Espai de Banach
espai vectorial complet From Wikipedia, the free encyclopedia
espai vectorial complet From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques, un espai de Banach és un espai vectorial normat i complet. Pren el seu nom en el matemàtic Stefan Banach.
En un espai vectorial sobre el cos dels nombres reals o dels nombres complexos. Una norma a és una aplicació ||·||: amb les següents propietats per a tot escalar i qualsevols vectors de l'espai :
Quan en un espai vectorial tenim definida una norma, parlem d'espai vectorial normat.
Sigui un espai normat, prenem la definició usual de límit amb la mètrica habitual . Diem que quan per a . Ara només cal afegir la noció de completesa. Direm que aquest espai normat és complet quan tota successió () d'elements d' que és successió de Cauchy té un límit en . Les successions de Cauchy són aquelles en què els termes de la successió són cada vegada més propers conforme es van agafant de manera successiva.
Així doncs, un espai de Banach és un espai vectorial sobre el cos dels nombres reals o el dels complexos amb una norma ||·|| tal que tota successió de Cauchy (respecte a la mètrica ) en és convergent (té un límit).[1]
Els espais euclidians amb la norma , on , són espais de Banach. Més generalment, qualsevol espai normat de dimensions finites és un espai de Banach, a causa del seu isomorfisme per a algun espai euclidià.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.