Grup cíclic

Un grup és cíclic si pot ser generat per algun element. Això vol dir que hi ha, almenys, un element g del grup, que es diu generador de manera que tots els elements del grup són de la forma n g (en notació additiva) o gⁿ (en notació multiplicativa), per un cert nombre enter n. Naturalment, 0 = 0 g i g = 1 g (en notació additiva) o ${\displaystyle 1=g^{0}}$ i ${\displaystyle g=g^{1}}$ (en notació multiplicativa).

Exemples

• L'exemple més obvi és el grup additiu de l'anell ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dels nombres enters: es tracta d'un grup cíclic infinit i ${\displaystyle 1}$ i ${\displaystyle -1}$ en són els únics generadors.

• També són cíclics tots grups additius dels anells ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$ (també escrit ℤ/nℤ) de classes de residu mòdul n, és a dir, de classes de congruència sobre els enters. En aquest cas es tracta de grups finits.

• En canvi, els grups multiplicatius de les unitats dels anells ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$ són cíclics si, i només si, el nombre ${\displaystyle n}$ és d'una d'aquestes quatre formes: 2, 4, p^k o 2p^k. En la teoria de nombres tradicional, els generadors dels grups multiplicatius de les unitats dels anells ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$ es diuen arrels primitives mòdul n.

• No cal dir que el grup trivial és cíclic.

Estructura

• El fet més important quant als grups cíclics és que qualsevol grup cíclic infinit és isomorf al grup additiu de l'anell ℤ dels nombres enters. A més, qualsevol grup cíclic finit d'ordre n és isomorf al grup additiu de ℤ/nℤ de congruències mòdul n.
• Això implica que l'estudi dels grups cíclics es redueix a l'estudi dels grups additius de ℤ i ℤ/nℤ.
• D'altra banda, tot grup abelià finitament generat és isomorf al producte directe d'un nombre finit de grups cíclics.

Propietats

• De l'isomorfisme mencionat abans en resulta que tot grup cíclic és un grup abelià.
• Tot grup d'ordre un nombre primer és cíclic.
• Tots els subgrups d'un grup cíclic són cíclics. Si ${\displaystyle \mathbf {G} }$ és un grup cíclic d'ordre ${\displaystyle n}$, aleshores, per cada divisor ${\displaystyle d}$ de ${\displaystyle n}$ hi ha exactament un subgrup d'ordre ${\displaystyle d}$, el qual, si ${\displaystyle g}$ és un generador de ${\displaystyle \mathbf {G} }$, és generat per ${\displaystyle g^{\frac {n}{d}}}$. El grup ${\displaystyle \mathbf {G} }$ no té cap altre subgrup d'ordre ${\displaystyle d}$.
• Tot quocient d'un grup cíclic és cíclic.
• Sigui ${\displaystyle g}$ és un generador d'un cert grup cíclic ${\displaystyle \mathbf {G} }$ d'ordre ${\displaystyle n}$. Aleshores ${\displaystyle g^{k}}$ també n'és un generador si, i només si, hi ha ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$ que fa ${\displaystyle g^{km}=g}$. Aleshores ${\displaystyle km\equiv 1{\pmod {n}}}$.
• Si ${\displaystyle \mathbf {G} }$ és un grup cíclic d'ordre ${\displaystyle n}$, aleshores té ${\displaystyle \phi (n)}$ generadors (${\displaystyle \phi }$ és la funció Fi d'Euler).
• Siguin ${\displaystyle \mathbf {G} _{1}}$ i ${\displaystyle \mathbf {G} _{2}}$ dos grups d'ordres respectius ${\displaystyle n_{1}}$ i ${\displaystyle n_{2}}$. Aleshores, ${\displaystyle \mathbf {G} _{1}\times \mathbf {G} _{2}}$ és cíclic si, i només sí, ${\displaystyle \mathbf {G} _{1}}$ i ${\displaystyle \mathbf {G} _{2}}$ ho són i ${\displaystyle {\mbox{m.c.d.}}\left(n_{1},n_{2}\right)=1}$.
• Tot subgrup finit del grup multiplicatiu d'un cos és cíclic.

Referències

Article cyclic group a PlanetMath.org.