Restklasse

Im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie ist die Restklasse einer Zahl ${\displaystyle a}$ modulo einer Zahl ${\displaystyle m}$ die Menge aller Zahlen, die bei Division durch ${\displaystyle m}$ denselben Rest lassen wie ${\displaystyle a}$.^[1]

Definition

Es sei ${\displaystyle m}$ eine von 0 verschiedene ganze Zahl und ${\displaystyle a}$ eine beliebige ganze Zahl. Die Restklasse von ${\displaystyle a}$ modulo ${\displaystyle m}$, geschrieben

${\displaystyle a+m\mathbb {Z} ,}$

ist die Äquivalenzklasse von ${\displaystyle a}$ bezüglich der Kongruenz modulo ${\displaystyle m}$, also die Menge der Ganzzahlen, die bei Division durch ${\displaystyle m}$ den gleichen Rest wie ${\displaystyle a}$ ergeben. Sie besteht somit aus allen ganzen Zahlen ${\displaystyle b}$, die sich aus ${\displaystyle a}$ durch die Addition ganzzahliger Vielfacher von ${\displaystyle m}$ ergeben:

${\displaystyle a+m\mathbb {Z} =\{b\mid b=a+km\ \,\mathrm {f{\ddot {u}}r\ ein} \ \,k\in \mathbb {Z} \}=\{b\mid b\equiv a\;({\rm {mod}}\;m)\}}$.

Ein Element einer Restklasse bezeichnet man auch als Repräsentant der Restklasse. Häufig verwendet man die Standardrepräsentanten ${\displaystyle 0,1,2,\dots ,m-1}$.

Die Menge aller Restklassen modulo ${\displaystyle m}$ schreibt man häufig als ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$. Sie hat ${\displaystyle m}$ Elemente und die Struktur eines Ringes und wird deshalb Restklassenring genannt. Genau dann, wenn ${\displaystyle m}$ eine Primzahl ist, ergibt sich sogar die Struktur eines endlichen Körpers.

Eine Restklasse modulo ${\displaystyle m}$ heißt prime Restklasse, wenn ihre Elemente teilerfremd zu ${\displaystyle m}$ sind. (Wenn dies für ein Element gilt, dann auch für alle anderen.) Die Menge der primen Restklassen ist die Gruppe der Einheiten ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ (oder ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}^{*}}$) im Restklassenring ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$; sie wird prime Restklassengruppe genannt und umfasst die multiplikativ invertierbaren Restklassen.

Beispiele

• Die Restklasse von 0 modulo 2 ist die Menge der geraden Zahlen.
• Die Restklasse von 1 modulo 2 ist die Menge der ungeraden Zahlen.
• Die Restklasse von 0 modulo ${\displaystyle m}$ ist die Menge der Vielfachen von ${\displaystyle m}$.
• Die Restklasse von 1 modulo 3 ist die Menge ${\displaystyle \{\ldots ,-8,-5,-2,1,4,7,10,\ldots \}.}$

Verallgemeinerung

Ist ${\displaystyle A}$ ein Ring und ${\displaystyle I\subseteq A}$ ein Ideal, so heißen Mengen der Form

${\displaystyle a+I=\{a+i\mid i\in I\}}$

Restklassen modulo ${\displaystyle I}$. Ist ${\displaystyle A}$ kommutativ, oder ist ${\displaystyle I}$ ein zweiseitiges Ideal, so hat die Menge ${\displaystyle A/I}$ der Restklassen modulo ${\displaystyle I}$ eine natürliche Ringstruktur und heißt Restklassenring, Quotientenring oder Faktorring modulo ${\displaystyle I}$. ${\displaystyle A/I}$ wird durch Elemente in ${\displaystyle A}$ repräsentiert, wobei die Restklassen ${\displaystyle a+I}$ und ${\displaystyle b+I}$ in ${\displaystyle A/I}$ übereinstimmen, falls ${\displaystyle a-b\in I}$ gilt.

Literatur

• Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 5. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2002, ISBN 3-540-64630-2.

Weblinks

• Christian Spannagel: Restklassen und algebraische Strukturen. Vorlesungsreihe, 2012.
• Christian Spannagel: Kongruenzen und Restklassen. Vorlesungsreihe, 2012.

Einzelnachweise

1. Fischer, Gerd.: Lineare Algebra – Eine Einführung für Studienanfänger. 18., aktualisierte Aufl. 2014. Springer Spektrum, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-658-03945-5, S. 50.