grup homomòrfic al grup lineal general sobre un espai vectorial From Wikipedia, the free encyclopedia
En el camp matemàtic de la teoria de representacions, les representacions de grups descriuen grups abstractes en termes de transformacions lineals d'espais vectorials; en particular, es poden utilitzar per representar els elements del grup com a matrius, de tal manera que l'operació del grup es pot representar mitjançant la multiplicació de matrius. Les representacions de grups són importants perquè permeten reduir a termes de l'àlgebra lineal molts problemes de teoria de grups, la qual cosa fa que siguin abordables d'una manera més senzilla. També són importants en física perquè, per exemple, descriuen com afecta el grup de simetria d'un sistema físic a les solucions de les equacions que descriuen el sistema.
Les representacions també es poden definir per altres estructures matemàtiques, com per l'àlgebra associativa, l'àlgebra de Lie i l'algebra de Hopf; en aquest article amb representacions i teoria de les representacions es fa referència únicament a les representacions dels grups.
El terme representació d'un grup també s'utilitza en un sentit més general per expressar qualsevol "descripció" d'un grup com un grup de transformacions d'un cert objecte matemàtic. Més formalment, una "representació" significa un homomorfisme del grup en el grup d'automorfismes d'un objecte. Si l'objecte és un espai vectorial, hom té una representació lineal. Alguns autors utilitzen realització per a la noció general i reserven el terme representació per al cas especial de les representacions lineals. El gruix d'aquest article descriu la teoria de les representacions lineals. Vegeu la darrera secció per a les generalitzacions.
La teoria de la representació de grups es divideix en subteories, en funció del tipus de grup que es vol representar. Aquestes diverses teories són força diferents en detall, encara que algunes definicions bàsiques i conceptes són comuns. Les divisions més importants són:
La teoria de representacions també depèn fortament del tipus d'espai vectorial sobre el qual actua el grup. Hom pot diferenciar entre els espais vectorials de dimensió finita i els de dimensió infinita. En el cas de dimensió finita, existeixen estructures addicionals que són rellevants (per exemple, si l'espai és o no un espai de Hilbert, un espai de Banach, etc.).
Cal considerar també el tipus de cos sobre el qual està definit l'espai vectorial. El cas més important és el dels nombres complexos. Els altres casos importants són el cos dels nombres reals, els cossos finits, i els cossos de nombres p-àdics. En general, és més senzill treballar amb cossos algebraicament tancats. La característica del cos també és rellevant; molts teoremes per a grups finits depenen del fet que la característica del cos no divideixi l'ordre del grup.
Una representació d'un grup G d'un espai vectorial V sobre un cos K és un homomorfisme de grups de G a GL(V), el grup lineal general sobre V. És a dir, una representació és una aplicació
tal que
Hom diu que V és l'espai de representació i la dimensió de V és la dimensió de la representació. Hom acostuma a referir-se a V com a la representació, quan l'homomorfisme queda clar pel context.
En cas que V sigui de dimensió finita n, és habitual designar una base de V, i identificar GL(V) amb GL(n, K), el grup de matrius invertibles n × n sobre el cos K.
Si G és un grup topològic i V és un espai vectorial topològic, una representació contínua de G sobre V és una representació ρ tal que l'aplicació Φ : G × V → V definida per Φ(g, v) = ρ(g)(v) és contínua.
El nucli d'una representació ρ d'un grup G es defineix com el subgrup normal de G tal que, per la imatge de ρ, hom té la transformació identitat:
Una representació fidel és tal que l'homomorfisme G → GL(V) és injectiu; en altres paraules, tal que el seu nucli és el subgrup trivial {e}, que consisteix només de l'element neutre del grup.
