From Wikipedia, the free encyclopedia
تیۆرمی پیتاگۆرس یان سەلمێنراوی پیتاگۆرس (بە ئینگلیزی: Pythagorean theorem) لە زانستی ئەندازە و بۆشاییی ئیقلیدسیدا بەشێکە لە ڕێسای گشتی یاسای کۆساینەکان، لەکاتێکدا کە گۆشەی نێوان دوو لا لە لایەکانی سێگۆشەیەک ٩٠ پلەیە. پیتاگۆرس بیرکاریزانی یۆنانی بەو تیۆرمە ناوبانگی دەرکرد کە ھەر سێ لایەکانی سێگۆشەی وەستاو بەیەکەوە دەبەستێت، واتە ئەگەر a و b دوو لای سێگۆشەیەکی وەستاو بێت و c ژێیەکەی بێت تیۆرمی پیتاگۆرس بەم شێوەیە:
تیۆرمی پیتاگۆرس | |
---|---|
بەشێکە لە | list of theorems |
ناونراوە لەدوای | پیتاگۆرس |
لێکۆڵینەوە لەلایەن | ئەندازەی ئیقلیدسی |
Defining formula | |
In defining formula | ، ، |
Statement describes | سێگۆشەی وەستاو |
بەستەری وەسفکراو | https://www.geogebra.org/m/ZFTGX57r |
Generalization of | first Pythagorean trigonometric identity، parallel postulate |
ئەمەش مانای ئەوەیە کە دووجای ژێ یەکسانە بە سەرجەمی دووجای دوو لایەکەی تر.
یاسای کۆساینەکان دەڵێت کە ئەگەر a و b دوو ئاڕاستەبڕ (یا ھێڵ) بن کە لە سەری O گۆشەی A پێک بێنن، ھاوکێشەی پاسادانە.
ھەر کات گۆشەی A نەوەد پلە بێت، ئەنجامی سیفر دەکات و بە دانانی بەھاکەی ھەروەک دیارە پەیوەندی پیتاگۆرس بە شێوەی بەدەست دێت. ئیقلیدس پێچەوانەی تیۆرمی پیتاگۆرسی سەلماند، واتە ئەگەر درێژی لایەکانی سێگۆشەیەک ھاوکێشەی ساغبکاتەوە، سێگۆشەکە وەستاوە.[1]
یان
بیرکاریزانەکان گرینگی زۆریان داوە بە تیۆرمی پیتاگۆرس و سەلماندنی جۆراوجۆریان لەسەر پێشکەش کردووە. لە کتێبی پێشنیاری پیتاگۆرس (بە ئینگلیزی: The Pythagorean Proposition) نیزیک بە ٣٧٠ سەلماندن بۆ تیۆرمی پیتاگۆرس خراوەتە ڕوو.[2]
ئەم سەلماندنە بە پشتبەستن بە ڕێژەی ھاوڕێژەیی نێوان دوو سێگۆشەی لێکچوو شرۆڤە دەکرێت. بەو واتایە ئەگەر دوو سێگۆشەی لێکچوومان ھەبێت، ڕێژەی درێژایی دوو لای ھاوشێوەی دوو سێگۆشەی لێکچوو بەھایەکی نەگۆڕە. ھەر وەک لە وێنەی بەرامبەر ڕوون کراوەتەوە، وا دابنێ ABCسێگۆشەی وەستاو و C گۆشەوەستاو (٩٠ پلە) بێت. بەرزی سێگۆشەی ABC لە گۆشەی C تا ژێی AB دەکێشینەوە و خاڵی یەکتربڕین بەH دیاری دەکەین. خاڵی H ژێ بە دوو بەشی d و e دابەش دەکات. دوو سێگۆشەی ACH و ABC لە یەک دەچن. لەبەر ئەوەی ھەر یەکەی گۆشەیەکی ٩٠ پلەیییان ھەیە و لە گۆشەی Aدا ھاوبەشن؛ بەو دەرئەنجامە دەگەین گۆشەی سێھەمی θ لە ھەردووکاندا یەکسانە (لە وێنەی بەرامبەر ڕوون کراوەتەوە). ھەر بەم شێوەیە سێگۆشەی CBH و ABC لە یەک دەچن. کەوایە پەیوەندییەکانی خوارەوە دێتەدی.
