Loading AI tools
Begriff aus der Gruppentheorie Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
In der Gruppentheorie der Mathematik ist eine Untergruppe einer Gruppe eine Teilmenge von , die bezüglich der Verknüpfung selbst wieder eine Gruppe ist. Manchmal wird die Kurzschreibweise verwendet, zu lesen als „ ist Untergruppe von “.
Die Gruppe heißt Obergruppe der Untergruppe , in Zeichen .
Untergruppen sind die Unterstrukturen in der Gruppentheorie.
Eine nichtleere Teilmenge von bildet genau dann eine Untergruppe von , wenn eine (und damit alle) der folgenden äquivalenten Bedingungen gilt:
Beweise |
Ist Untergruppe, dann gelten alle 4 Kriterien. Es gelte Kriterium 1. Es gelte Kriterium 2. Es gelte Kriterium 3. Es gelte Kriterium 4. Die Bezugnahme auf Elemente außerhalb von in den Kriterien 3 und 4 ist eine scheinbare. Kriterium 3 ist . Und der gegebene Beweis zu Kriterium 4 basiert darauf, dass der rechte Faktor nicht sein kann, wenn das Produkt ist. Insofern bleiben alle relevanten Verknüpfungen innerhalb . Die Kriterien 3 und 4 sind auch völlig unabhängig von der Größe von . So betrachtet sind sie besondere Formulierungen der Transitivität der Untergruppenrelation (s. den § #Eigenschaften). |
Je nach Art der Verknüpfung können verschiedene Kriterien zum Nachweis der Untergruppeneigenschaft von Vorteil sein. Das vierte Kriterium ist ohne Inversenbildung formuliert und kann daher ggf. in Fällen angewendet werden, bei denen die Inversenbildung Schwierigkeiten macht.
Das neutrale Element einer Gruppe ist das neutrale Element jeder Untergruppe und somit ist es insbesondere in jeder Untergruppe enthalten.
Der Durchschnitt einer Familie von Untergruppen einer Gruppe ist eine Untergruppe von .
Die Untergruppenrelation ist transitiv. Das heißt, wenn Untergruppe einer Gruppe ist, die ihrerseits Untergruppe von ist, dann ist auch Untergruppe von . Kurz gilt also
Zu beachten ist, dass die entsprechende Aussage für Normalteiler nicht gilt.
Der Satz von Lagrange liefert für endliche Gruppen ein notwendiges Kriterium für die Existenz einer Untergruppe mit einer bestimmten Ordnung. Aus ihm folgt nämlich, dass die Ordnung einer Untergruppe einer endlichen Gruppe die Ordnung der Gruppe teilt. Ist beispielsweise eine Primzahl, so kann die Ordnung einer Untergruppe nur 1 oder betragen. Also ist in diesem Falle die triviale Untergruppe die einzige echte Untergruppe von . Weitere Aussagen über die Existenz bestimmter Untergruppen mit einer bestimmten Ordnung erhält man aus den Sylow-Sätzen. Ist eine Primzahl und ein Teiler der Gruppenordnung, so gibt es Untergruppen der Ordnung . Die 12-elementige alternierende Gruppe A4 hat keine Untergruppe der Ordnung 6.
Da der Durchschnitt von Untergruppen wieder eine Untergruppe ist, gibt es zu jeder Teilmenge einer Gruppe eine bezüglich der Inklusion minimale Untergruppe von , die enthält. Diese Untergruppe wird mit bezeichnet und die von erzeugte Untergruppe von genannt. Abstrakt definiert man also
Man kann zeigen, dass die Elemente von genau die Elemente von sind, welche man durch Verknüpfungen von endlich vielen erhält. Hierbei bezeichnet die Menge der Inversen der Elemente von . Es gilt also:
Gilt für eine Untergruppe , dass , so heißt ein Erzeugendensystem von . Das Erzeugendensystem einer Untergruppe ist nicht eindeutig.
Eine Untergruppe , welche ein endliches Erzeugendensystem besitzt, wird als endlich erzeugte Gruppe bezeichnet. Besitzt ein Erzeugendensystem aus einem Element , so heißt zyklisch und man schreibt . Will man explizit durch seine Elemente beschreiben, so erhält man:
Die Gruppenordnung heißt die Ordnung des erzeugenden Elements .
Die Menge aller Untergruppen einer Gruppe bildet einen vollständigen Verband, den Untergruppenverband. Die beiden trivialen Untergruppen und entsprechen dem Null- bzw. dem Einselement des Verbandes. Dabei sind die Verbandsoperationen
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.