পল এর্ডশ

পল এর্ডশ (হাঙ্গেরীয় ভাষায়: Paul Erdős বা Pál Erdős, ইংরেজিতে Paul Erdos বা Paul Erdös, আ-ধ্ব-ব: ɛrdøːʃ) (২৬শে মার্চ, ১৯১৩, বুদাপেস্ট, হাঙ্গেরি – ২০শে সেপ্টেম্বর, ১৯৯৬, ওয়ার্সা, পোল্যান্ড^[1]) একজন প্রতিভাবান, বহুলপ্রজ হাঙ্গেরীয় গণিতবিদ। তিনি শত শত সহযোগীর সাথে গুচ্ছ-বিন্যাসতত্ত্ব (combinatorics), গ্রাফ তত্ত্ব, সংখ্যাতত্ত্ব, ধ্রুপদী বিশ্লেষণ, আসন্ন মান নির্ণয় তত্ত্ব (Approximation theory), সেটতত্ত্ব ও সম্ভাবনা তত্ত্বের বিভিন্ন সমস্যা নিয়ে গবেষণা করেছেন। তার বেশিরভাগ কাজ বিচ্ছিন্ন গণিতকে কেন্দ্র করে, তিনি ক্ষেত্রটিতে পূর্বে অমীমাংসিত অনেক সমস্যার সমাধান করেন। তিনি রামসে তত্ত্বে অবদান রেখেছিলেন, যা সেসব শর্ত অধ্যয়ন করে যাতে কোনো কাঙ্খিত শৃঙ্খলা অর্জিত হয়। সামগ্রিকভাবে, তিনি গণিতের নতুন ক্ষেত্রগুলি বিকাশ বা অন্বেষণ করার পরিবর্তে পূর্বের উন্মুক্ত সমস্যাগুলি সমাধানের দিকে ঝুঁকেছিলেন।

পল এর্ডশ
জন্ম	২৬শে মার্চ, ১৯১৩ বুদাপেস্ট, হাঙ্গেরি
মৃত্যু	২০ সেপ্টেম্বর ১৯৯৬(1996-09-20) (বয়স ৮৩) ওয়ার্সা, পোল্যান্ড
জাতীয়তা	হাঙ্গেরীয়
পেশা	গণিতবিদ

জীবন

পল এরডস ২৬ মার্চ ১৯১৩ তারিখে অস্ট্রিয়া-হাঙ্গেরির বুদাপেস্টে জন্মগ্রহণ করেন, ^[2] আন্না ( নি উইলহেম) এবং লাজোস এরডস (এন ইংলান্ডার) এর একমাত্র জীবিত সন্তান। ^{[3] [4]} তার জন্মের কয়েকদিন আগে তার দুই বোন, তিন এবং পাঁচ বছর বয়সী, দুজনেই স্কারলেট জ্বরে মারা গিয়েছিল। ^[5] তার বাবা-মা, উভয়ই ইহুদি, উচ্চ বিদ্যালয়ের গণিতের শিক্ষক ছিলেন। গণিতের প্রতি তার আকর্ষণ প্রথম দিকে বিকশিত হয়েছিল- তাকে প্রায়শই একাই বাড়ি ছেড়ে চলে যেতেন কারণ তার বাবা ১৯১৪-১৯২০ সালে অস্ট্রো-হাঙ্গেরীয় যুদ্ধবন্দী হিসাবে সাইবেরিয়ায় বন্দী ছিলেন, ^[4] যার ফলে তার মাকে তাদের সহায়তা করার জন্য দীর্ঘ সময় কাজ করতে হয়েছিল। পরিবারের তার বাবা বন্দী অবস্থায় নিজেকে ইংরেজি শিখিয়েছিলেন, কিন্তু অনেক শব্দ ভুল উচ্চারণ করেছিলেন। লাজোস যখন পরে তার ছেলেকে ইংরেজি বলতে শিখিয়েছিলেন, তখন পল তার অনন্য উচ্চারণগুলি অর্জন করেছিলেন, যা তিনি তার বাকি জীবনের জন্য ব্যবহার করতে থাকেন। ^[6]

তিনি নিজেকে গণিত পাঠ্যের মাধ্যমে পড়তে শিখিয়েছিলেন যা তার বাবা-মা তাদের বাড়িতে রেখেছিলেন। চার বছর বয়সে, একজন ব্যক্তির বয়স দেওয়া হলে, সে তার মাথায় হিসাব করতে পারে যে তারা কত সেকেন্ড বেঁচে ছিল। ^[7] তার বোনদের মৃত্যুর কারণে, তার মায়ের সাথে তার ঘনিষ্ঠ সম্পর্ক ছিল, কলেজে যাওয়ার আগ পর্যন্ত তারা দুজন একই বিছানায় ছিল বলে জানা গেছে। ^{[8] [9]}

১৬ বছর বয়সে, তার বাবা তাকে দুটি বিষয়ের সাথে পরিচয় করিয়ে দেন যা সারাজীবনের প্রিয় হয়ে উঠবে - অসীম সিরিজ এবং সেট তত্ত্ব । উচ্চ বিদ্যালয়ে, Erdős প্রতি মাসে KöMaL, "মাধ্যমিক বিদ্যালয়ের জন্য গাণিতিক এবং শারীরিক জার্নাল"-এ উপস্থিত হওয়া সমস্যার প্রবল সমাধানকারী হয়ে ওঠেন। ^[10]

এরদস বুদাপেস্ট বিশ্ববিদ্যালয়ে অধ্যয়ন শুরু করেন যখন তিনি ১৭ বছর বয়সে একটি জাতীয় পরীক্ষায় জয়লাভ করেন। সেই সময়ে, হাঙ্গেরিয়ান বিশ্ববিদ্যালয়গুলিতে ইহুদিদের ভর্তির সংখ্যা ক্লসাসের অধীনে কঠোরভাবে সীমাবদ্ধ ছিল। ^{[11] [12]} তার বয়স যখন ২০, তখন তিনি চেবিশেভের উপপাদ্যের জন্য একটি প্রমাণ খুঁজে পেয়েছিলেন। ^[12] ১৯৩৪ সালে, ২১ বছর বয়সে, তিনি গণিতে ডক্টরেট লাভ করেন। ^[12] এরডসের থিসিস উপদেষ্টা ছিলেন লিপোট ফেজার, যিনি জন ভন নিউম্যান, জর্জ পলিয়া এবং পল (পাল) তুরানের থিসিস উপদেষ্টাও ছিলেন। তিনি ম্যানচেস্টারে পোস্ট-ডক্টরাল ফেলোশিপ গ্রহণ করেছিলেন, কারণ হাঙ্গেরির ইহুদিরা কর্তৃত্ববাদী শাসনের অধীনে নিপীড়নের শিকার হচ্ছিল। সেখানে তিনি গডফ্রে হ্যারল্ড হার্ডি এবং স্ট্যান উলামের সাথে দেখা করেন। ^[11]