ڕێژەی لای چەپی ھاوکێشەی چەپ، یەکسانە بە کۆساینی گۆشەی θ و ڕێژەی لای چەپی ھاوکێشەی لای ڕاست یەکسانە بە ساینی گۆشەی θ. ئەمە بە شێوەی خوارەوە دەنووسین:
ئەگەر دوو ھاوکێشەی سەرەوە کۆ بکەینەوە، پەیوەندی خوارەوە دێتەدی:
ئەوە ھەمان ھاوکێشەی پیتاگۆرسە:
ئەم شێوە سەلماندنە بە سەلماندنی دانتزیگ (Dantzig) دەناسرێت، کە بە گوێرەی درێژایییە. ئەم سەلمێنراوە لە مێژووی زانستدا ڕۆڵێکی گرینگی ھەیە. پرسیارێک کە لێرە دێتە ئاراوە ئەمەیە کە بۆ ئیقلیدس ئەم شێوە سەلماندنەی بەکار نەھێناوە و لە ڕێگەیەکی تر بۆی چووە. پێویستە بزانین، لە شێوەی سەلماندنی دانتزیگدا دەبێت ئاگاداری بیردۆزی ھاوڕێژەیی ببین کە ئەوە لە سەردەمی ئیقلیدس باسی لەسەر نەکرابوو.[3][4]
کورتەیەک لە سەلماندنی تیۆرمی پیتاگۆرس لە کتێبی بنەماکانی ئەندازەی ئیقلیدس: چوارگۆشە گەورەکە بە دوو لاکێشەی لای چەپ و ڕاست دابەش دەکەین. سێگۆشەیەک دروست دەبێت کە ڕووبەرەکەی نیوەی ڕووبەری لاکێشەی لای چەپە. سێگۆشەیەکی تریش پێکدێت کە ڕووبەرەکەی نیوەی ڕووبەری چوارگۆشەی لای چەپە. دەتوانین بسەلمێنین ئەم دوو سێگۆشەیە جووتن. کەواتە ڕووبەری چوارگۆشە یەکسانە بە ڕووبەری لاکێشەی لای چەپ. بە ھەمان شێوە، دەرئەنجامەکە بۆ لاکێشەی لای ڕاست و چوارگۆشەکەی تریش بەدەست دێت. ئەگەر دوو لاکێشەکە لە پەنای یەک دانێین تا چوارگۆشەیەک لەسەر ژێی سێگۆشە دروست بێت، ئەمە دەردەکەوێت کە ڕووبەری چوارگۆشە گەورەکە (چوارگۆشەی سەر ژێ)یەکسانە بە ئەنجامی کۆکردنەوەی ڕووبەری دوو چوارگۆشەی تر. وردەکارییەکانی سەلماندنی ئیقلیدس:
وا دابنێ A و B و C سێ گۆشە لە سێگۆشەیەکی وەستاو بن کە پێوانەی گۆشەی A، نەوەد پلەیە. ھێڵێکی ئەستوون لە گۆشەی A بەسەر ژێی BC دەکێشینەوە و درێژەی پێ دەدەین تا لای خوارەوەی چوارگۆشەی کێشراوەی سەر ژێ ببڕێت. ئەو ھێڵە چوارگۆشەی سەر ژێیەکە بە دوو لاکێشە دابەش دەکات، کە ھەر یەک لە لاکێشەکان ڕووبەری یەکسان بە ڕووبەری چوارگۆشەکانی کێشراوە لەسەر دوو لای گۆشەی Aی ھەیە.
