Násobení

Násobení je vedle sčítání jedna ze základních početních operací v aritmetice. Symbol násobení je · nebo ×,^{[pozn. 1]} vstupní hodnoty se nazývají činitelé, výsledek násobení součin. Opakovaným násobením získáváme umocňování.

Například 3 · 4 se čte „tři krát čtyři“ a je násobení činitelů 3 a 4, jejich součin je 12:

3 · 4 = 12

Násobení je stejně jako sčítání komutativní, nezáleží na pořadí činitelů:

3 · 4 = 4 · 3 = 12

Násobení dvou přirozených čísel

Násobení přirozených čísel představuje jejich opakované sčítání.

${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {b+b+\cdots +b} \\{a}\\[-4ex]\end{matrix}}=\sum _{i=1}^{a}b=a\cdot b}$

${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$ se nazývají činitelé. Výsledek, „a krát b“, se nazývá součin.

Pro výše uvedený příklad součin vyjádřit opakovaným sčítáním:

3 · 4 = 4 + 4 + 4

4 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3

Soubor násobků malých přirozených čísel se v didaktice matematiky nazývá násobilka.

Další případy násobení

Při násobení více nebo mnoha čísel se používá písmeno Π z řecké abecedy (případně symboly jemu podobné):

${\displaystyle 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11=\prod _{i=1}^{5}(2i+1)=10\ 395}$

nebo také

${\displaystyle {\frac {3}{1}}\cdot {\frac {4}{2}}\cdot {\frac {5}{3}}\cdot \;\dots \;\cdot {\frac {n+2}{n}}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {i+2}{i}}={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$

Existuje i zvláštní případ násobení přirozených čísel – faktoriál

${\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n=\prod _{i=1}^{n}i=n!}$

Opakované násobení stejných činitelů obvykle nahrazujeme umocňováním

${\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^{6}=64}$

Opačná operace násobení je dělení.

Používané symboly

Namísto 3 · 4 se někdy píše také 3 × 4, což bylo obvyklé zejména v minulosti, nyní se v matematice znak × používá speciálně pro kartézský součin množin a vektorový součin vektorů. V počítačových programech nebo na kalkulačkách se často používá znak *. Znak × či x připojený bez mezery za číslo se v běžném textu či seznamech běžně používá pro označení počtu věcí či úkonů, například „2× máslo“ v soupisu nákupu nebo „pro výstup s kočárkem stiskněte 2ד. Při násobení proměnnou se zpravidla symbol násobení vynechává úplně, tedy píše se například (5x, xy).

Pravidla

V algebraickém tělese (např. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ a ${\displaystyle \mathbb {Q} }$) platí:

• Zákon asociativní: ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot b\cdot c}$
• Zákon komutativní: ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$
• Zákon distributivní: ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$
• Neutrální prvek = 1: ${\displaystyle a\cdot 1=a}$
• Inverzní prvek: ${\displaystyle a\cdot a^{-1}=1}$
• Absorbující prvek = 0: ${\displaystyle a\cdot 0=0}$

Odkazy

Poznámky

1. V programovacích jazycích obvykle jako operátor *.

Související články

• Aritmetické operace
• Násobení matic

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu násobení na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo násobení ve Wikislovníku

Portály: Matematika