কারণ তিনি ইহুদি ছিলেন, এরদস হাঙ্গেরিকে বিপজ্জনক বলে সিদ্ধান্ত নেন এবং ১৯৩৮ সালে মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে স্থানান্তরিত হয়ে দেশ ছেড়ে চলে যান ^[13] দ্বিতীয় বিশ্বযুদ্ধের সময় বুদাপেস্টে তার দুই খালা, দুই চাচা এবং বাবা সহ এরদসের পরিবারের অনেক সদস্য মারা যান। তার মা একমাত্র বেঁচে ছিলেন। তিনি তখন আমেরিকায় বসবাস করছিলেন এবং প্রিন্সটন ইনস্টিটিউট ফর অ্যাডভান্সড স্টাডিতে কাজ করছিলেন। ^{[13] [14]} যাইহোক, প্রিন্সটনে তার ফেলোশিপ প্রত্যাশিত বছরের চেয়ে মাত্র ৬ মাস বাড়ানো হয়েছিল কারণ এরডস জায়গাটির মান মেনে চলেনি; তারা তাকে "অপ্রচলিত এবং অপ্রচলিত" বলে মনে করেছিল। ^[15]

তার জীবনীকার, পল হফম্যান দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে, "সম্ভবত বিশ্বের সবচেয়ে উদ্ভট গণিতবিদ" হিসেবে এরদস তার প্রাপ্তবয়স্ক জীবনের বেশিরভাগ সময় একটি স্যুটকেসের বাইরে কাটিয়েছেন। ^[16] ১৯৫০-এর দশকের কিছু বছর বাদে, যখন তাকে কমিউনিস্ট সহানুভূতিশীল বলে অভিযোগের ভিত্তিতে মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে প্রবেশের অনুমতি দেওয়া হয়নি, তার জীবন ছিল এক সভা বা সেমিনার থেকে অন্য সভাতে যাওয়ার ধারাবাহিক ধারাবাহিক। ^[16] তার পরিদর্শনের সময়, Erdős আশা করেছিলেন যে তার হোস্টরা তাকে থাকার ব্যবস্থা করবে, তাকে খাওয়াবে এবং তার লন্ড্রি করবে, তার সাথে তার প্রয়োজনীয় অন্য কিছুর সাথে সাথে তার পরবর্তী গন্তব্যে যাওয়ার ব্যবস্থা করবে। ^[16]

উলাম ১৯৪৩ সালে ইউনিভার্সিটি অফ উইসকনসিন-ম্যাডিসন- এ তার পদ ত্যাগ করেন লস অ্যালামোস, নিউ মেক্সিকোতে অন্যান্য গণিতবিদ এবং পদার্থবিদদের সাথে ম্যানহাটন প্রকল্পে কাজ করার জন্য। তিনি এরদসকে এই প্রকল্পে যোগদানের জন্য আমন্ত্রণ জানান, কিন্তু যুদ্ধের পর এরদস হাঙ্গেরিতে ফিরে যাওয়ার ইচ্ছা প্রকাশ করলে আমন্ত্রণটি প্রত্যাহার করা হয়। ^[17]

২০ সেপ্টেম্বর ১৯৯৬, ৮৩ বছর বয়সে, ওয়ারশতে একটি সম্মেলনে যোগদান করার সময় তিনি হার্ট অ্যাটাক করেন এবং মারা যান। ^[18] এই পরিস্থিতিতে তিনি যেভাবে মারা যেতে চেয়েছিলেন তার কাছাকাছি ছিল। তিনি একবার বলেছিলেন,

I want to be giving a lecture, finishing up an important proof on the blackboard, when someone in the audience shouts out, 'What about the general case?'. I'll turn to the audience and smile, 'I'll leave that to the next generation,' and then I'll keel over.^[18]

এরদোস কখনই বিয়ে করেননি এবং তার কোন সন্তান ছিল না। ^[19] তাকে বুদাপেস্টের ইহুদি কোজমা স্ট্রিট কবরস্থানে 17A-৬-২৯ কবরে তার মা এবং বাবার পাশে সমাহিত করা হয়েছে। ^[20] তার এপিটাফের জন্য, তিনি পরামর্শ দিয়েছিলেন "আমি অবশেষে নির্বোধ হওয়া বন্ধ করেছি।" (হাঙ্গেরিয়ান: "Végre nem butulok tovább" )।

^[7]Erdős এর নামের মধ্যে হাঙ্গেরিয়ান অক্ষর " ő " ("o" দ্বৈত তীব্র উচ্চারণ সহ) রয়েছে, কিন্তু প্রায়শই ভুলভাবে Erdos বা Erdös হিসাবে লেখা হয় "ভুলবশত বা টাইপোগ্রাফিক প্রয়োজনের বাইরে"। ^[21]

কর্মজীবন

১৯৩৪ সালে, এরদস অতিথি লেকচারার হওয়ার জন্য ইংল্যান্ডের ম্যানচেস্টারে চলে যান। ১৯৩৮ সালে, তিনি পরবর্তী দশ বছরের জন্য প্রিন্সটন ইউনিভার্সিটির ইনস্টিটিউট ফর অ্যাডভান্সড স্টাডিতে স্কলারশিপ হোল্ডার হিসেবে প্রথম আমেরিকান অবস্থান গ্রহণ করেন। সম্ভাব্য সংখ্যা তত্ত্বে মার্ক ক্যাক এবং অরেল উইন্টনারের সাথে অসামান্য কাগজপত্র থাকা সত্ত্বেও, আনুমানিক তত্ত্বে পল তুরা এবং মাত্রা তত্ত্বে উইটল্ড হুরেউইচ, তার ফেলোশিপ অব্যাহত রাখা হয়নি, এবং এরদোসকে ইউপেন, নটরডেমে একজন বিচরণকারী পণ্ডিত হিসাবে অবস্থান নিতে বাধ্য করা হয়েছিল।, পারডু, স্ট্যানফোর্ড এবং সিরাকিউস । ^[22] মৃত্যুর আগ পর্যন্ত তিনি এক জায়গায় বেশিক্ষণ থাকতেন না, বরং গাণিতিক প্রতিষ্ঠানের মধ্যে ভ্রমণ করতেন।

১৯৫৪ সালে, ইমিগ্রেশন অ্যান্ড ন্যাচারালাইজেশন সার্ভিস এরডস, একজন হাঙ্গেরিয়ান নাগরিক, মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে পুনরায় প্রবেশের ভিসা প্রত্যাখ্যান করেছিল। ^[23] সেই সময়ে নটরডেম বিশ্ববিদ্যালয়ে অধ্যাপনা করে, এরদস দেশেই থাকতে পারতেন। পরিবর্তে, তিনি পর্যায়ক্রমে ইউএস ইমিগ্রেশন সার্ভিসের কাছ থেকে পুনর্বিবেচনার অনুরোধ করেও প্যাক আপ করে চলে যান।

Ronald Graham, his wife Fan Chung Graham and Paul Erdős in Japan,১৯৮৬

হাঙ্গেরি তখন সোভিয়েত ইউনিয়নের সাথে ওয়ারশ চুক্তির অধীনে ছিল। যদিও হাঙ্গেরি তার নিজের নাগরিকদের দেশে প্রবেশ এবং প্রস্থান করার স্বাধীনতা সীমিত করেছিল, ১৯৫৬ সালে এটি এরদসকে তার খুশি মতো দেশে প্রবেশ এবং প্রস্থান করার একচেটিয়া সুযোগ দেয়।