لە درێژەی سەلماندنەکە چەن خاڵی خوارەوە گرینگە:
درێژەی بابەت
ئەو سەلماندنە لە کتێبی بنەماکانی ئیقلیدس، لە دەسپێکی پێشنیاری ٤٧ لە کتێبی ١ ھاتووە[6] و ئەوە دەردەخات کە ئەنجامی کۆکردنەوەی ڕووبەری دوو چوارگۆشەی سەر دوو لای گۆشەی وەستاو یەکسانە بە ڕووبەری چوارگۆشەی سەر لای ژێ.[7] سەلماندنی ئیقلیدس، بە پێچەوانەی سەلماندنی دانتزیگ سەلماندنێکە بە شێوەی ڕووبەری نە درێژایی. ئەو شێوە سەلماندنە جیاوازە لەگەڵ سەلماندنی پیتاگۆرس کە بە گوێرەی لێکچوونی سێگۆشەکانە.[4][8]
تیۆرمی پیتاگۆرس دەتوانرێت بە ڕیزکردنی چوار سێگۆشەی گۆشەوەستاوی یەکسان بە لاکانی a و b و c لە ناو چوارگۆشەیەکدا کە لاکانی c یە بە شێوەی جەبری بسەلمێنرێت.[9]
سێگۆشەکان یەکسانن و ڕووبەرەکەیان یەکسانە بە چوارگۆشە بچووکەکە لایەکی یەکسانە بە b-a و ڕووبەرەکەی ٢ (b−a)یە کەوایە ڕووبەری چوارگۆشە گەورەکە یەکسانە بە
لاکانی چوارگۆشە سەرەکییەکە یەکسانە بە c و ڕووبەرەکەی دەکاتە ٢ c و دەرئەنجامی خوارەوە بەدەست دێت:
ھەر وەک لە خوارەوەی وێنەکە دیارە، سەلماندنێکی تر ھەیە کە بە کەڵک وەرگرتن لە دانانی چوار سێگۆشەی یەکسان بە دەوری چوارگۆشەیەک کە لاکانی cیە بە ئەنجام دەگات.[10] بەو کارە چوارگۆشەیەکی گەورەتر بە لای (a+b) و ڕووبەری ٢ (a+b) بەدەست دێت. چوار سێگۆشە و چوارگۆشەکە بە لای یەکسان بە c ڕووبەری یەکسان بە ڕووبەری چوارگۆشە گەورەکەی ھەیە.
لای چەپی ھاوکێشە جێبەجێ دەکەین ئەنجامی خوارەوە بەدەست دێت
یەکێکی تر لە ڕێگاکانی سەلماندنی پیتاگۆرس کەڵکوەرگرتن لە ھەژماری جیاکاری و تەواوکارییە واتە دەمانەوێت بزانین بە گۆڕینی درێژایی یەکێک لە لاکانی سێگۆشەکە، درێژایی ژێ چەندە دەگۆڕێت.[11][12] ئەو شێوە سەلماندنە لە سەلماندنی دانتزیگ دەچێت، واتە درێژایی دەپێوی نەک ڕووبەر.
لە وێنەی جووڵاوی لای ڕاستدا، ناوچە سەرەکییەکەی بە ڕەنگی ڕەش دیاری کراوە و درێژی لاکەی c یە دەتوانین دابەش بکەین بە دوو چوارگۆشە کە لاکانیان بە a و b دیاری کراوە و ئەم ھاوکێشە ساغدەکاتەوە: a٢ + b٢ = c٢.
دەتوانین پێچەوانەی تیۆرمی پیتاگۆرس بسەلمێنین.[14]
ئەگەر درێژی لایەکانی سێگۆشەیەک واتە a و b و c ھاوکێشەی a٢ + b٢ = c٢ ساغبکاتەوە، ئەوا سێگۆشەکە وەستاوە.
لە کتێبی بنەماکانی ئیقلیدس (کتێبی یەکەم، پێشنیاری ٤٨)[15]
بە واتایەکی تر ئەگەر درێژی ھەر سێ لای a و b و c لە سێگۆشەیەک ھاوکێشەی a٢ + b٢ = c٢ پاسادان بکات ئەوا گۆشەی نێوان لاکانی a و b نەوەد پلەیە.
