keine Untergruppe: zum Beispiel gilt ${\displaystyle 2,3\in \mathbb {N} }$ aber ${\displaystyle 2-3\notin \mathbb {N} }$.

Durchschnitt von Untergruppen

Ist ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ eine Familie von Untergruppen ${\displaystyle U_{i}\subset G}$, dann ist auch der Durchschnitt ${\displaystyle U=\bigcap _{i\in I}U_{i}}$ eine Untergruppe von ${\displaystyle G}$:

• Für alle ${\displaystyle i\in I}$ gilt ${\displaystyle 1\in U_{i}}$, also auch ${\displaystyle 1\in U}$.
• Gilt ${\displaystyle a,b\in U}$, dann bedeutet dies ${\displaystyle a,b\in U_{i}}$ für alle ${\displaystyle i\in I}$; da es sich um Untergruppen handelt, folgt daraus ${\displaystyle ab^{-1}\in U_{i}}$ für alle ${\displaystyle i\in I}$, und somit ${\displaystyle ab^{-1}\in U}$.

Beispiele

• Der Durchschnitt von zwei Untergruppen ${\displaystyle a\mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle b\mathbb {Z} }$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ besteht aus den gemeinsament Vielfach von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$. Er ist somit von der Form ${\displaystyle c\mathbb {Z} }$ wobei ${\displaystyle c}$ das kleinste gemeinsame Vielfache von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ ist.
• Die Vereinigung von zwei Untergruppen ist im Allgemeinen keine Untergruppe. Zum Beispiel sind ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle 3\mathbb {Z} }$ Untergruppen von ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$, aber die Vereinigung ${\displaystyle V=2\mathbb {Z} \cup 3\mathbb {Z} }$ ist keine Untergruppe, da ${\displaystyle 2\in V}$ und ${\displaystyle 3\in V}$ aber ${\displaystyle 2-3\in V}$.

Besondere Untergruppen

Die folgenden Beispiele definieren Untergruppen einer Gruppe ${\displaystyle G}$ durch gewisse charakteristische Eigenschaften. Diese spielen bei der weiteren Untersuchung von Gruppen eine wichtige Rolle, können aber auch ohne Umwege sofort als Beispiele für Untergruppen dienen.

Das Zentrum

Das Zentrum einer Gruppe ${\displaystyle G}$ besteht aus allen Elementen ${\displaystyle c\in G}$ die mit allen Gruppenelement kommutieren, geschrieben

${\displaystyle Z(G):=\{c\in G\mid ca=ac{\text{ für alle }}a\in G\}}$

Zentralisator

Der Zentralisator eines Elements ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle G}$ besteht aus allen Gruppenelementen, die mit ${\displaystyle a}$ kommutieren:

${\displaystyle C_{G}(a):=\{c\in G\mid ca=ac\}}$.

Der Zentralisator einer gegebenen Untergruppe (oder auch nur Teilmenge) ${\displaystyle U\subset G}$ ist dementsprechend

${\displaystyle C_{G}(U):=\{c\in G\mid ca=ac{\text{ für alle }}a\in U\}}$.

Dies ist der Durchschnitt der Gruppen ${\displaystyle C_{G}(a)}$ für alle ${\displaystyle a\in U}$. Als Spezialfall erhalten wir das Zentrum ${\displaystyle Z(G)=C_{G}(G)}$.

Normalisator

Zu einer gegebenen Untergruppe ${\displaystyle U\subset G}$ ist der Normalisator in ${\displaystyle G}$ definiert als

${\displaystyle N_{G}(U):=\{g\in G\mid gU=Ug\}}$.

Erzeugte Untergruppen

Man kann eine beliebige Untergruppe erzeugen, indem man ihre Elemente vorgibt. Um hierzu nicht alle Elemente explizit auflisten zu müssen, geht man wie folgt vor. Für eine gegebene Teilmenge ${\displaystyle S\subset G}$ definiert man die von ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle G}$ erzeugte Untergruppe ${\displaystyle \langle S\rangle }$ als den Durchschnitt aller Untergruppen von ${\displaystyle G}$, die ${\displaystyle S}$ enthalten. Diese Konstruktion stellt sicher, dass ${\displaystyle \langle S\rangle }$ die kleinste Untergruppe von ${\displaystyle G}$ ist, die die Menge ${\displaystyle S}$ enthält. Anders gesagt, die Untergruppe ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ist in jeder Untergruppe enthalten, die ${\displaystyle S}$ enthält.