১৯৬৩ সালে, ইউএস ইমিগ্রেশন সার্ভিস এরডসকে একটি ভিসা প্রদান করে এবং তিনি আমেরিকান বিশ্ববিদ্যালয়গুলিকে তার শিক্ষাদান এবং ভ্রমণের সাথে পুনরায় শুরু করেন। দশ বছর পর, ১৯৭৩ সালে, ৬০ বছর বয়সী এরদস স্বেচ্ছায় হাঙ্গেরি ছেড়ে চলে যান। ^[24]

তার জীবনের শেষ দশকগুলিতে, এরদস কমপক্ষে পনেরটি সম্মানসূচক ডক্টরেট পেয়েছিলেন। তিনি ইউএস ন্যাশনাল একাডেমি অফ সায়েন্সেস এবং ইউকে রয়্যাল সোসাইটি সহ আটটি দেশের বৈজ্ঞানিক একাডেমির সদস্য হন। ^[25] তিনি ১৯৭৭ সালে রয়্যাল নেদারল্যান্ডস একাডেমি অফ আর্টস অ্যান্ড সায়েন্সেসের একজন বিদেশী সদস্য হন ^[26] তার মৃত্যুর কিছুক্ষণ আগে, তিনি সহকর্মী অ্যাড্রিয়ান বন্ডির সাথে অন্যায্য আচরণ বলে মনে করার জন্য ওয়াটারলু বিশ্ববিদ্যালয় থেকে তার সম্মানসূচক ডিগ্রি ত্যাগ করেছিলেন। ^{[27] [28]}

গাণিতিক কাজ

এরডস ছিলেন গাণিতিক ইতিহাসে গবেষণাপত্রের সবচেয়ে বড় প্রকাশকদের একজন, শুধুমাত্র লিওনহার্ড অয়লারের সাথে তুলনীয়; Erdős আরো গবেষণাপত্র প্রকাশ করেন, বেশিরভাগই অন্যান্য গণিতবিদদের সাথে সহযোগিতায়, যখন অয়লার আরো পৃষ্ঠা প্রকাশ করেন, বেশিরভাগই নিজের দ্বারা। ^[7] এরডস তার জীবদ্দশায় প্রায় 1,525টি গাণিতিক নিবন্ধ লিখেছেন, ^[29] বেশিরভাগই সহ-লেখকদের সাথে। তিনি একটি সামাজিক কার্যকলাপ হিসাবে গণিতকে দৃঢ়ভাবে বিশ্বাস করতেন এবং অনুশীলন করতেন, ^[30] তার জীবদ্দশায় ৫১১ জন বিভিন্ন সহযোগী ছিলেন। ^[31]

তার গাণিতিক শৈলীতে, Erdős একজন "তত্ত্ব বিকাশকারী" এর চেয়ে অনেক বেশি "সমস্যা সমাধানকারী" ছিলেন (দুটি শৈলী সম্পর্কে গভীরভাবে আলোচনার জন্য টিমোথি গওয়ারসের "দ্য টু কালচারস অফ ম্যাথমেটিক্স" ^[32] দেখুন এবং কেন সমস্যা? সমাধানকারীদের সম্ভবত কম প্রশংসা করা হয়)। জোয়েল স্পেন্সার বলেছেন যে "২০ শতকের গাণিতিক প্যান্থিয়নে তার স্থানটি কিছু বিতর্কের বিষয় কারণ তিনি তার বর্ণাঢ্য কর্মজীবন জুড়ে দৃঢ়ভাবে নির্দিষ্ট উপপাদ্য এবং অনুমানগুলিতে মনোনিবেশ করেছিলেন।" ^[33] Erdős কখনোই সর্বোচ্চ গাণিতিক পুরস্কার, ফিল্ডস মেডেল জিতেনি, বা তিনি এমন কারো সাথে কোনো কাগজের সহ-লেখক করেননি, ^[34] এমন একটি প্যাটার্ন যা অন্যান্য পুরস্কার পর্যন্ত প্রসারিত। ^[35] তিনি উলফ পুরস্কার জিতেছিলেন, " সংখ্যা তত্ত্ব, সংমিশ্রণবিদ্যা, সম্ভাব্যতা, সেট তত্ত্ব এবং গাণিতিক বিশ্লেষণে এবং বিশ্বব্যাপী গণিতবিদদের ব্যক্তিগতভাবে উদ্দীপিত করার জন্য তার অসংখ্য অবদানের জন্য"। ^[36] বিপরীতে, পরবর্তী তিনজন বিজয়ীর কাজ "অসামান্য", "ক্লাসিক", এবং "গভীর" হিসাবে স্বীকৃত হয়েছিল এবং এর আগে তিনটি "মৌলিক" বা "সেমিনাল" হিসাবে স্বীকৃত হয়েছিল।

তার অবদানের মধ্যে, রামসে তত্ত্বের বিকাশ এবং সম্ভাব্য পদ্ধতির প্রয়োগ বিশেষভাবে আলাদা। চরম সমন্বয়বিদ্যা তার কাছে একটি সম্পূর্ণ পদ্ধতির ঋণী, যা বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যা তত্ত্বের ঐতিহ্য থেকে আংশিকভাবে উদ্ভূত। Erdős বার্ট্রান্ডের ধারণার জন্য একটি প্রমাণ খুঁজে পেয়েছেন যা চেবিশেভের আসলটির চেয়ে অনেক বেশি পরিষ্কার বলে প্রমাণিত হয়েছে। তিনি অ্যাটলে সেলবার্গের সাথে মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্যের জন্য প্রথম প্রাথমিক প্রমাণও আবিষ্কার করেছিলেন। যাইহোক, প্রমাণের দিকে এগিয়ে যাওয়া পরিস্থিতি, সেইসাথে প্রকাশনার মতবিরোধ, এরডস এবং সেলবার্গের মধ্যে একটি তিক্ত বিরোধের দিকে পরিচালিত করে। ^{[37] [38]} Erdős এমন ক্ষেত্রেও অবদান রেখেছেন যেখানে তার সামান্য প্রকৃত আগ্রহ ছিল, যেমন টপোলজি, যেখানে তিনি প্রথম ব্যক্তি হিসেবে কৃতিত্ব পেয়েছেন যিনি সম্পূর্ণভাবে সংযোগ বিচ্ছিন্ন টপোলজিক্যাল স্পেসের উদাহরণ দিয়েছেন যা শূন্য-মাত্রিক নয়, Erdős স্থান । ^[39]

এরডসের সমস্যা

Paul Erdős teaching Terence Tao in ১৯৮৫, at the University of Adelaide. At the time, Terence was ১০ years old. Years later, Terence would grow to become one of the greatest Mathematicians alive. Terence Tao received the Fields Medal in ২০০৬, and was elected a Fellow of the Royal Society in ২০০৭.

