Trychiad conig

Mewn mathemateg, mae trychiad conig (neu conig ar ei ben ei hun) yn gromlin a geir drwy groestori arwyneb côn gyda phlân. Y tri math yw: hyperbola, parabola ac elíps. Gellir ystyried y cylch fel math arbennig o'r elíps; mor arbennig, caiff ei ystyried ar ei liwt ei hun, ac weithiau fel y pedwerydd math o drychiad conig. Astudiwyd y maes hwn yn gynnar iawn, gan fathemategwyr Groegaidd, gyrhaeddodd ei anterth tua 200 CC, gydag Apollonius o Berga, a astudiai eu nodweddion.^[1]

Trychiad conig

Math	algebraic curve, plane curve, locws, cross section, quadratic curve
Rhan o	Dandelin spheres
Yn cynnwys	elíps, parabola, hyperbola, cylch
Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

Gwahanol fathau o drychiadau conig:
1. Parabola
2. Cylch ac elíps
3. Hyperbola

Y pedwar math, wedi'u hamlinellu'n ddu o gwmpas y rhannau lliw.

Mae gan drychiadau (neu weithiau 'doriadau') conig y plân Ewclidaidd amryw o nodweddion. Defnyddiwyd llawer o'r rhain fel sail ar gyfer diffiniad o'r trychiadau conig. Mae un 'eiddo' o'r fath yn diffinio conig nad yw'n gylchol i fod yn set o'r pwyntiau hynny y mae eu pellteroedd i ryw bwynt penodol, a elwir yn "ffocws", a rhyw linell benodol, a elwir yn "cyfeirlin" (directrix), mewn cymhareb sefydlog, o'r enw "echreiddiad". Mae'r math o gysig yn cael ei bennu gan werth yr echreiddiad hwn.^[2][3]

• 
  Diagramau geometrig o'r trychiad conig, gan Apollonius o Berga, ac a gyfieithwyd i'r Arabeg yn y 9g
• 
  Llyfr gan Ephraim Chambers: Y Tabl o Gonigau, neu'r Cyclopaedia, (Llundain 1728).

Mewn geometreg ddadansoddol gellir diffinio'r conig fel cromlin algebraidd plân, 2 radd. Hynny yw, set o bwyntiau lle mae eu cyfesurynnau yn bodloni hafaliad cwadratig mewn dau newidyn. Gellir sgwennu'r hafaliad yma yn y dull metrics, a gellir astudio rhai nodweddion geometraidd fel amodau algebraidd.

Paramedrau'r conig

Mae nifer o baramedrau yn gysylltiedig â thrychiad conig. Y prif echelin yw'r linell sy'n ymuno â ffocws yr elíps neu'r hyperbola, a'r canol yn yr achosion hyn yw canolbwynt y linell sy'n ymuno â'r ffocws. Rhoddir, isod mewn tabl, rai o'r nodweddion cyffredin eraill a / neu baramedrau'r conig.

Termau

• Yr echreiddiad llinol (linear eccentricity) (c) yw'r pellter o'r canol i'r ffocws (neu un o ddau ffocws).
• Y latus rectum yw'r cord cyfochrog (paralel) i'r cyfeirlin sy'n pasio drwy'r ffocws (neu un o ddau ffocws). Dynodir ei hyd gan 2ℓ.
• Y semi-latus rectum (ℓ) yw hanner hyd y latus rectum.
• Y paramedr ffocal (p) yw'r pellter o'r ffocws (neu un o ddau ffocws) i'r cyfeirlin.

Fel arfer, gydag elíps ac hyperbola mae gan fertigau'r conig gyfesurynnau (−a, 0) a (a, 0), gyda a yn ddi-negatif.

Yr echelin semi-major yw gwerth a.

Yr echelin semi-minor yw'r gwerth b yn yr hafaliad Cartesaidd safonol yr elíps neu'r hyperbola.

Mae'r canlynol yn gywir:

• ${\displaystyle pe=\ell \,}$
• ${\displaystyle ae=c.\,}$

Mae'r paramedrau'n perthyn i'w gilydd, fel y gwelir yn y tabl isod, ble mae safleoedd arferol yn cael ei gymryd yn ganiataol. Ym mhob achos, hefyd, mae a a b yn bositif.

trychiad conig	hafaliad	echreiddiad (e) (eccentricity)	echreiddiad llinol (c)	semi-latus rectum (ℓ)	paramedr y ffocws (p)
cylch	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle a\,}$	${\displaystyle \infty }$
elíps	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}$
parabola	${\displaystyle y^{2}=4ax\,}$	${\displaystyle 1\,}$	N/A	${\displaystyle 2a\,}$	${\displaystyle 2a\,}$
hyperbola	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

Cyfeiriadau

1. Brannan, Esplen & Gray 1999, t. 13
2. Eves 1963, t. 319
3. Wilson & Tracey 1925, tt. 111–124