Die von ${\displaystyle S}$ erzeugte Untergruppe lässt sich auch intrinsisch beschreiben als die Menge aller von ${\displaystyle S}$ erzeugten Produkte:

${\displaystyle \langle S\rangle =\{s_{1}^{e_{1}}s_{2}^{e_{2}}\cdots s_{n}^{e_{n}}\mid n\in \mathbb {N} ,\;s_{1},s_{2},\dots ,s_{n}\in S,\;e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\in \mathbb {Z} \}}$

Die Inklusion „${\displaystyle \supset }$“ ist klar, da ${\displaystyle \langle S\rangle }$ eine Untergruppe von ${\displaystyle G}$ ist und ${\displaystyle S}$ enthält. Die Inklusion „${\displaystyle \subset }$“ folgt daraus, dass auch die Menge auf der rechten Seite eine Untergruppe von ${\displaystyle G}$ ist und ${\displaystyle S}$ enthält.

Beispiel

• In der Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ erzeugt ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ die Untergruppe ${\displaystyle \langle a\rangle =a\mathbb {Z} }$ der Vielfachen von ${\displaystyle a}$. Je zwei Elemente ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ erzeugen eine Untergruppe ${\displaystyle \langle a,b\rangle =\langle c\rangle }$ wobei ${\displaystyle c}$ ein größter gemeinsamer Teiler von ${\displaystyle a,b}$ ist.
• Jedes Gruppenelement ${\displaystyle g\in G}$ erzeugt eine Untergruppe ${\displaystyle \langle g\rangle =\{g^{k}\mid k\in \mathbb {Z} \}}$ in ${\displaystyle G}$, die von ${\displaystyle g}$ erzeugte zyklische Untergruppe. Die Ordnung der Untergruppe ${\displaystyle \langle g\rangle }$ ist die Ordnung des Gruppenelements ${\displaystyle g}$.

Erzeugendensysteme

Man sagt, die Gruppe ${\displaystyle G}$ wird von einer Teilmenge ${\displaystyle S}$ erzeugt, wenn ${\displaystyle G=\langle S\rangle }$ gilt. Das bedeutet das sich jedes Element ${\displaystyle g\in G}$ schreiben lässt als ein Produkt ${\displaystyle g=s_{1}^{e_{1}}s_{2}^{e_{2}}\cdots s_{n}^{e_{n}}}$ einer beliebigen Länge ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ mit Faktoren ${\displaystyle s_{1},s_{2},\dots ,s_{n}\in S}$ und Exponenten ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\in \mathbb {Z} }$. In diesem Fall nennt man ${\displaystyle S}$ ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle G}$. (Die Schreibweise von ${\displaystyle g}$ als Produkt über ${\displaystyle S}$ ist im Allgemeinen nicht eindeutig, dies gilt nur in einer freien Gruppe.) Ist die Menge ${\displaystyle S=\{g_{1},g_{2},\dots ,g_{k}\}}$ endlich, so schreibt man auch ${\displaystyle G=\langle g_{1},g_{2},\dots ,g_{k}\rangle }$ und nennt die Elemente ${\displaystyle g_{1},g_{2},\dots ,g_{n}}$ auch kurz Erzeuger von ${\displaystyle G}$. Man beachte dabei, dass es im Allgemeinen viele verschiedene Erzeugendensysteme gibt.

Beispiel

• Die Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ wird erzeugt von ${\displaystyle \{1\}}$ oder von ${\displaystyle \{-1\}}$ aber auch von ${\displaystyle \{3,10\}}$.

Zyklische Gruppen

→ Hauptartikel: zyklische Gruppe

Eine Gruppe ${\displaystyle G}$ heißt zyklisch, wenn sie von einem einzigen Element erzeugt wird. Das heißt, es gibt ein Element ${\displaystyle a\in G}$ sodass ${\displaystyle G=\langle a\rangle }$, oder anders gesagt, jedes Element von ${\displaystyle G}$ ist einen Potenz ${\displaystyle a^{k}}$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$. In diesem Fall nennt man ${\displaystyle a}$ ein erzeugendes Element von ${\displaystyle G}$.

Beispiel

• Die Gruppen ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ und ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n,+)}$ sind zyklisch, und zwar jeweils von ${\displaystyle 1}$ erzeugt.

Dieses Beispiel schöpft bereits alle Möglichkeiten aus: Jede zyklische Gruppe ist isomorph entweder zur unendlich zyklischen Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ oder zu einer zyklischen Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$ der Ordnung ${\displaystyle n\geq 1}$.

Nebenklassen

Vor der allgemeinen Konstruktion betrachten wir als einführendes Beispiel die Gruppe der ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ mit der Addition. Darin ist die Menge ${\displaystyle U=\{\dots ,-6,-3,0,3,6,\dots \}}$ aller ganzzahligen Vielfachen von ${\displaystyle 3}$ eine Untergruppe. Die ganzen Zahlen zerfallen in genau ${\displaystyle 3}$ Nebenklassen:

${\displaystyle H+0=\{\dots ,-6,-3,0,3,6,\dots \}}$

${\displaystyle H+1=\{\dots ,-5,-2,1,4,7,\dots \}}$

${\displaystyle H+2=\{\dots ,-4,-1,2,5,8,\dots \}}$

Diese Nebenklassen ${\displaystyle H+r}$ sind gerade die Restklassen modulo 3. Die Tabelle enthält alle ganzen Zahlen, wobei keine Zahl zweimal vorkommt. In einer gemeinsamen Zeile stehen jeweils die Zahlen, die beim Teilen durch drei den gleichen Rest ${\displaystyle r}$ lassen. Da die Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ abelsch ist, stimmen die Rechtsnebenklasse ${\displaystyle H+r}$ und die Linksnebenklasse ${\displaystyle r+H}$ überein. In einer nicht-abelschen Gruppe muss man Links- und Rechtsnebenklasse im Allgemeinen unterscheiden.