নতুন সমস্যা তৈরি করার পাশাপাশি বিদ্যমান সমস্যাগুলি সমাধান করার জন্য এরডসের খ্যাতি ছিল - আর্নস্ট স্ট্রস তাকে "সমস্যা পোজারের পরম রাজা" বলে অভিহিত করেছিলেন। ^[40] তার কর্মজীবন জুড়ে, এরডস অমীমাংসিত সমস্যার সমাধানের জন্য অর্থ প্রদানের প্রস্তাব দিতেন। ^[41] এই সমস্যাগুলির জন্য $২৫ থেকে শুরু করে তিনি অনুভব করেছিলেন যেগুলি বর্তমান গাণিতিক চিন্তাধারার (তাঁর এবং অন্যদের উভয়ের) নাগালের বাইরে ছিল $১০,০০০ ^[42] যেগুলি আক্রমণ করা কঠিন এবং গাণিতিকভাবে তাৎপর্যপূর্ণ। এই সমস্যাগুলির মধ্যে কিছু সমাধান করা হয়েছে, যার মধ্যে রয়েছে সবচেয়ে লাভজনক - প্রাইম গ্যাপ নিয়ে এরডসের অনুমান ২০১৪ সালে সমাধান করা হয়েছিল এবং $১০,০০০ প্রদান করা হয়েছিল। ^[43]

সেখানে অন্তত এক হাজার বাকি অমীমাংসিত সমস্যা আছে বলে মনে করা হয়, যদিও কোনো অফিসিয়াল বা ব্যাপক তালিকা নেই। এরদসের মৃত্যু সত্ত্বেও অফারগুলি সক্রিয় ছিল; রোনাল্ড গ্রাহাম সমাধানের (অনানুষ্ঠানিক) প্রশাসক ছিলেন, এবং একজন সমাধানকারী তার মৃত্যুর আগে এরডসের স্বাক্ষরিত একটি আসল চেক (শুধু স্মৃতির জন্য, ক্যাশ করা যাবে না) বা গ্রাহাম থেকে একটি নগদযোগ্য চেক পেতে পারেন। ^[44]

সেখানে অন্তত এক হাজার বাকি অমীমাংসিত সমস্যা আছে বলে মনে করা হয়, যদিও কোনো অফিসিয়াল বা ব্যাপক তালিকা নেই। এরদসের মৃত্যু সত্ত্বেও অফারগুলি সক্রিয় ছিল; রোনাল্ড গ্রাহাম সমাধানের (অনানুষ্ঠানিক) প্রশাসক ছিলেন, এবং একজন সমাধানকারী তার মৃত্যুর আগে এরডসের স্বাক্ষরিত একটি আসল চেক (শুধু স্মৃতির জন্য, ক্যাশ করা যাবে না) বা গ্রাহাম থেকে একটি নগদযোগ্য চেক পেতে পারেন। ^[45]

সম্ভবত এই সমস্যাগুলির মধ্যে সবচেয়ে গাণিতিকভাবে উল্লেখযোগ্য হল গাণিতিক অগ্রগতির উপর এরডোর অনুমান :

If the sum of the reciprocals of a sequence of integers diverges, then the sequence contains arithmetic progressions of arbitrary length.

যদি সত্য হয়, তাহলে এটি সংখ্যা তত্ত্বের অন্যান্য বেশ কয়েকটি উন্মুক্ত সমস্যার সমাধান করবে (যদিও অনুমানের একটি প্রধান নিহিত্য, মৌলিক সংখ্যাগুলি নির্বিচারে দীর্ঘ গাণিতিক অগ্রগতি ধারণ করে, তারপর থেকে সবুজ-টাও উপপাদ্য হিসাবে স্বাধীনভাবে প্রমাণিত হয়েছে)। সমস্যার সমাধানের জন্য অর্থপ্রদানের মূল্য বর্তমানে US$৫,০০০।

^[46]একটি Erdős পুরস্কারের সাথে সবচেয়ে পরিচিত সমস্যা হল কোলাটজ অনুমান, যাকে ৩ N ও বলা হয় + ১ সমস্যা। Erdős একটি সমাধানের জন্য $৫০০ অফার করেছে।

সহযোগীরা

এরদোর সবচেয়ে ঘন ঘন সহযোগীদের মধ্যে রয়েছে হাঙ্গেরিয়ান গণিতবিদ আন্দ্রেস সার্কোজি (৬২ কাগজপত্র) এবং আন্দ্রেস হাজনাল (৫৬ কাগজপত্র), এবং আমেরিকান গণিতবিদ রাল্ফ ফৌড্রি (৫০ কাগজপত্র)। অন্যান্য ঘন ঘন সহযোগীরা নিম্নলিখিত ছিল: ^[47]

• Richard Schelp (42 papers)
• C. C. Rousseau (35 papers)
• Vera Sós (35 papers)
• Alfréd Rényi (32 papers)
• Pál Turán (30 papers)
• Endre Szemerédi (29 papers)
• Ron Graham (28 papers)
• Stefan Burr (27 papers)
• Carl Pomerance (23 papers)
• Joel Spencer (23 papers)
• János Pach (21 papers)
• Miklós Simonovits (21 papers)
• Ernst G. Straus (20 papers)
• Melvyn B. Nathanson (19 papers)
• Jean-Louis Nicolas (19 papers)
• Richard Rado (18 papers)
• Béla Bollobás (18 papers)
• Eric Charles Milner (15 papers)
• András Gyárfás (15 papers)
• John Selfridge (14 papers)
• Fan Chung (14 papers)
• Richard R. Hall (14 papers)
• George Piranian (14 papers)
• István Joó (12 papers)
• Zsolt Tuza (12 papers)
• A. R. Reddy (11 papers)
• Vojtěch Rödl (11 papers)
• Pál Révész (10 papers)
• Zoltán Füredi (10 papers)

এরদোসের অন্যান্য সহ-লেখকদের জন্য, এরদোসের নম্বর ১ সহ ব্যক্তিদের তালিকা দেখুন এরদোস নম্বর অনুযায়ী ব্যক্তিদের তালিকা.

