টপোগণিত

টপোগণিত (ইংরেজি: Topology) গণিতের একটি শাখা যেখানে জ্যামিতিক বস্তুসমূহের কিছু নির্দিষ্ট ধর্ম আলোচনা করা হয়। টপোগণিতকে সাধারণত জ্যামিতির অধীন একটি শাখা হিসেবে গণ্য করা হয়। একে রাবার-ব্যান্ড জ্যামিতি জাতীয় নামেও মাঝে মাঝে ডাকা হয়। এটিতে এমন সব জ্যামিতিক বস্তু নিয়ে আলোচনা করা হয়, যেগুলি স্থানের বাঁকানো, মোচড়ানোর, বা রূপ পরিবর্তন নির্বিশেষে অপরিবর্তিত থাকে। টপোগণিতে স্থানের বিচ্ছিন্নকরণ এবং দুটি স্বতন্ত্র বিন্দুর উপরিপাতন অনুমোদিত নয়। সাধারণ জ্যামিতিতে পরম অবস্থান, দূরত্ব ও সমান্তরাল রেখা নিয়ে আলোচনা করা হয়; আর টপোগণিতে আপাত অবস্থান ও সাধারণ আকৃতি নিয়ে আলোচনা করা হয়।

ম্যোবিয়াস ফিতা এমন একটি বস্তু যার কেবল একটি তল ও একটি ধার রয়েছে; এই ধরনের বস্তু ও তার আকৃতি টপোগণিতের অন্যতম আলোচ্য বিষয়

ইতিহাস

ক্যোনিগ্‌সবের্গের সাতটি সেতু টপোগণিতের একটি বিখ্যাত সমস্যা

বর্তমানের গণিতের যে শাখাটি টপোগণিত নামে পরিচিত, সেটির শুরু হয় জ্যামিতির কিছু প্রশ্নের উত্তর খুঁজতে গিয়ে। ক্যোনিগ্‌সবের্গের সাতটি সেতুর উপর লেওনার্ড অয়লারের ১৭৩৬ সালে লেখা গবেষণাপত্র টপোগণিতের প্রথমদিকের একটি অবদান হিসেবে পরিগণিত।^[১] ১৭৫০ সালের ১৪ নভেম্বর, অয়লার তার এক বন্ধুকে লিখেছিলেন যে তিনি পলিহেড্রনের প্রান্তগুলির গুরুত্ব অনুধাবন করেছেন।  এর ফলে তার পলিহেড্রন সূত্র, V - E+ F = 2 (যেখানে V, E, এবং V যথাক্রমে পলিয়েড্রনের কোণ, প্রান্ত এবং মুখের সংখ্যা নির্দেশ করে),। অনেকই এটিকে টপোলজির জন্মের ইঙ্গিত দিয়ে এই বিশ্লেষণকে প্রথম উপপাদ্য হিসাবে বিবেচনা করে।^[২]

"Topologie" পরিভাষাটি জার্মান ভাষায় প্রথম অন্তর্ভুক্ত হয় ১৮৪৭ সালে, যখন ইয়োহান বেনেডিক্ট লিস্টিং তার ফোরষ্টুডিয়েন ৎসুর টোপোলোগিয়ে (Vorstudien zur Topologie, Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, pp. 67, 1848) নামের গবেষণাপত্রে শব্দটি ব্যবহার করেন।^[৩] তবে তার আগেই প্রায় দশ বছর যাবৎ লিস্টিং শব্দটি ব্যক্তিগত যোগাযোগে ব্যবহার করতেন। এর প্রায় চার দশক পরে ১৮৮৩ সালে টপোগণিতের ইংরেজি প্রতিশব্দ "Topology" প্রথম ব্যবহার করা হয় নেচার গবেষণা পত্রিকায়, পরিমাপভিত্তিক সাধারণ জ্যামিতি থেকে বৈশিষ্ট্যভিত্তিক জ্যামিতিকে আলাদা করে দেখানোর উদ্দেশ্যে ("qualitative geometry from the ordinary geometry in which quantitative relations chiefly are treated")।^[৪] "টপোগণিতবিদ"-এর ইংরেজি প্রতিশব্দ "topologist" "টপোগণিতের বিশেষজ্ঞ" অর্থে প্রথম ব্যবহার করা হয় ১৯০৫ সালে, স্পেকটেটর ম্যাগাজিন পত্রিকায়।

আধুনিক টপোগণিত গেয়র্গ কান্টর উদ্ভাবিত সেট তত্ত্বের ওপর নির্ভর করে।

অঁরি পোয়াঁকারে ১৮৯৫ সালে আনালিসিস সিতুস নামের গ্রন্থে হোমোটপি ও হোমোলজি ধারণাগুলি উপস্থাপন করেন। এগুলি বর্তমানে বীজগাণিতিক টপোগণিতের অংশ হিসেবে গণ্য করা হয়।

ফরাসি গণিতবিদ মোরিস ফ্রেশে ১৯০৬ সালে মেট্রিক জগতের ধারণা উপস্থাপন করেন, যাকে বর্তমানে একটি বিশেষ ধরনের টপোজগৎ বলে গণ্য করা হয়। ১৯১৪ সালে ফেলিক্স হাউসডর্ফ "টপোজগৎ" ("topological space") ধারণাটি উদ্ভাবন করেন এবং বর্তমানে যা হাউসডর্ফ জগৎ নামে পরিচিত, তার সংজ্ঞা দেন। টপোজগতের বর্তমান প্রচলিত সংজ্ঞা হাউসডর্ফ জগৎ গুলির একটি সাধারণীকৃত রূপ; ১৯২২ সালে কাজিমিয়ের্জ কুরাটভ্‌স্কি এই সংজ্ঞা দেন।