Linksnebenklassen

Es sei ${\displaystyle G}$ eine Gruppe und ${\displaystyle U\subset G}$ eine Untergruppe. Dann kann man auf der Menge ${\displaystyle G}$ eine Relation ${\displaystyle \sim }$ definieren durch

${\displaystyle a\sim b\Leftrightarrow a^{-1}b\in U}$.

Dies ist eine Äquivalenzrelation: Reflexivität ${\displaystyle a\sim a}$ folgt aus ${\displaystyle 1\in U}$, Symmetrie ${\displaystyle a\sim b\Leftrightarrow b\sim a}$ folgt aus ${\displaystyle g\in U\Leftrightarrow g^{-1}U}$, Transitivität ${\displaystyle a\sim b,b\sim a\Rightarrow a\sim c}$ folgt aus ${\displaystyle g,h\in U\Rightarrow gh\in U}$.

Die Äquivalenzklasse ${\displaystyle {\mathfrak {cl}}(a)}$ zu einem Element ${\displaystyle a\in G}$ lässt sich wie folgt explizit beschreiben:

${\displaystyle {\mathfrak {cl}}(a)=\{b\in G\mid a\sim b\}=\{au\mid u\in U\}=aU}$.

Diese Menge ensteht also, indem man alle Elemente von ${\displaystyle U}$ von links mit ${\displaystyle a}$ multipliziert. Daher heißt ${\displaystyle aU}$ die Linksnebenklasse der Untergruppe ${\displaystyle U}$ bezüglich des Elements ${\displaystyle a}$. Die Menge aller Linksnebenklassen von ${\displaystyle G}$ bezeichnet man mit

${\displaystyle G/U:=\{aU\mid a\in G\}}$.

Rechtsnebenklassen

Wenn man umgekehrt eine Relation ${\displaystyle a\sim b}$ definiert durch ${\displaystyle a\sim b\Leftrightarrow ba^{-1}\in U}$, dann erhält man wiederum eine Äquivalenzrelation. Hier sind die Äquivalenzklassen aber

${\displaystyle {\mathfrak {cl}}(a)=\{b\in G\mid a\sim b\}=\{ua\mid u\in U\}=Ua}$.

Diese Menge ensteht also, indem man alle Elemente von ${\displaystyle U}$ von rechts mit ${\displaystyle a}$ multipliziert. Daher heißt ${\displaystyle Ua}$ die Rechtsnebenklasse der Untergruppe ${\displaystyle U}$ bezüglich des Elements ${\displaystyle a}$. Die Menge aller Rechtsnebenklassen von ${\displaystyle G}$ bezeichnet man mit

${\displaystyle U\backslash G:=\{Ua\mid a\in G\}}$.

Beispiel

Zur Illustration betrachten wir die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{3}}$. Darin ist ${\displaystyle U=\{\operatorname {id} ,(1,2)\}}$ eine Untergruppe. Die Linksnebenklassen sind

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {id} \cdot &U&&=\{\operatorname {id} ,(1,2)\},\\(1,2,3)\cdot &U&&=\{(1,2,3),(1,3)\},\\(1,3,2)\cdot &U&&=\{(1,3,2),(2,3)\}.\end{aligned}}}$

Die Rechtsnebenklassen sind hingegen

${\displaystyle {\begin{aligned}U&\cdot \operatorname {id} &&=\{\operatorname {id} ,(1,2)\},\\U&\cdot (1,2,3)&&=\{(1,2,3),(2,3)\},\\U&\cdot (1,3,2)&&=\{(1,3,2),(1,3)\}.\\\end{aligned}}}$

In diesem Fall sind Links- und Rechtsnebenklassen also verschieden.

Satz von Lagrange

→ Hauptartikel: Satz von Lagrange

Zu jeder Gruppe ${\displaystyle G}$ und zu jeder Untergruppe ${\displaystyle U\subset G}$ gibt es eine Bijektion ${\displaystyle G/U\times U\to G}$. Daraus folgt der Satz von Lagrange:

Wenn ${\displaystyle G}$ endlich ist, dann gilt ${\displaystyle |G/U|\cdot |U|=|G|}$. Insbesondere teilt die Ordnung ${\displaystyle |U|}$ jeder Untergruppe die Gruppenordnung ${\displaystyle |G|}$.

