Matriu invertible

Donada una matriu quadrada ${\displaystyle A}$ d'ordre ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle A\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )}$, es diu que ${\displaystyle A}$ és invertible (regular o no singular) si existeix una altra matriu ${\displaystyle B\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )}$ tal que ${\displaystyle A\cdot B=I_{n}}$ i ${\displaystyle B\cdot A=I_{n}}$, on ${\displaystyle I_{n}}$ és la matriu identitat d'ordre ${\displaystyle n}$. En aquest cas, la matriu ${\displaystyle B}$ és única i es denota per ${\displaystyle A^{-1}}$.

Quan una matriu no és invertible, es diu que és no invertible o singular.

El producte de matrius invertibles és invertible.

Exemple

Per exemple, les següents matrius ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ són inverses l'una de l'altra:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle B={\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}}}$.

Propietats

• La inversa d'una matriu és única.^[1]

Demostració
Si una matriu tingués dues matrius, podríem dir que els termes intercanviant files per columnes (ij passa a ser ji) haurien de ser diferents. Això és una contradicció.

• La inversa del producte de dues matrius és el producte de les inverses canviant l'ordre:

${\displaystyle \left(A\cdot B\right)^{-1}={B}^{-1}\cdot {A}^{-1}}$

• Si la matriu és invertible, també ho és la seva transposada, i la inversa de la transposada és la transposada de la inversa, és a dir:

${\displaystyle \left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}}$

• La inversa de la inversa d'una matriu ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \left((A^{-1})^{-1}\right)=A}$

• Una matriu ${\displaystyle A}$ definida sobre els reals és invertible si i només si el seu determinant és diferent de zero. A més a més, la inversa satisfà la igualtat següent:

${\displaystyle {A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\operatorname {adj} (A^{T})\ }$

on ${\displaystyle {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}$ és el determinant de la matriu A i ${\displaystyle \operatorname {adj} {(A)}\ }$ és la Matriu d'adjunts de A.

• El conjunt de matrius quadrades d'ordre ${\displaystyle n}$ sobre un cos ${\displaystyle \mathbf {K} }$ que admeten inversa, amb el producte de matrius, té una estructura isomorfa al grup lineal ${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbf {K} )}$ d'ordre ${\displaystyle n}$. En aquest grup, l'operació inversa és un automorfisme ${\displaystyle (\cdot )^{-1}:{\text{GL}}(n,\mathbf {K} )\to {\text{GL}}(n,\mathbf {K} )}$.

• No totes les matrius quadrades tenen inversa, només tenen inversa aquelles matrius ${\displaystyle A\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )}$ tals que el seu rang sigui ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle {\text{rang}}(A)=n}$.

• Si una matriu ${\displaystyle A}$ té inversa, aleshores no pot existir una altra matriu ${\displaystyle B\neq 0}$, quadrada o no, tal que ${\displaystyle AB=0}$. En efecte:

${\displaystyle AB=0\Rightarrow 0=A^{-1}AB=(A^{-1}A)B=I_{n}B=B}$

Inverses generalitzades

Un concepte relacionat amb el d'inversa d'una matriu és el d'inversa generalitzada o pseudoinversa (i, en particular, la pseudoinversa de Moore-Penrose). Mentre la inversa només es pot calcular per algunes matrius, les inverses generalitzades es poden calcular per a qualsevol matriu.

Referències

1. Llerena, Irene, Miró-Roig, Rosa Maria, Matrius i vectors, Universitat de Barcelona, Barcelona, 2010, p. 71, 72.