součet prvků hlavní úhlopříčky čtvercové matice From Wikipedia, the free encyclopedia
V lineární algebře je stopa čtvercové matice definována jako součet prvků na hlavní diagonále. Značí se . [1]
Pro komplexní matice platí, že stopa je součtem jejích vlastních čísel včetně násobností. Stopa splňuje pro libovolné dvě matice a odpovídajících velikostí, a proto podobné matice mají stejnou stopu.
Pro matici
má stopa hodnotu
Prvky mohou být reálná čísla, komplexní čísla nebo obecněji prvky tělesa . Stopa je definována pouze pro čtvercové matice, t.j. typu .
Stopa matice
je
Matice ve stopě součinu dvou matic lze zaměnit beze změny výsledku. Pro matice a typu a platí:
což bezprostředně plyne z definice maticového součinu:
Tato vlastnost je zajímavá, protože součin matic není komutativní a současně stopa součinu se obvykle liší od součinu stop .[pozn. 1]
Podobné matice mají stejnou stopu, neboli pro čtvercovou matici a regulární matici stejného řádu platí:
Jinými slovy, stopa je invariantní vůči změně báze.
Obecněji je stopa neměnná při kruhových posunech činitelů:
Některé permutace nejsou povoleny, přičemž obecně platí: .
U součinu tří symetrických matic, je však povolena jakákoli permutace:
Pro více než tři činitele však obecně neplatí libovolná záměna pořadí ani u symetrických matic.
Stopu čtvercové matice, která vznikne ze součinu dvou obdélníkových matic, lze přepsat jako součet dílčích součinů dvojic prvků na stejných pozicích, tj. jako součet všech prvků jejich Hadamardova součinu.
Formálně, jsou-li a jsou dvě matice typu , pak
Když se na matici pohlíží jako na vektor délky (což je proces nazývaný vektorizace), pak uvedený výpočet na maticích a odpovídá standardnímu skalárnímu součinu.
Podle uvedené rovnice je součtem druhých mocnin, a proto je vždy nezáporná. Nulu nabývá pouze v případě, je-li matice nulová, což odpovídá pozitivní definitnosti. Společně se symetrií vyplývá, že uvedený součin tvoří unitární prostor na množině reálných matic stejného typu. Stopa součinu se nazývá Frobeniův skalární součin matic a . Norma odvozená z tohoto skalárního součinu se nazývá Frobeniova norma.
Pro reálné pozitivně semidefinitní matice a stejného řádu je tato norma submultiplikativní:
což lze dokázat pomocí Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti.
Frobeniův vnitřní součin a norma se často užívají v maticovém počtu a ve statistice.
Jmenovitě platí, že pro reálné sloupcové vektory je stopa jejich tenzorového součinu rovna jejich standardnímu skalárnímu součinu: .
Stopa Kroneckerova součinu dvou matric je součinem jejich stop:
Stopa reálné nebo komplexní matice je rovna součtu jejích vlastních čísel.
Každá komplexní čtvercová matice řádu má vlastních číslel (každé je zopakováno tolikrát, kolik činí jeho algebraická násobnost) a pro vlastní čísla pak platí:
Tuto vlastnost mají i reálné matice, jejichž vlastní čísla mohou být komplexní.
Vztah je důsledkem skutečnosti, že je podobná své Jordanově normální formě, což je horní trojúhelníková matice s na hlavní diagonále.
Následující tři vlastnosti:
charakterizují stopu matice až na skalární násobek v následujícím smyslu:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.