Dies gilt insbesondere für die von einem Element ${\displaystyle a\in G}$ erzeugte Untergruppe ${\displaystyle \langle a\rangle }$. Daher der folgende Spezialfall:

In einer endlichen Gruppe ${\displaystyle G}$ teilt die Ordnung jedes Elements die Gruppenordnung ${\displaystyle |G|}$.

Ist speziell ${\displaystyle |G|}$ eine Primzahl, dann hat ${\displaystyle G}$ nur die (trivialen) Untergruppen ${\displaystyle \{e\}}$, bestehend aus dem neutralen Element, und ${\displaystyle G}$ selbst.

Der Satz von Cauchy und die Sylow-Sätze bieten eine (teilweise) Umkehrung das Satzes von Lagrange: Sie erklären, wie aus den Primfaktoren der Gruppenordnung ${\displaystyle |G|}$ auf die Existenz gewisser Untergruppen von ${\displaystyle G}$ geschlossen werden kann.

Homomorphismen

Definition

Ein Homomorphismus von einer Gruppe ${\displaystyle (G,\cdot )}$ in eine Gruppe ${\displaystyle (H,\circ )}$ ist eine Abbildung ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$, die ${\displaystyle \varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\circ \varphi (b)}$ für alle ${\displaystyle a,b\in G}$ erfüllt. Man sagt dazu auch, dass ${\displaystyle \varphi }$ die Verküpfungen erhält order respektiert. Dies wird von manchen Autoren auch kurz Morphismus genannt, wenn der Zusammenhang klar ist, oder auch Gruppenhomomorphismus, wenn die Gruppenstruktur betont werden soll.

Für jeden Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$ gilt ${\displaystyle \varphi (1_{G})=1_{H}}$ und ${\displaystyle \varphi (g^{-1})=\varphi (g)^{-1}}$ für alle ${\displaystyle g\in G}$.

Beispiele

• Zunächst zwei triviale Beispiele. Sei ${\displaystyle \{1\}}$ die triviale Gruppe, die nur aus einem Element besteht (und dieses ist dann notwendigerweise neutral). Sei ${\displaystyle G}$ eine beliebige Gruppe. Dann gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \{1\}\to G}$, nämlich ${\displaystyle 1\mapsto 1_{G}}$. Umgekehrt gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle G\to \{1\}}$, nämlich die konstante Abbildung mit ${\displaystyle g\mapsto 1}$ für alle ${\displaystyle g\in G}$.
• Für jede Gruppe ${\displaystyle (G,\cdot )}$ und jedes Element ${\displaystyle g\in G}$ ist die Abbildung ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {Z} \to G}$ mit ${\displaystyle \phi (k)=g^{k}}$ ein Gruppenhomomorphismus von ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ nach ${\displaystyle (G,\cdot )}$: dies ist die Aussage des obigen Potenzgesetzes, denn ${\displaystyle \phi (k+\ell )=g^{k+\ell }=g^{k}\cdot g^{\ell }=\phi (k)\cdot \phi (\ell )}$ für alle ${\displaystyle k,\ell \in \mathbb {Z} }$.

Beispiele aus der linearen Algebra

• Jeder Homomorphismen ${\displaystyle \varphi \colon V\to W}$ von Vektorräumen über einem Körper ist insbesondere ein Gruppenhomomorphismus von ${\displaystyle (V,+)}$ nach ${\displaystyle (W,+)}$.
• Die Determinante von Matrizen definiert einen Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \det \colon \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ^{\times }}$.
• Die Signatur von Permutationen ist ein Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \operatorname {sign} \colon S_{n}\to \{\pm 1\}}$.

Beispiele aus der Analysis

• Die Exponentialfunktion ${\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{>0}}$ erfüllt ${\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\cdot \exp(b)}$. Diese Abbildung ist demnach ein Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ in die multiplikative Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {R} _{>0},\cdot )}$.
• Die Logarithmusfunktion ${\displaystyle \log \colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} }$ erfüllt ${\displaystyle \log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b)}$. Diese Abbildung ist also ein Gruppenhomomorphismus von der multiplikativen Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {R} _{>0},\cdot )}$ in die additive Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$.
• Die Abbildung ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{\times }}$ mit ${\displaystyle \varphi (t)=\exp(it)=\cos(t)+i\sin(t)}$ ist ein Gruppenhomomorphismus von ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ nach ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{\times },\cdot )}$.

Verkettung von Homomorphismen

Gruppen und ihre Homomorphismen bilden eine Kategorie:

• Für jede Gruppe ${\displaystyle G}$ ist die Identität ${\displaystyle \operatorname {id} \colon G\to G}$ ein Gruppenhomomorphismus.
• Sind ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$ und ${\displaystyle \psi \colon H\to K}$ Gruppenhomomorphismen, dann ist auch ihre Komposition ${\displaystyle \psi \circ \varphi \colon G\to K}$ ein Gruppenhomomorphismus.