Donats dos espais vectorials V i W sobre K, dues representacions ρ : G → GL(V) i π : G → GL(W) són equivalents o isomorfes si existeix un isomorfisme d'espais vectorials α : V → W tal que, per a tot g de G,
Una representació s'anomena matricial si l'espai V és de la forma Kn per un cert nombre natural n, en tal cas el grup (GL(V), ∘) és identificat canònicament com a grup GLn(K) de les matrius quadrades d'ordre n amb coeficients en K invertibles (és a dir de determinant no nul), proveïdes d'un producte matricial. A través d'aquesta identificació, dues representacions matricials R i S són doncs equivalents si i només si existeix una matriu invertible P tal que per tot element g de G, Rg = P-1SgP.
Una representació s'anomena completament reductible si és la suma directa de representacions irreductibles. La suma directa d'una família de representacions (Vi, ρi) de G és la representació ρ sobre l'espai vectorial suma directa dels Vi definida per : ρ(g) = ⊕i ρi(g). En termes matricials, això significa que en juxtaposar les bases dels Vi per forma una base de la seva suma directa, la representació ρ es fa amb unes matrius diagonals per blocs i cada bloc correspon a una de les representacions ρi.
Es diu que dues representacions són disjuntes si no tenen cap component irreductible en comú, o també si no existeix cap morfisme no nul entre elles.
Considerem el nombre complex u = e2πi / 3, que compleix u3 = 1. El grup cíclic C₃ = {1, u, u²} admet una representació ρ sobre C² donada per:
Aquesta representació és fidel perquè ρ és una aplicació injectiva.
Una representació isomorfa per a C₃ és
El grup C₃ també es pot representar de manera fidel sobre R² per
on
Hom diu que un subespai W de V invariant per l'acció de grup és una subrepresentació. Si V té exactament dues subrepresentacions, en concret el subespai de dimensió zero i el propi V, hom diu que la representació és irreductible; si admet una subrepresentació pròpia de dimensió diferent de zero, hom diu que la representació és reductible. Es considera que la representació de dimensió zero no és ni reductible ni irreductible,[3] de la mateixa manera que el nombre 1 no es considera ni primer ni compost.
Amb la hipòtesi que la característica del cos K no divideix l'ordre del grup, les representacions dels grups finits es poden descompondre en suma directa de subrepresentacions irreductibles (aplicant el teorema de Maschke). Això és cert en particular per a qualsevol representació d'un grup finit sobre els nombres complexos, ja que la característica del cos dels complexos és zero, que mai no divideix l'ordre d'un grup.
En l'exemple anterior, les dues primeres representacions són descomposables en dues subrepresentacions unidimensionals (donades per l'espai generat per (1,0) i per l'espai generat per (0,1)), mentre que la tercera representació és irreductible.
Una representació en teoria de conjunts (també coneguda com a acció de grup o representació de permutacions) d'un grup G sobre un conjunt X està donada per una funció ρ : G → XX, el conjunt de funcions de X en X, tal que, per a qualssevol g1, g₂ de G i qualsevol x de X:
Aquesta condició, juntament amb els axiomes de grup, impliquen que ρ(g) és una bijecció (o permutació) per a tot g de G. Per tant, hom pot definir, de forma equivalent, una representació de permutacions com un homomorfisme de grups de G en el grup simètric SX de X.
Tot grup G es pot veure com una categoria amb un sol objecte; els morfismes d'aquesta categoria són els elements de G. Donada una categoria arbitrària C, una representació de G dins C és un functor de G en C. Un tal functor selecciona un objecte X de C i un homomorfisme de G en Aut(X), el grup d'automorfismes de X.
En el cas que C és VectK, la categoria d'espais vectorials sobre un cos K, aquesta definició és equivalent a una representació lineal. Anàlogament, una representació en teoria de conjunts és simplement una representació de G en la categoria de conjunts.
Quan C és Ab, la categoria de grups abelians, els objectes obtinguts s'anomenen G-mòduls.
A tall d'un altre exemple, considerem la categoria d'espais topològics, Top. Les representacions de Top són homomorfismes de G en el grup d'homeomorfismes d'un espai topològic X.
Dos tipus de representacions íntimament lligades a les representacions lineals són:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.