Loading AI tools
Verträgliche Abbildung zwischen Affinen Räumen in der Geometrie Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
In der Geometrie und in der Linearen Algebra, Teilgebieten der Mathematik, ist eine affine Abbildung oder Affinität (auch affine Transformation genannt, insbesondere bei einer bijektiven affinen Abbildung) eine Abbildung zwischen zwei affinen Räumen, bei der Kollinearität, Parallelität und Teilverhältnisse bewahrt bleiben oder gegenstandslos werden. Präziser formuliert:
Eine bijektive affine Abbildung eines affinen Raumes auf sich selbst wird Affinität genannt.
In der Schulmathematik und manchen Anwendungsgebieten (zum Beispiel in der Statistik, siehe unten) werden spezielle affine Abbildungen auch lineare Abbildung oder lineare Funktion genannt. Im allgemeinen mathematischen Sprachgebrauch ist eine lineare Abbildung jedoch ein Homomorphismus von Vektorräumen.
Eine Abbildung zwischen affinen Räumen und heißt affine Abbildung, wenn es eine lineare Abbildung zwischen den zugehörigen Vektorräumen gibt, so dass
für alle Punkte gilt. Dabei bezeichnen und die Verbindungsvektoren der Urbild- bzw. der Bildpunkte.
In dem wichtigen Anwendungsfall, dass und gilt, ist eine Abbildung bereits dann eine affine Abbildung, wenn es eine lineare Abbildung gibt mit
für alle in . In diesem Fall entsteht eine affine Abbildung also durch eine Translation einer linearen Abbildung mit dem Bild des Nullpunkts.
Dieser Abschnitt befasst sich mit affinen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen affinen Räumen.
Wenn sowohl im Urbildraum als auch im Bildraum ein affines Koordinatensystem fest gewählt worden ist, dann setzt sich bezüglich dieses Koordinatensystems eine affine Abbildung aus einer linearen Transformation und einer Parallelverschiebung zusammen. Die lineare Transformation lässt sich dann als Matrix-Vektor-Produkt schreiben und die affine Transformation ergibt sich aus der Matrix (der Abbildungsmatrix) und dem Verschiebungsvektor :
Die Koordinatenvektoren und sind in dieser Schreibweise Spaltenvektoren und stellen die affinen Koordinaten der Ortsvektoren eines Urbildpunktes bzw. eines Bildpunktes dar. Die Anzahl der Zeilen der Matrix ist gleich der Dimension des Raumes , in den abgebildet wird (Wertevorrat), die Anzahl ihrer Spalten ist gleich der Dimension des abgebildeten Raumes .
Die Dimension des Bildraumes der affinen Abbildung ist gleich dem Rang der Abbildungsmatrix .
Bei einer affinen Selbstabbildung eines affinen Raumes wird nur ein affines Koordinatensystem gewählt, die Koordinatenvektoren und beziehen sich also auf dasselbe Koordinatensystem, die Abbildungsmatrix ist quadratisch, d. h. ihre Zeilen- und Spaltenzahl ist gleich. In diesem Zusammenhang ist es üblich, den affinen Raum mit dem zugehörigen Vektorraum der Verschiebungen zu identifizieren. In diesem Sinn umfassen die affinen Selbstabbildungen alle linearen Abbildungen (mit ) und ergänzen diese um einen Translationsanteil.
Eine affine Selbstabbildung ist genau dann eine Affinität, wenn die Determinante der Abbildungsmatrix ungleich 0 ist.
Wählt man zur Darstellung sowohl im Urbildraum als auch im Bildraum homogene affine Koordinaten, dann lässt sich der Verschiebungsvektor mit der Abbildungsmatrix zu einer erweiterten Abbildungsmatrix zusammenfassen:
Die Abbildungsgleichung lautet dann für homogene Koordinatenvektoren
Bei dieser Darstellung der erweiterten Matrix wird als homogenisierende Koordinate eine zusätzliche Koordinate an den Spaltenvektor angefügt:
Diese Darstellung durch homogene Koordinaten kann als eine Einbettung des affinen Raumes in einen projektiven Raum der gleichen Dimension interpretiert werden. Dann sind die homogenen Koordinaten als projektive Koordinaten zu verstehen.