Die Menge der Homomorphismen von ${\displaystyle G}$ nach ${\displaystyle H}$ bezeichnet man mit ${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,H)}$. Wir haben also ${\displaystyle \operatorname {id} _{G}\in \operatorname {Hom} (G,G)}$ und die Verkettung definiert eine Verknüpfung ${\displaystyle \operatorname {Hom} (H,K)\times \operatorname {Hom} (G,H)\to \operatorname {Hom} (G,K)}$.

Beispiele

• Die Exponentialfunktion ${\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{>0}}$ und die Logarithmusfunktion ${\displaystyle \log \colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} }$ liefern als Verknüpfungen ${\displaystyle \exp \circ \log =\operatorname {id} _{\mathbb {R} _{>0}}}$ und ${\displaystyle \log \circ \exp =\operatorname {id} _{\mathbb {R} }}$.

Bilder und Urbilder von Untergruppen

Ist ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$ ein Gruppenhomomorphismus, dann gilt:

• Für jede Untergruppe ${\displaystyle V\subset H}$ ist das Urbild ${\displaystyle \phi ^{-1}(V)=\{g\in G\mid \phi (g)\in H\}}$ in ${\displaystyle G}$ eine Untergruppe.
• Für jede Untergruppe ${\displaystyle U\subset G}$ ist das Bild ${\displaystyle \phi (U)=\{\phi (g)\mid g\in U\}}$ in ${\displaystyle H}$ eine Untergruppe.

Insbesondere ist das Bild ${\displaystyle \phi (G)}$ in ${\displaystyle H}$ eine Untergruppe.

Beispiele

• Für jede Untergruppe ${\displaystyle G\subset H}$ ist die Inklusion ${\displaystyle \iota \colon G\hookrightarrow H}$ ein Gruppenhomomorphismus. Jede Untergruppe ${\displaystyle U\subset G}$ ist dann auch eine Untergruppe ${\displaystyle \iota (U)\subset H}$. Das Urbild einer Untergruppe ${\displaystyle V\subset H}$ ist in diesem Fall der Durchschnitt ${\displaystyle \iota ^{-1}(V)=G\cap V}$.

Kern eines Homomorphismus

Der Kern eines Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$ ist die Untergruppe

${\displaystyle \ker(\varphi ):=\{g\in G\mid \varphi (g)=1_{H}\}}$.

Es gilt nun folgendes praktische Kriterium:

Ein Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$ ist genau dann injektiv, wenn ${\displaystyle \ker(\varphi )=\{1_{G}\}}$.

Die Implikation „${\displaystyle \Rightarrow }$“ ist klar. Die Umkehrung „${\displaystyle \Leftarrow }$“ sieht man so: wenn ${\displaystyle \varphi (g)=\varphi (h)}$ gilt, dann folgt ${\displaystyle \varphi (gh^{-1})=\varphi (g)\varphi (h)^{-1}=1_{H}}$, also ${\displaystyle gh^{-1}\in \ker(\varphi )}$. Aus der Vorasusetzung ${\displaystyle \ker(\varphi )=\{1_{G}\}}$ folgt nun ${\displaystyle gh^{-1}=1_{G}}$ und demnach ${\displaystyle g=h}$.

Beispiele

• Zu jeder Gruppe ${\displaystyle G}$ und jedem Element ${\displaystyle g\in G}$ gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {Z} \to G}$ mit ${\displaystyle 1\mapsto g}$, nämlich ${\displaystyle \varphi (k)=g^{k}}$. Sein Bild ist ${\displaystyle \operatorname {\varphi } =\langle g\rangle }$, die von ${\displaystyle g}$ erzeugte Untergruppe in ${\displaystyle G}$. Sein Kern ist ${\displaystyle \ker(\varphi )=n\mathbb {Z} }$, die von der Ordnung ${\displaystyle n=\operatorname {ord} (g)}$ erzeugte Untergruppe in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. (Falls ${\displaystyle g}$ nicht endliche Ordnung hat, so gilt hier ${\displaystyle \ker(\varphi )=\{0\}}$.)
• Der Homomorphismus ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{\times }}$ mit ${\displaystyle \varphi (t)=\exp(it)=\cos(t)+i\sin(t)}$ hat als Kern ${\displaystyle \ker(\varphi )=2\pi \mathbb {Z} }$ und als Bild ${\displaystyle \operatorname {Bild} (\varphi )=S^{1}=\{z\in \mathbb {C}$ ;|z|=1\}} .
• Die Determinante ${\displaystyle \det \colon \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ^{\times }}$ ist ein Gruppenhomomorphismus mit Bild ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$ und Kern ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$, die spezielle lineare Gruppe.

