![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Rubik%2527s_cube.svg/langcs-640px-Rubik%2527s_cube.svg.png&w=640&q=50)
Grupa
množina s binární operací / From Wikipedia, the free encyclopedia
Grupa je v matematice algebraická struktura tvořená množinou spolu s binární operací, která je asociativní, má neutrální prvek a každý prvek má svou inverzi. Matematická disciplína zabývající se studiem grup se nazývá teorie grup. Příkladem grup jsou celá čísla s operací sčítání, nenulová racionální čísla s operací násobení, symetrie pravidelných geometrických útvarů, množiny regulárních matic a automorfismy různých algebraických struktur.
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Rubik%27s_cube.svg/320px-Rubik%27s_cube.svg.png)
Asociativita | Neutrální prvek | Inverzní prvek | Komutativita | |
---|---|---|---|---|
Abelova grupa | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Grupa | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Monoid | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Pologrupa | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Lupa | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Kvazigrupa | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Grupoid | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Teorie grup vznikla počátkem 19. století. U jejího zrodu stál matematik Évariste Galois, který dokázal, že polynomiální rovnice nelze obecně řešit pomocí odmocnin. Grupy našly později uplatnění také v geometrii, teorii čísel, algebraické topologii a dalších matematických oborech. Klasifikace jednoduchých konečných grup byla dokončena koncem 20. století a patří k největším výsledkům matematiky vůbec.
Pojem grupy abstraktně popisuje či zobecňuje mnoho matematických objektů a má významné uplatnění i v příbuzných oborech – ve fyzice, informatice a chemii. Reprezentace grup hrají důležitou úlohu v teoriích jako jsou částicová fyzika, kvantová teorie pole anebo teorie strun. V informatice se grupy vyskytují například v kryptografii, kódování anebo zpracování obrazu, chemie používá grupy pro popis symetrií molekul a krystalových mřížek v krystalografii.