এর্দোস সংখ্যা

তার ফলপ্রসূ উৎপাদনের কারণে, বন্ধুরা একটি শ্রদ্ধা হিসাবে এরদোস নম্বর তৈরি করেছিল৷ একটি এরদোস সংখ্যা বর্ণনা করে যে একজন ব্যক্তির তার সাথে তাদের সহযোগিতার উপর ভিত্তি করে, বা অন্য কারও সাথে যার নিজস্ব এরদোস নম্বর রয়েছে৷ একা এর্ডোসকে ০ এর এর্ডোস নম্বর দেওয়া হয়েছিল (নিজের থাকার জন্য), যখন তার তাত্ক্ষণিক সহযোগীরা ১ এর এর্ডোস নম্বর দাবি করতে পারে, তাদের সহযোগীদের সর্বাধিক ২ এর্ডোস নম্বর রয়েছে, এবং তাই. প্রায় ২০০,০০০ গণিতবিদদের একটি নির্ধারিত এর্দোস নম্বর রয়েছে,^[48] এবং কেউ কেউ অনুমান করেছেন যে বিশ্বের ৯০ শতাংশ সক্রিয় গণিতবিদদের একটি এরডোস সংখ্যা ৮ এর চেয়ে ছোট (এর আলোকে আশ্চর্যজনক নয়) ছোট বিশ্বের ঘটনা). গণিতবিদদের সাথে সহযোগিতার কারণে, পদার্থবিজ্ঞান, প্রকৌশল, জীববিজ্ঞান এবং অর্থনীতির মতো ক্ষেত্রের অনেক বিজ্ঞানীরও এরদোস সংখ্যা রয়েছে^[49]

বেশ কিছু গবেষণায় দেখা গেছে যে নেতৃস্থানীয় গণিতবিদদের মধ্যে বিশেষ করে কম এরডোর সংখ্যা থাকে। ^[50] উদাহরণস্বরূপ, মোটামুটি ২৬৮,০০০ গণিতবিদদের পরিচিত Erdős সংখ্যার গড় মান ৫। ^[51] বিপরীতে, মাঠ পদকপ্রাপ্তদের মধ্যম Erdős সংখ্যা ৩। ^[52] ২০১৫ সাল পর্যন্ত, প্রায় ১১,০০০ গণিতবিদদের এরডস সংখ্যা ২ বা তার কম। ^{[53] [54]} সহযোগিতার দূরত্ব অগত্যা দীর্ঘ সময়ের স্কেলে বৃদ্ধি পাবে, কারণ কম Erdős সংখ্যার গণিতবিদদের মৃত্যু হয় এবং সহযোগিতার জন্য অনুপলব্ধ হয়ে যায়। আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটি গাণিতিক পর্যালোচনা ক্যাটালগে তালিকাভুক্ত প্রতিটি গাণিতিক লেখকের Erdős সংখ্যা নির্ধারণ করার জন্য একটি বিনামূল্যে অনলাইন টুল প্রদান করে। ^[55]

বেশ কিছু গবেষণায় দেখা গেছে যে নেতৃস্থানীয় গণিতবিদদের মধ্যে বিশেষ করে কম এরডোর সংখ্যা থাকে। ^[56] উদাহরণস্বরূপ, মোটামুটি ২৬৮,০০০ গণিতবিদদের পরিচিত Erdős সংখ্যার গড় মান ৫। ^[57] বিপরীতে, মাঠ পদকপ্রাপ্তদের মধ্যম Erdős সংখ্যা ৩। ^[58] ২০১৫ সাল পর্যন্ত, প্রায় ১১,০০০ গণিতবিদদের এরডস সংখ্যা ২ বা তার কম। ^{[59] [60]} সহযোগিতার দূরত্ব অগত্যা দীর্ঘ সময়ের স্কেলে বৃদ্ধি পাবে, কারণ কম Erdős সংখ্যার গণিতবিদদের মৃত্যু হয় এবং সহযোগিতার জন্য অনুপলব্ধ হয়ে যায়। আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটি গাণিতিক পর্যালোচনা ক্যাটালগে তালিকাভুক্ত প্রতিটি গাণিতিক লেখকের Erdős সংখ্যা নির্ধারণ করার জন্য একটি বিনামূল্যে অনলাইন টুল প্রদান করে। ^[61]

জেরি গ্রসম্যান লিখেছেন যে এটি যুক্তি দেওয়া যেতে পারে যে বেসবল হল অফ ফেমার হ্যাঙ্ক অ্যারনের একটি এরডস নম্বর ১ হিসাবে বিবেচিত হতে পারে কারণ তারা উভয়েই একই বেসবল ( কার্ল পোমেরেন্সের জন্য) অটোগ্রাফ করেছিল যখন এমরি ইউনিভার্সিটি একই দিনে তাদের সম্মানসূচক ডিগ্রি প্রদান করেছিল। ^[62] একটি শিশু, একটি ঘোড়া এবং বেশ কয়েকজন অভিনেতার জন্যও এরদোর সংখ্যা প্রস্তাব করা হয়েছে৷ ^[63]

ব্যক্তিত্ব

এরদসের কাছে সম্পদের অর্থ ছিল সামান্যই; তার বেশিরভাগ জিনিসপত্র একটি স্যুটকেসে মাপসই হবে, যেমনটি তার ভ্রমণ জীবনধারা দ্বারা নির্দেশিত। পুরস্কার এবং অন্যান্য উপার্জন সাধারণত প্রয়োজনে এবং বিভিন্ন যোগ্য কারণের জন্য দান করা হয়। তিনি তার জীবনের বেশিরভাগ সময় কাটিয়েছেন বৈজ্ঞানিক সম্মেলন, বিশ্ববিদ্যালয় এবং সারা বিশ্বের সহকর্মীদের বাড়ির মধ্যে ভ্রমণ করে। তিনি একজন অতিথি প্রভাষক হিসাবে বিশ্ববিদ্যালয় থেকে উপবৃত্তি এবং বিভিন্ন গাণিতিক পুরস্কার থেকে তার ভ্রমণ এবং মৌলিক প্রয়োজনের জন্য অর্থ উপার্জন করতে যথেষ্ট পরিমাণে উপার্জন করেছিলেন; অবশিষ্ট অর্থ তিনি "Erdős সমস্যার" প্রমাণের জন্য নগদ পুরস্কারের জন্য অর্থ প্রদান করতেন (নীচে দেখুন)। তিনি সাধারণত একজন সহকর্মীর দোরগোড়ায় উপস্থিত হতেন এবং ঘোষণা করতেন "আমার মস্তিষ্ক উন্মুক্ত", কয়েক দিন পরে এগিয়ে যাওয়ার আগে কয়েকটি কাগজে সহযোগিতা করার জন্য যথেষ্ট দীর্ঘ সময় থাকতেন। অনেক ক্ষেত্রে, তিনি বর্তমান সহযোগীকে জিজ্ঞাসা করতেন যে পরবর্তীতে কার কাছে যাবেন।

Another roof, another proof.

— Paul Erdős^[64]

তার সহকর্মী আলফ্রেড রেনি তিনি বলেন, " একজন গণিতবিদ হলেন বাঁকানোর যন্ত্র কফি উপপাদ্য মধ্যে",^[65] এবং এরদোস প্রচুর পরিমাণে পান করেছিলেন; এই উদ্ধৃতিটি প্রায়শই ভুলভাবে এরদোসকে দায়ী করা হয়,^[66] কিন্তু এরদোস নিজেই এটিকে রেনির কাছে দায়ী করেছেন৷^[67] ১৯৭১ সালে তার মায়ের মৃত্যুর পরে তিনি এন্টিডিপ্রেসেন্টস এবং অ্যাম্ফিটামিন গ্রহণ শুরু করেছিলেন, তার বন্ধুদের উদ্বেগ সত্ত্বেও, যাদের মধ্যে একজন (রন গ্রাহাম) তাকে $৫০০ বাজি ধরেছে যে সে এক মাসের জন্য তাদের গ্রহণ বন্ধ করতে পারে না. এরদোস বাজি জিতেছে, কিন্তু অভিযোগ করেছে যে এটি তার পারফরম্যান্সকে প্রভাবিত করেছেঃ "আপনি আমাকে দেখিয়েছেন যে আমি আসক্ত নই. কিন্তু আমি কোন কাজ করিনি. সকালে ঘুম থেকে উঠে একটা খালি কাগজের দিকে তাকালাম আমার কোন ধারণা নেই, ঠিক একজন সাধারণ মানুষের মত. আপনি এক মাস পিছনে গণিত সেট করেছি."^[68] তিনি বাজি জয়ের পর, তিনি অবিলম্বে তার ব্যবহার পুনরায় শুরু রিতালিন এবং বেনজেড্রিন.^[69]