Korrespondenz von Untergruppen

Schematische Darstellung eines Gruppenhomomorphismus und der Korrespondenz von Untergruppen: Die Gruppe und ihr Bild sind gelb dargestellt, der Kern und sein Bild blau, sich entsprechende Untergruppen rot.

Sei ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$ ein Gruppenhomomorphismus. Auf der Menge der Untergruppen stiften ${\displaystyle \phi }$ und ${\displaystyle \phi ^{-1}}$ eine Bijektion zwischen den Untergruppen ${\displaystyle U\subset G}$, die den Kern ${\displaystyle \ker(\varphi )}$ enthalten, und den Untergruppen ${\displaystyle V\subset H}$, die im Bild ${\displaystyle \operatorname {Bild} (\varphi )}$ enthalten sind.

Beispiele

• Die kanonische Projektion ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n}$ hat als Kern ${\displaystyle \ker(\varphi )=n\mathbb {Z} }$ und als Bild ${\displaystyle \operatorname {Bild} (\varphi )=\mathbb {Z} /n}$. Jede Untergruppe ${\displaystyle V\subset \mathbb {Z} /n}$ entspricht also einer Untergruppe ${\displaystyle U=\varphi ^{-1}(V)}$ von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, die ${\displaystyle \ker(\varphi )=n\mathbb {Z} }$ enthält. Dies sind genau die Untergruppen ${\displaystyle a\mathbb {Z} }$ wobei ${\displaystyle a}$ ein Teiler von ${\displaystyle n}$ ist. Somit hat zum Beispiel ${\displaystyle \mathbb {Z} /12}$ genau die sechs Untergruppen ${\displaystyle 1\mathbb {Z} /12}$, ${\displaystyle 2\mathbb {Z} /12}$, ${\displaystyle 3\mathbb {Z} /12}$, ${\displaystyle 4\mathbb {Z} /12}$, ${\displaystyle 6\mathbb {Z} /12}$, ${\displaystyle 12\mathbb {Z} /12}$.

Isomorphismen

Einen Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$ nennt man

• Monomorphismus wenn ${\displaystyle \varphi }$ injektiv ist, geschrieben ${\displaystyle G\rightarrowtail H}$;
• Epimorphismus wenn ${\displaystyle \varphi }$ surjektiv ist, geschrieben ${\displaystyle G\twoheadrightarrow H}$;
• Isomorphismus wenn ${\displaystyle \varphi }$ bijektiv ist, geschrieben ${\displaystyle G{\overset {\sim }{\to }}H}$ oder ${\displaystyle G\cong H}$.

Für jeden Isomorphismus ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$ ist die Umkehrabbildung ${\displaystyle \varphi ^{-1}\colon H\to G}$ ebenfalls ein Isomorphismus. Anders gesagt: Ein Homomorphismus ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn es einen Homomorphismus ${\displaystyle \psi \colon H\to G}$ gibt sodass ${\displaystyle \psi \circ \phi =\operatorname {id} _{G}}$ und ${\displaystyle \phi \colon \psi =\operatorname {id} _{H}}$ gilt.

Beispiele

• Die Exponentialfunktion ${\displaystyle \exp \colon (\mathbb {R} ,+)\to (\mathbb {R} _{>0},+)}$ und die Logarithmusfunktion ${\displaystyle \log \colon (\mathbb {R} _{>0},+)\to (\mathbb {R} ,\cdot )}$ sind zueinander inverse Gruppenisomorphismen.
• Jede Gruppe ${\displaystyle (G,\ast )}$ ist zu ihrer umgekehrten Gruppe ${\displaystyle (G,{\mathbin {\bar {\ast }}})=(G,\ast )^{\mathrm {op} }}$ isomorph vermöge ${\displaystyle \varphi \colon G\to G}$, ${\displaystyle \varphi (x)=x^{-1}}$. Es gilt nämlich ${\displaystyle \varphi \circ \varphi =\operatorname {id} _{G}}$ und ${\displaystyle \varphi (a\ast b)=(a\ast b)^{-1}=b^{-1}\ast a^{-1}=a^{-1}{\mathbin {\bar {\ast }}}b^{-1}=\varphi (a){\mathbin {\bar {\ast }}}\varphi (b)}$. (Siehe Invertieren)

Sind zwei Gruppen ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$ isomorph, dann haben sie die gleiche Struktur (d.h. Anzahl und Verknüpfung der Elemente). Lediglich die Namen der Elemente sind verschieden; diese werden vom gewählten Isomorphismus ${\displaystyle \varphi \colon G{\overset {\sim }{\to }}H}$ sozusagen übersetzt. Mit dieser Übersetzung entsprechen sich auch alle anderen Konzepte wie Untergruppen, Ordnungen der Elemente, etc.

