Kvazigrupa

Kvazigrupa je v matematice taková algebraická struktura s jednou binární operací, která je grupoidem a ve které je navíc možné jednoznačně dělit. Na rozdíl od grupy nemusí být operace asociativní a nemusí existovat neutrální prvek. Kvazigrupa s neutrálním prvkem se nazývá lupa.

	Asociativita	Neutrální prvek	Inverzní prvek	Komutativita
Abelova grupa	Ano	Ano	Ano	Ano
Grupa	Ano	Ano	Ano	Ne
Monoid	Ano	Ano	Ne	Ne
Pologrupa	Ano	Ne	Ne	Ne
Lupa	Ne	Ano	Ano	Ne
Kvazigrupa	Ne	Ne	Ano	Ne
Grupoid	Ne	Ne	Ne	Ne

Struktury s jednou binární operací

Schéma vztahů mezi algebraickými strukturami. Výchozí je grupoid (anglicky magma) s jednou uzavřenou operací. Přidáváním dalších podmínek vznikají např. pologrupa (semigroup) a kvazigrupa (quasigroup).

Tabulky konečných kvazigrup odpovídají latinským čtvercům.

Formální definice

Kvazigrupa (Q,*) je taková množina Q s binární operací *, že pro každé a a b z Q existují jednoznačně určená x a y z Q, že platí:

• a*x = b ;
• y*a = b .

Jinými slovy: Pro dva prvky a a b, můžeme hodnotu b najít v řádku a a sloupci a tabulky skládání prvků kvazigrupy Q pro operaci *, tzv. Cayleyovy tabulky kvazigrupy.

Jedinečná řešení těchto dvou rovnic jsou x = a\b y = b/a. Operace \ a / se nazývají levé a pravé dělení.

Lupa

Lupa je kvazigrupa, která obsahuje neutrální prvek (identitu). Je-li n neutrálním prvkem kvazigrupy Q, platí:

x * n = x = n * x, pro každé x z Q.

Z toho plyne, že neutrální prvek n je pro každý prvek z Q stejný, a že každý prvek z Q má jedinečný neutrální inverzní prvek zprava a zleva.

Lupa Moufangové splňuje identitu Moufangové:

(x * y) * (z * x) = x * ((y * z) * x).

Příklady

• Každá grupa je lupa, protože platí: a * x = b, právě a pouze tehdy, když x = a⁻¹ * b, a y * a = b právě a pouze tehdy, když y = b * a⁻¹.
• Celá čísla Z s operací odčítání tvoří kvazigrupu.
• Nenulová racionální nebo reálná čísla s operací dělení tvoří kvazigrupu.
• Každá grupa je zároveň kvazigrupa.
• Jakýkoli vektorový prostor nad tělesem s charakteristikou různou od čísla 2 tvoří idempotentní komutativní kvazigrupu s operací x * y = (x + y) / 2.
• Nenulové oktoniony spolu s násobením tvoří neasociativní lupu. Oktoniony jsou speciálním případem lupy, které se říká lupa Moufangové.

Vlastnosti

Kvazigrupy mají vlastnost krácení: Jestliže ab=ac, pak b=c. To vyplývá z jedinečnosti levého dělení ab nebo ac prvkem a. Obdobně ba=ca, pak b=c.

Zobrazení násobení

Definici kvazigrupy Q můžeme upravit na zobrazení levého a pravého násobení L(x), R(x): Q→Q, která jsou definována:

L(x)y=xy, R(x)y=yx

Definice říká, že obě zobrazení jsou bijekcemi množiny Q do sebesama.

Grupoid Q je kvazigrupou právě tehdy, když tato všechna zobrazení, pro každé x ∈ Q, jsou bijektivní.

Inverzní zobrazení pravého a levého dělení jsou potom zapsána:

L(x)⁻¹y=x\y, R(x)⁻¹y=y\x

V tomto zápisu jsou neutrální prvky mezi operacemi násobení a dělení kvazigrupy, kde 1 označuje neutrální prvek zobrazování na Q:

L(x)L(x)⁻¹=1

L(x)⁻¹L(x)=1

R(x)R(x)⁻¹=1

R(x)⁻¹R(x)=1

Latinské čtverce

Je-li Q konečná řádu n, potom Caleyho (multiplikativní) tabulka Q tvoří latinský čtverec n×n tj. čtverec vyplněný čísly z množiny {1,…,n} tak, že v každém řádku a sloupci se žádná dvě čísla neopakují.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Quasigroup na anglické Wikipedii.