ھەر کات دووجای یەکێک لە لاکانی سێگۆشەیەک یەکسان بێت بە ئەنجامی کۆکردنەوەی دووجای دوو لای تری سێگۆشە ئەوا گۆشەی نێوان ئەو دوو لایەی سێگۆشەکە وەستاوە.
بە گوێرەی یاسای کۆساینەکان دەتوانین پێچەوانەی تیۆرمی پیتاگۆرس شیکاری بکەین.
ژمارەی پیتاگۆرسی یان سیانەی پیتاگۆرسی بەو سێ ژمارە دەوترێت کە ئەنجامی کۆکردنەوەی دووجای دوو دانەیان یەکسانە بە دووجای سێھەمی، بە دەستەواژەیەکی تر سێ ژمارەی a و b و c ژمارەی پیتاگۆرسین ھەرکات پاسادانی ئەم ھاوکێشە:a٢ + b٢ = c٢ بکەن. سێ ژمارەی پیتاگۆرسی لاکانی سێگۆشەیەکی وەستاو دروست دەکەن. بەپێی لێکۆڵینەوەکان وا دەرکەوتووە دانیشتووانی باکووری ئەورووپا بەرلەوەی تیۆرمی پیتاگۆرس بناسن، ئەو ژمارانەیان بۆ پێکھێنانی بەناکانیان بەکار ھێناوە. نموونەیەک لەو ژمارانەی زۆر بەکار ھاتوون بریتین لە (٣، ٤، ٥) و (٥، ١٢، ١٣). لە خوارەوە ژمارە پیتاگۆرسییەکانی بچووکتر لە ١٠٠ پێرست کراون.
ھاوکێشەی دووری لە سیستمی پۆتانی دێکارتیدا لە تیۆرمیی پیتاگۆرسەوە سەرچاوە دەگرێت.[16] ئەگەر (x1, y1) و (x2, y2) دوو خاڵی سەر ڕووتەختێک بن، دووریی نێوانیان کە دووریی ئیقلیدسی پێ دەوترێت، بەم شێوەیە ھەژمار دەکرێت:
بە گشتی لە بۆشاییی ئیقلیدسی n ڕەھەندیدا، دووریی نێوان دوو خاڵی، و لە گشتاندنی تیۆرمیی پیتاگۆرسەوە بەدەست دێت و بەم شێوەیە پێناسە دەکرێت:
دووجای دووریی ئیقلیدسی، بریتییە لە:
بۆ ھەر ژمارەیەکی ئاوێتە وەکوو
نرخی ڕەھاکەی بەم شێوەیە:
کەواتە سێ بەھای x ,r و y بە بەکارھێنانی تیۆرمی پیتاگۆرس بەیەکەوە دەبەسترێنەوە:
لێرەدا r بریتییە لە ژمارەیەکی ئەرێنی یان سیفر، بەڵام x و y دەتوانن نەرێنی یا ئەرێنی بن یا خود سیفر بن. لە ڕوانگەی ئەندازەیییەوە، r بریتییە لە دووریی z لە خاڵی بنەڕەت لە ڕووتەختی ئاوێتەدا. ئەمە دەتوانرێت بەم شێوەیە بگشتێنرێت، تاکوو دووریی نێوان دوو خاڵی z1 و z2 بدۆزرێتەوە. ئەم دوورییە بەم شێوەیە ھەژمار دەکرێت
بە بەکارھێنانی تیۆرمی پیتاگۆرس لەمەوە دەردەچێت:
یۆھانس کێپلەر دەڵێت ئەندازە خاوەنی دوو گەنجی گەورەیە یەکیان تیۆرمی پیتاگۆرسە، ئەوەی تریان دابەشکردنی ھێڵێک بە ناکۆتا ڕێژەی ناوەندی. یەکەمینیان لەگەڵ زێڕ بەراورد دەکرێت و دووھەمینیان گەوھەرێکی بەنرخە.[17]
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.