Beispiele

• Die Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n,+)}$ ist isomorph zur Gruppe der Drehungen eines regelmäßigen ${\displaystyle n}$-Ecks in der Ebene vermöge ${\displaystyle k\mapsto r_{k}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}\cos(2\pi k/n)&-\sin(2\pi k/n)\\\sin(2\pi k/n)&\cos(2\pi k/n)\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$.
• Weniger offensichtlich ist der Isomorphimus ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /q\cong \mathbb {Z} /pq}$ für teilerfremde ganze Zahlen ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$ (chinesischer Restsatz). So sind zum Beispiel die Gruppen ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /3}$ und ${\displaystyle \mathbb {Z} /6}$ isomorph, denn beide sind zyklisch von Ordnung ${\displaystyle 6}$. Hingegen sind die Gruppen ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2}$ und ${\displaystyle \mathbb {Z} /4}$ nicht isomorph: letztere ist zyklisch von Ordnung ${\displaystyle 4}$, aber erstere enthält nur Elemente der Ordnung ${\displaystyle 1}$ oder ${\displaystyle 2}$.
• Jede Bijektion ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ zwischen zwei Mengen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ induziert einen Isomorphismus ${\displaystyle g\colon \operatorname {Sym} (X)\to \operatorname {Sym} (Y)}$ zwischen den symmetrischen Gruppen auf ${\displaystyle X}$ bzw. ${\displaystyle Y}$ durch ${\displaystyle g(\tau )=f\circ g\circ f^{-1}}$.

Automorphismen

Für Homomorphismen einer Gruppe in sich sind folgende Begriffe üblich:

• Ein Endomorphismus ist ein Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle G\to G}$ von ${\displaystyle G}$ in sich.
• Ein Automorphismus ist ein Gruppenisomorphismus ${\displaystyle G\to G}$ von ${\displaystyle G}$ in sich.

Die Menge aller Automorphismen von ${\displaystyle G}$ bezeichnet man mit ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$. Mit der Verkettung als Verknüpfung bildet sie selbst eine Gruppe, die Automorphismengruppe von ${\displaystyle G}$.

Beispiele

• Auf der Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist die Abbildung ${\displaystyle \mu _{k}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ mit ${\displaystyle \mu _{k}(a)=ka}$ ein Endomorphismus. Jeder Endomorphismus ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ ist von dieser Form, denn ${\displaystyle \varphi }$ ist durch ${\displaystyle \varphi (1)=k}$ eindeutig festgelegt, und daraus folgt ${\displaystyle \varphi =\mu _{k}}$.
• Der Endomorphismus ${\displaystyle \mu _{k}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ ist injektiv für alle ${\displaystyle k\neq 0}$ und surjektiv für ${\displaystyle k=\pm 1}$. Neben der Identität ${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathbb {Z} }}$ erhalten wir somit einen zweiten Automorphismus ${\displaystyle -\operatorname {id} _{\mathbb {Z} }}$. Dies sind bereits alle Automorphismen der Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$.
• Für eine Gruppe ${\displaystyle G}$ ist die Abbildung ${\displaystyle g\mapsto g^{2}}$ genau dann ein Endomorphismus, wenn ${\displaystyle G}$ abelsch ist (siehe Kommutieren).
• Für eine Gruppe ${\displaystyle G}$ ist die Abbildung ${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$ genau dann ein Automorphismus, wenn ${\displaystyle G}$ abelsch ist (siehe Kommutieren).

Innere Automorphismen

Für jedes Element ${\displaystyle c\in G}$ einer Gruppe ${\displaystyle G}$ definiert man die Konjugation ${\displaystyle \gamma _{c}\colon G\to G}$ durch ${\displaystyle \gamma _{c}(g)=cgc^{-1}}$. Dann ist ${\displaystyle \gamma _{c}}$ ein Gruppenhomomorphismus, denn für alle ${\displaystyle a,b\in G}$ gilt ${\displaystyle \gamma _{c}(a\cdot b)=cabc^{-1}=cac^{-1}cbc^{-1}=\gamma _{c}(a)\gamma _{c}(b)}$. Die Verkettung liefert hier ${\displaystyle (\gamma _{c}\circ \gamma _{d})(a)=\gamma _{c}(\gamma _{d}(a))=cdad^{-1}c^{-1}=\gamma _{cd}(a)}$. Demnach ist ${\displaystyle \gamma _{c}}$ ein Automorphismus, und der inverse Automorphismus ist ${\displaystyle (\gamma _{c})^{-1}=\gamma _{(c^{-1})}}$.

Beispiele

• In der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{3}}$ vertauscht die Konjugation mit ${\displaystyle (2,3)}$ die Elemente ${\displaystyle (1,2)\leftrightarrow (1,3)}$ sowie ${\displaystyle (1,2,3)\leftrightarrow (1,3,2)}$ und lässt ${\displaystyle (2,3)}$ und die Identität fest.
• In der linearen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$ entspricht die Konjugation durch ${\displaystyle A\in \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$ einem Basiswechsel von der Standardbasis ${\displaystyle (e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})}$ zur Basis ${\displaystyle (Ae_{1},Ae_{2},\dots ,Ae_{n})}$.