তার নিজস্ব বৈশিষ্টপূর্ণ শব্দভাণ্ডার ছিল; যদিও একজন অজ্ঞেয়বাদী নাস্তিক, ^{[70] [71]} তিনি "দ্য বুক" এর কথা বলেছিলেন, এটি এমন একটি বইয়ের দৃশ্যায়ন যেখানে ঈশ্বর গাণিতিক উপপাদ্যগুলির জন্য সেরা এবং সবচেয়ে মার্জিত প্রমাণগুলি লিখেছিলেন। ^[72] ১৯৮৫ সালে বক্তৃতা দেওয়ার সময় তিনি বলেছিলেন, "আপনাকে ঈশ্বরে বিশ্বাস করতে হবে না, তবে আপনার বইতে বিশ্বাস করা উচিত।" তিনি নিজেই ঈশ্বরের অস্তিত্ব নিয়ে সন্দেহ করেছিলেন, যাকে তিনি "সর্বোচ্চ ফ্যাসিস্ট" (SF) বলেছেন। ^{[66] [73]} তিনি SF-এর বিরুদ্ধে তার মোজা এবং হাঙ্গেরিয়ান পাসপোর্ট লুকিয়ে রাখার এবং নিজের কাছে সবচেয়ে মার্জিত গাণিতিক প্রমাণ রাখার অভিযোগ আনেন। যখন তিনি একটি বিশেষ সুন্দর গাণিতিক প্রমাণ দেখতে পান তখন তিনি চিৎকার করে বলতেন, "এটি বই থেকে এসেছে!" এটি পরে বই থেকে প্রমাণ নামে একটি বইকে অনুপ্রাণিত করেছিল।

এরদসের শব্দভান্ডারের অন্যান্য বৈচিত্র্যপূর্ণ উপাদানগুলির মধ্যে রয়েছে: ^[74]

• শিশুদের " এপিসিলন " হিসাবে উল্লেখ করা হয় (কারণ গণিতে, বিশেষ করে ক্যালকুলাস, একটি ইচ্ছাকৃতভাবে ছোট ধনাত্মক পরিমাণকে সাধারণত গ্রীক অক্ষর (ε) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়)।
• মহিলারা ছিল "বস" যারা পুরুষদের "দাস" হিসাবে "বন্দী" করে তাদের বিয়ে করে। তালাকপ্রাপ্ত পুরুষদের "মুক্ত" করা হয়েছিল।
• যারা গণিত করা বন্ধ করে দিয়েছে তারা "মারা গেছে", যখন যারা মারা গেছে তারা"চলে গেছে"

• মদ্যপ পানীয় ছিল "বিষ".
• সঙ্গীত (শাস্ত্রীয় সঙ্গীত ছাড়া) ছিল "গোলমাল".
• একটি হ্যাক বিবেচনা করা একটি "নিউটন"হতে ছিল.
• গণিতের বক্তৃতা দেওয়া ছিল "প্রচার করা"
• গণিতের বক্তৃতা ছিল "প্রচার"^[75]
• শিক্ষার্থীদের মৌখিক পরীক্ষা দেওয়া ছিল তাদের "নির্যাতন" করা

তিনি অনেক দেশের ডাকনাম দিয়েছেন, উদাহরণ হল: মার্কিন যুক্তরাষ্ট্র ছিল "স্যামল্যান্ড" ( আঙ্কেল স্যাম এর পরে) ^[76] এবং সোভিয়েত ইউনিয়ন ছিল "জোয়েডম" ( জোসেফ স্ট্যালিনের পরে)। ^[76] তিনি দাবি করেছিলেন যে হিন্দি ছিল সর্বোত্তম ভাষা কারণ বার্ধক্য ( বুদ্ধহা ) এবং মূর্খতা ( বুদ্ধু ) শব্দগুলি প্রায় একই শোনায়। ^[22]

স্বাক্ষর

এরদস তার নাম "পল এরডোস পিজিওএম" স্বাক্ষর করেন যখন তিনি ৬০ বছর বয়সী হন, তিনি "LD" যোগ করেন, ৬৫ "AD" এ, ৭০ "LD" (আবার), এবং ৭৫ "CD" এ ^[22]

• PGOM প্রতিনিধিত্ব করেছে "দরিদ্র মহান ওল্ড ম্যান"
• প্রথম এলডি "লিভিং ডেড" প্রতিনিধিত্ব করে
• AD প্রতিনিধিত্ব করে "প্রত্নতাত্ত্বিক আবিষ্কার"
• দ্বিতীয় এলডি "আইনিভাবে মৃত" প্রতিনিধিত্ব করে
• সিডি "কাউন্টস ডেড" প্রতিনিধিত্ব করে ^{[66] [77]}

উত্তরাধিকার

Grave of Erdős, Kozma Street Cemetery, Budapest

বই এবং চলচ্চিত্র

Erdős অন্তত তিনটি বইয়ের বিষয়: দুটি জীবনী ( Hoffman 's The Man Who Loved Only Numbers এবং Schechter's My Brain is Open, উভয়ই ১৯৯৮ সালে প্রকাশিত) এবং Deborah Heiligman ( The Boy Who Loved Math:) এর একটি ২০১৩ সালের শিশুদের ছবির বই। পল এরডস এর অসম্ভব জীবন )। ^[78]

এছাড়াও তিনি জর্জ সিসিসারির জীবনীমূলক তথ্যচিত্রের বিষয়বস্তু এন ইজ আ নাম্বার: পল এরডস এর প্রতিকৃতি , ^[79] যখন তিনি জীবিত ছিলেন।

জ্যোতির্বিদ্যা

২০২১ সালে গৌণ গ্রহ ( গ্রহাণু ) ৪০৫৫৭১ (অস্থায়ীভাবে মনোনীত ২০০৫ QE87) আনুষ্ঠানিকভাবে Erdős স্মরণ করার জন্য "Erdőspál" নামকরণ করা হয়েছিল, উদ্ধৃতি দিয়ে তাকে "একজন হাঙ্গেরিয়ান গণিতবিদ হিসাবে বর্ণনা করা হয়েছিল, যার বেশিরভাগ কাজ বিচ্ছিন্নতাকে কেন্দ্র করে। তার কাজ গণিতের নতুন ক্ষেত্রগুলি বিকাশ বা অন্বেষণ করার পরিবর্তে পূর্বের উন্মুক্ত সমস্যাগুলি সমাধানের দিকে ঝুঁকেছিল।" ^[80] নামকরণের প্রস্তাব করেছিলেন "কে. সার্নেস্কি, জেড. কুলি" (কুলি হলেন গ্রহাণুর আবিষ্কারক)।