Affinitäten werden generell zunächst danach unterschieden, wie viele Fixpunkte sie haben. Dies gilt auch, wenn der affine Raum mehr als zwei Dimensionen hat. Ein Punkt ist Fixpunkt, wenn er durch die Affinität auf sich selbst abgebildet wird. In der Koordinatendarstellung kann man den Koordinatenvektor eines Fixpunkts bestimmen, indem man das Gleichungssystem löst. Man beachte, dass auch für Fixpunkte existieren können!
Ausführlicher und verallgemeinert auf höhere Dimensionen wird die Klassifikation im Hauptartikel Affinität (Mathematik) dargestellt.
Eine ebene Affinität wird auf Normalform gebracht, indem man für ihre Koordinatendarstellung eine geeignete affine Punktbasis wählt. Dazu wird, wo immer das möglich ist, der Ursprung des Koordinatensystems in einen Fixpunkt und die Achsen des Koordinatensystems in Richtung von Fixgeraden gelegt. Die folgenden Normalformen gelten für Affinitäten in der reellen affinen Ebene. Im Falle einer fixpunktfreien Affinität ist außer der Abbildungsmatrix noch ein Verschiebungsvektor zur Beschreibung der Affinität nötig.
Diese Klassifikation der Affinitäten gilt auch allgemeiner bei einer affinen Ebene zum Vektorraum , wenn ein euklidischer Teilkörper der reellen Zahlen ist. Dabei gilt dann für die Matrixeinträge zusätzlich: . Bei Drehstreckungen ist im Allgemeinen – auch wenn die Ebene eine euklidische Ebene mit Bogenmaß ist – das Winkelmaß selbst kein Körperelement.
Affine Abbildungen kommen z. B. in der Kartografie und der Bildbearbeitung zur Anwendung.
Als lineare Transformation werden affine Abbildungen beispielsweise in den statistischen Methoden eingesetzt.
Betrachtet wird eine Zufallsvariable mit dem Erwartungswert und der Varianz . Es wird eine neue Zufallsvariable gebildet, die eine lineare Transformation von ist,
wobei und reelle Zahlen sind.
Die neue Zufallsvariable hat dann den Erwartungswert
und die Varianz
Speziell gilt: Ist normalverteilt, so ist auch normalverteilt mit den obigen Parametern.
Sei eine Zufallsvariable mit positiver Varianz. Nützlich ist dann eine lineare Transformation
denn nun ist mit und eine sogenannte standardisierte Zufallsvariable.
Betrachtet werden viele Zufallsvariablen , . Man fasst diese Zufallsvariablen im Zufallsvektor zusammen. Die Erwartungswerte werden im Erwartungswertvektor und die Varianzen und Kovarianzen in der Kovarianzmatrix aufgeführt. Es wird ein Zufallsvektor gebildet, der eine lineare Transformation von ist,
wobei ein -dimensionaler Spaltenvektor und eine ()-Matrix sind.
hat dann den Erwartungswertvektor
und die Kovarianzmatrix
Speziell gilt: Ist -dimensional normalverteilt, so ist -dimensional normalverteilt mit den obigen Verteilungsparametern.
Die affine Transformation ist eine lineare Abbildungsmethode, bei der Punkte, gerade Linien, Geraden und Ebenen erhalten bleiben. Parallele Linien und Geraden bleiben nach einer affinen Transformation parallel.
Affine Transformationen werden typischerweise verwendet, um geometrische Verzerrungen oder Verformungen zu korrigieren, die bei nicht idealen Kamerawinkeln auftreten. Beispielsweise verwenden Satellitenbilder affine Transformationen, um Verzerrungen von Weitwinkelobjektiven, Panoramabildern und Bildregistrierungen zu korrigieren. Das Transformieren und Verschmelzen der Bilder zu einem großen, flachen Koordinatensystem ist wünschenswert, um Verzerrungen zu vermeiden. Dies ermöglicht einfachere Interaktionen und Berechnungen, bei denen keine Bildverzerrung berücksichtigt werden muss.
Die folgende Tabelle zeigt die verschiedenen affinen Transformationen am Beispiel eines Schachbrettmusters: Identische Abbildung, Parallelverschiebung, Spiegelung, Skalierung, Drehung und Scherung:[1]
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.