Die Konjugation definiert einen natürlichen Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \gamma \colon G\to \operatorname {Aut} (G)}$, der jedem Element ${\displaystyle c\in G}$ die Konjugation ${\displaystyle \gamma _{c}\in \operatorname {Aut} (G)}$ zuordnet.

• Der Kern von ${\displaystyle \gamma }$ besteht aus den Elementen ${\displaystyle c\in G}$, die mit allen Gruppenelementen ${\displaystyle g\in G}$ kommutieren: der Kern ist also gerade das Zentrum, ${\displaystyle \ker(\gamma )=Z(G)}$.
• Das Bild von ${\displaystyle \gamma }$ ist eine Untergruppe von ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$, und wird die Gruppe der inneren Automorphismen genannt, geschrieben ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$.

Beispiele

• Das Zentrum der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ ist trivial für ${\displaystyle n\geq 3}$. Also ist hier ${\displaystyle \gamma \colon S_{n}{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {Inn} (S_{n})}$ ein Isomorphismus. Für alle ${\displaystyle n\neq 6}$ gilt zudem ${\displaystyle \operatorname {Aut} (S_{n})=\operatorname {Inn} (S_{n})}$; nur für den Ausnahmefall ${\displaystyle n=6}$ ist ${\displaystyle \operatorname {Inn} (S_{n})}$ eine Untergruppe von Index ${\displaystyle 2}$ in ${\displaystyle \operatorname {Aut} (S_{n})}$.

In einer abelschen Gruppe ${\displaystyle G}$ ist jede Konjugation die identische Abbildung, also ${\displaystyle \gamma \colon G\to \{\operatorname {id_{G}} \}}$ der triviale Homomorphismus, und das Zentrum ist ${\displaystyle Z(G)=G}$. In nicht-abelschen Gruppen spielt die Konjugation hingegen eine wichtige Rolle, zum Beispiel bei der Betrachtung von Normalteilern.

Normalteiler und Faktorgruppe

Normalteiler

→ Hauptartikel: Normalteiler

Ist ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$ ein Gruppenhomomorphismus, dann hat der Kern ${\displaystyle K=\ker(\varphi )}$ folgende Eigenschaft:

Es gilt ${\displaystyle g^{-1}Kg=K}$ für alle ${\displaystyle g\in G}$.

Eine Untergruppe ${\displaystyle K\subset G}$ mit dieser Eigenschaft nennt normal in ${\displaystyle G}$ oder auch einen Normalteiler von ${\displaystyle G}$.

Diese Eigenschaft ist gleichbedeutend mit ${\displaystyle Kg=gK}$ für alle ${\displaystyle g\in G}$, das heißt die Rechts- und Linksnebenklassen von ${\displaystyle K}$ stimmen überein.

Man beachte, dass in einer abelschen Gruppe jede Untergruppe normal ist. In einer nicht-abelschen Gruppe ist dies im Allgemeinen anders, zum Beispiel:

• In der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{3}}$ ist die von ${\displaystyle a=(1,2,3)}$ erzeugte Untergruppe ${\displaystyle K=\langle a\rangle =\{1,a,a^{2}\}}$ ein Normalteiler.
• In der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{3}}$ ist die von ${\displaystyle b=(1,2)}$ erzeugte Untergruppe ${\displaystyle H=\langle b\rangle =\{1,a\}}$ kein Normalteiler (siehe oben).

Faktorgruppe

→ Hauptartikel: Faktorgruppe

Der Begriff des Normalteilers erlaubt es, mit Nebenklassen zu rechnen. Ist ${\displaystyle K}$ ein Normalteiler in einer Gruppe ${\displaystyle G}$, dann stimmt die Menge ${\displaystyle G/K}$ der Linksnebenklassen mit der Menge ${\displaystyle K\backslash G}$ überein, und wir können uns auf die Diskussion der Linksnebenklassen beschränken.

Auf der Menge ${\displaystyle G/K}$ der Nebenklassen definieren wir nun die Verknüpfung

${\displaystyle (aK)\cdot (bK):=(ab)K}$.

Diese ist wohdefiniert, das heißt unabhängig von den gewählten Repräsentanten ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ der Nebenklassen, weil ${\displaystyle K}$ ein Normalteiler ist. Mit dieser Verknüpfung wird ${\displaystyle G/K}$ zu einer Gruppe. Diese nennt man die Faktorgruppe von ${\displaystyle G}$ bezüglich ${\displaystyle K}$, oder auch Quotientengruppe von ${\displaystyle G}$ bezüglich ${\displaystyle K}$.

Induzierte Homomorphismen

Isomorphiesätze