আরও দেখুন

• List of topics named after Paul Erdős – including conjectures, numbers, prizes, and theorems
• Box-making game
• Covering system
• Dimension (graph theory)
• Even circuit theorem
• Friendship graph
• Minimum overlap problem
• Probabilistic method
• Probabilistic number theory
• The Martians (scientists)

তথ্যসূত্র

1. "Paul Erdős | Hungarian mathematician | Britannica"। www.britannica.com (ইংরেজি ভাষায়)। সংগ্রহের তারিখ ২০২২-০১-১২।
2. "Erdos biography"। Gap-system.org। ২০১১-০৬-০৭ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০১০-০৫-২৯।
3. Baker, A.; Bollobas, B. (১৯৯৯)। "Paul Erdős 26 March 1913 – 20 September 1996: Elected For.Mem.R.S. 1989": 147–164। ডিওআই:10.1098/rsbm.1999.0011 ।
4. Chern, Shiing-Shen; Hirzebruch, Friedrich (২০০০)। Wolf Prize in Mathematics। World Scientific। পৃষ্ঠা 294। আইএসবিএন 978-981-02-3945-9।
5. "Paul Erdős"। সংগ্রহের তারিখ ২০১৫-০৬-১১।
6. "Paul Erdős - Biography"। Maths History (ইংরেজি ভাষায়)। সংগ্রহের তারিখ ২০২২-০৭-০৬।
7. Hoffman 1998।
8. Hoffman, Paul (১ জুলাই ২০১৬)। ""Paul Erdős: The Man Who Loved Only Numbers" video lecture"। YouTube। The University of Manchester। সংগ্রহের তারিখ ২০১৭-০৩-১৭।
9. Alexander, James (সেপ্টেম্বর ২৭, ১৯৯৮)। "Planning an Infinite Stay"। The New York Times। সংগ্রহের তারিখ ৬ মে ২০২২।
10. Babai, László। "Paul Erdős just left town"। ২০১১-০৬-০৯ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা।
11. "Paul Erdős - Biography"। Maths History (ইংরেজি ভাষায়)। সংগ্রহের তারিখ ২০২২-০৭-০৬।
12. Bruno 2003
13. Bruno 2003
14. । |শিরোনাম= অনুপস্থিত বা খালি (সাহায্য)
15. "Paul Erdős - Biography"। Maths History (ইংরেজি ভাষায়)। সংগ্রহের তারিখ ২০২২-০৭-০৬।
16. Bruno 2003
17. "Paul Erdős - Biography"। Maths History (ইংরেজি ভাষায়)। সংগ্রহের তারিখ ২০২২-০৭-০৬।
18. Bruno 2003
19. Baker, A.; Bollobas, B. (১৯৯৯)। "Paul Erdős 26 March 1913 – 20 September 1996: Elected For.Mem.R.S. 1989": 147–164। ডিওআই:10.1098/rsbm.1999.0011 ।
20. "Erdős Pál sírja - grave 17A-6-29"। agt.bme.hu। ২০১৬-০৪-০৪ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০১৭-১২-০২।
21. The full quote is "Note the pair of long accents on the "ő," often (even in Erdos's own papers) by mistake or out of typographical necessity replaced by "ö," the more familiar German umlaut which also exists in Hungarian.", from Erdős, Paul; Miklós, D. (১৯৯৬)। Combinatorics, Paul Erdős is eighty।
22. Bollobás 1996।
23. "Erdos biography"। School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland। জানুয়ারি ২০০০। সংগ্রহের তারিখ ২০০৮-১১-১১।
24. Babai, László; Spencer, Joel। "Paul Erdős (1913–1996)" (পিডিএফ)। American Mathematical Society।
25. Baker, A.; Bollobás, B. (১৯৯৯)। "Paul Erdõs. 26 March 1913 — 20 September 1996"। The Royal Society: 147–164। আইএসএসএন 0080-4606। ডিওআই:10.1098/rsbm.1999.0011।
26. "P. Erdös (1913 - 1996)"। Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences। ২৮ জুলাই ২০২০ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা।
27. Erdős, Paul (৪ জুন ১৯৯৬)। "Dear President Downey" (পিডিএফ)। ২০০৫-১০-১৫ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০১৪-০৭-০৮। With a heavy heart I feel that I have to sever my connections with the University of Waterloo, including resigning my honorary degree which I received from the University in 1981 (which caused me great pleasure). I was very upset by the treatment of Professor Adrian Bondy. I do not maintain that Professor Bondy was innocent, but in view of his accomplishments and distinguished services to the University I feel that 'justice should be tempered with mercy.'
28. Transcription of October 2, 1996, article from University of Waterloo Gazette (archive) ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত নভেম্বর ২৩, ২০১০ তারিখে
29. Grossman, Jerry। "Publications of Paul Erdös"। সংগ্রহের তারিখ ২০১১-০২-০১।
30. Krauthammer, Charles (সেপ্টেম্বর ২৭, ১৯৯৬)। "Paul Erdos, Sweet Genius"। The Washington Post। পৃষ্ঠা A25।
31. "The Erdős Number Project Data Files"। Oakland.edu। ২০০৯-০৫-২৯। সংগ্রহের তারিখ ২০১০-০৫-২৯।
32. Gowers, Timothy (২০০০)। "The Two Cultures of Mathematics" (পিডিএফ)। Mathematics: Frontiers and Perspectives। American Mathematical Society। আইএসবিএন 978-0821826973।
33. Spencer, Joel (নভেম্বর–ডিসেম্বর ২০০০)। "Prove and Conjecture!"।
34. "Paths to Erdős - The Erdős Number Project- Oakland University"। oakland.edu। সংগ্রহের তারিখ ২০১৭-১২-০২।
35. From "trails to Erdos" ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ২০১৫-০৯-২৪ তারিখে, by DeCastro and Grossman, in The Mathematical Intelligencer, vol. 21, no. 3 (Summer 1999), 51–63: A careful reading of Table 3 shows that although Erdos never wrote jointly with any of the 42 [Fields] medalists (a fact perhaps worthy of further contemplation)... there are many other important international awards for mathematicians.
36. "Wolf Foundation Mathematics Prize Page"। Wolffund.org.il। ২০০৮-০৪-১০ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০১০-০৫-২৯।
37. Goldfeld, Dorian (২০০৩)। "The Elementary Proof of the Prime Number Theorem: an Historical Perspective": 179–192।
38. Baas, Nils A.; Skau, Christian F. (২০০৮)। "The lord of the numbers, Atle Selberg. On his life and mathematics" (পিডিএফ): 617–649। ডিওআই:10.1090/S0273-0979-08-01223-8 ।
39. Henriksen, Melvin। "Reminiscences of Paul Erdös (1913–1996)"। Mathematical Association of America। সংগ্রহের তারিখ ২০০৮-০৯-০১।
40. Kolata, Gina (১৯৯৬-০৯-২৪)। "Paul Erdos, 83, a Wayfarer In Math's Vanguard, Is Dead"। The New York Times। পৃষ্ঠা A1 and B8। সংগ্রহের তারিখ ২০০৮-০৯-২৯।
41. "Math genius left unclaimed sum"। Edmonton Journal। ২০১১-০১-১৮ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ১৬ জুলাই ২০২০।
42. "Prime Gap Grows After Decades-Long Lull"। ১০ ডিসেম্বর ২০১৪।
43. KEVIN HARTNETT (৫ জুন ২০১৭)। "Cash for Math: The Erdős Prizes Live On"।
44. Seife, Charles (৫ এপ্রিল ২০০২)। "Erdös's Hard-to-Win Prizes Still Draw Bounty Hunters": 39–40। ডিওআই:10.1126/science.296.5565.39। পিএমআইডি 11935003।
45. Seife, Charles (৫ এপ্রিল ২০০২)। "Erdös's Hard-to-Win Prizes Still Draw Bounty Hunters": 39–40। ডিওআই:10.1126/science.296.5565.39। পিএমআইডি 11935003।
46. p. 354, Soifer, Alexander (2008); The Mathematical Coloring Book: Mathematics of Coloring and the Colorful Life of its Creators; New York: Springer. আইএসবিএন ৯৭৮-০-৩৮৭-৭৪৬৪০-১
47. List of collaborators of Erdős by number of joint papers ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ২০০৮-০৮-০৪ তারিখে, from the Erdős number project website.
48. । |ধারাবাহিক= অনুপস্থিত বা খালি (সাহায্য)
49. Grossman, Jerry। "Some Famous People with Finite Erdös Numbers"। সংগ্রহের তারিখ ২০১১-০২-০১।
50. De Castro, Rodrigo; Grossman, Jerrold W. (১৯৯৯)। "Famous trails to Paul Erdős" (পিডিএফ): 51–63। এমআর 1709679। ডিওআই:10.1007/BF03025416। সাইট সিয়ারX 10.1.1.33.6972 । ২০১৫-০৯-২৪ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা।
51. "Facts about Erdös Numbers and the Collaboration Graph - The Erdös Number Project- Oakland University"। OU-Main-Page। সংগ্রহের তারিখ অক্টোবর ৬, ২০১৯।
52. "Erdös Numbers in Finance"।
53. "Erdos2"।
54. "Paths to Erdös - The Erdös Number Project- Oakland University"। OU-Main-Page। সংগ্রহের তারিখ অক্টোবর ৬, ২০১৯।
55. "mathscinet/collaborationDistance"। ams.org। সংগ্রহের তারিখ ২০১৭-১২-০২।
56. De Castro, Rodrigo; Grossman, Jerrold W. (১৯৯৯)। "Famous trails to Paul Erdős" (পিডিএফ): 51–63। এমআর 1709679। ডিওআই:10.1007/BF03025416। সাইট সিয়ারX 10.1.1.33.6972 । ২০১৫-০৯-২৪ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা।
57. "Facts about Erdös Numbers and the Collaboration Graph - The Erdös Number Project- Oakland University"। OU-Main-Page। সংগ্রহের তারিখ অক্টোবর ৬, ২০১৯।
58. "Erdös Numbers in Finance"।
59. "Erdos2"।
60. "Paths to Erdös - The Erdös Number Project- Oakland University"। OU-Main-Page। সংগ্রহের তারিখ অক্টোবর ৬, ২০১৯।
61. "mathscinet/collaborationDistance"। ams.org। সংগ্রহের তারিখ ২০১৭-১২-০২।
62. Grossman, Jerry। "Items of Interest Related to Erdös Numbers"।
63. "The Extended Erdös Number Project"। harveycohen.net। সংগ্রহের তারিখ ২০১৭-১২-০২।
64. ""another roof another proof" - Google Search"। www.google.com। সংগ্রহের তারিখ ২০২২-০৫-০৪।উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
65. J.J. O'Connor and E.F. Robertson (ডিসেম্বর ২০০৮)। "Biography of Alfréd Rényi"। Maths History (ইংরেজি ভাষায়)। সংগ্রহের তারিখ ২০২২-০৫-০৪।
66. Schechter 1998।
67. Erdős, Paul (১৯৯৫)। "Child Prodigies" (পিডিএফ) (1): 7–15। ২০১২-০৩-২৪ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০১২-০৭-১৭।
68. Hill, J. Paul Erdos, Mathematical Genius, Human (In That Order)
69. Paul, Hoffman। "1. The Story of Paul Erdös and the Search for Mathematical Truth"। The Man Who Loved Only Numbers। archive.nytimes.com। সংগ্রহের তারিখ ২০২২-০৫-০৪।
70. Mulcahy, Colm (২০১৩-০৩-২৬)। "Centenary of Mathematician Paul Erdős – Source of Bacon Number Concept"। Huffington Post। সংগ্রহের তারিখ ২০১৩-০৪-১৩। In his own words, "I'm not qualified to say whether or not God exists. I kind of doubt He does. Nevertheless, I'm always saying that the SF has this transfinite Book that contains the best proofs of all mathematical theorems, proofs that are elegant and perfect...You don't have to believe in God, but you should believe in the Book.".
71. Huberman, Jack (২০০৮)। Quotable Atheist: Ammunition for Nonbelievers, Political Junkies, Gadflies, and Those Generally Hell-Bound। Nation Books। পৃষ্ঠা 107। আইএসবিএন 9781568584195।
72. Mathematics and the Aesthetic: New Approaches to an Ancient Affinity। Springer। ২০০৬। পৃষ্ঠা 36। আইএসবিএন 9780387305264।
73. Raman, Varadaraja (২০০৫)। Variety in Religion And Science: Daily Reflections। iUniverse। পৃষ্ঠা 256। আইএসবিএন 9780595358403।
74. Paul, Hoffman। "1. The Story of Paul Erdös and the Search for Mathematical Truth"। The Man Who Loved Only Numbers। archive.nytimes.com। সংগ্রহের তারিখ ২০২২-০৫-০৪।
75. Strick, Heinz। "Paul Erdős" (পিডিএফ)।
76. Paul, Hoffman। "1. The Story of Paul Erdös and the Search for Mathematical Truth"। The Man Who Loved Only Numbers। archive.nytimes.com। সংগ্রহের তারিখ ২০২২-০৫-০৪।
77. ইউটিউবে Paul Erdös: N is a number, a documentary film by George Paul Csicsery, 1991.
78. Silver, Nate (১২ জুলাই ২০১৩)। "Children's Books Beautiful Minds 'The Boy Who Loved Math' and 'On a Beam of Light'"। The New York Times। সংগ্রহের তারিখ ২০১৪-১০-২৯।
79. উদ্ধৃতি খালি (সাহায্য)
80. Working Group on Small Body Nomenclature of the International Astronomical Union (২০২১-০৫-১৪)। "WGSBN Bulletin" (পিডিএফ): 29। সংগ্রহের তারিখ ২০২১-০৫-১৬।

আরও দেখুন

• এর্ডশ সংখ্যা