ফ্রাক্টাল

গণিতে, ফ্র্যাক্টাল হ'ল ইউক্লিডিয়ান ক্ষেত্রের একটি উপসেট যার জন্য ফ্র্যাক্টাল মাত্রা কঠোরভাবে টপোলজিকাল মাত্রাকে ছাড়িয়ে যায়। ফ্র্যাক্টালগুলি বিভিন্ন স্তরে একই দেখা যায়, যেমন ম্যান্ডেলব্রট সেটের ক্রমাগত প্রশস্তকরণে চিত্রিত হয়েছে।^[1]^[2]^[3]^[4] সাধারণভাবে, ফ্রাক্টাল হলো এমন এক আকার যা পুনরাবৃত্তির মাধ্যমে গঠিত বা স্বানুরূপ^[5], অর্থাৎ এটা এমন এক আকার যা যেকোন মাত্রায়ই পরিবর্ধিত করা হোক না কেন, সর্বদাই অনুরূপ দেখাবে। এজন্যে এদেরকে প্রায়ই "অসীমরকম জটিল" বলে অভিহিত করা হয়ে থাকে। যদি এই প্রতিলিপিটি প্রতিবার মাপে হুবহু একই রকম হয়, যেমন মেনজার স্পঞ্জ, এটিকে অ্যাফাইন স্ব-অনুরূপ বলা হয়।^[6] ফ্র্যাক্টাল জ্যামিতি টপোলজির একটি শাখা।

Thumb — **ফ্রাক্টাল** এর একটি বিখ্যাত উদাহরণ, ম্যান্ডেলব্রট সেট, এর সীমারেখার চিত্র

ম্যান্ডেলব্রট সেট

গণিতবিদেরা ফ্রাক্টালকে একরকম জ্যামিতিক বস্তু হিসাবে বিবেচনা করেন এবং নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত করে থাকেন:

এদের গঠন অতি সূক্ষ্ম এবং পরিচিত ইউক্লিডীয় জ্যামিতির ভাষায় এদেরকে সহজে ব্যাখ্যা করা যায় না।
এরা স্বানুরূপ (অন্তত আসন্ন বা পরিসংখ্যানিকভাবে তো বটেই)
এদের টপোগাণিতিক মাত্রা'র চেয়ে হাসডর্ফ মাত্রা-র সংখ্যা বেশি।^[7]
এদের রয়েছে খুব সরল পৌনঃপুনিক সংজ্ঞা।
এদের রয়েছে সহজাত চেহারা।

ফ্রাক্টালের এর সব বা অধিকাংশ বৈশিষ্ট্য থাকে।^[2]

সব স্বানুরূপ বস্তু কিন্তু ফ্রাক্টাল নয় — যেমন: বাস্তব রেখা (একটি ইউক্লিডিয়ান সরল রেখা) গাণিতিকভাবে স্বানুরূপ এবং দেখতে সহজাত হলেও অন্যান্য অধিকাংশ বৈশিষ্ট্য না থাকায়, এটা ফ্রাক্টাল নয়।

ফ্র্যাক্টালের গণিত প্রথম প্রতিষ্ঠা পেতে শুরু করে সপ্তদশ শতাব্দীতে যখন দার্শনিক ও বিজ্ঞানী গটফ্রিড লাইবনিৎস পৌনঃপুনিক আত্ম-সাদৃশ্য নিয়ে চিন্তা-ভাবনা শুরু করেন। অবশ্য লাইবনিৎসের একটি ভুল হয়েছিল। তিনি ভেবেছিলেন কেবল সরল রেখাই আত্ম-সদৃশ হতে পারে যা সঠিক নয়।

এরপর এ বিষয়ে আর তেমন কোন অগ্রগতি হয়নি।

১৯৭৫ সালে বেনোয়া মানডেলব্রট ফ্রাক্টাল নামটি উদ্ভাবন করেন। শব্দটি ল্যাটিন ফ্রাক্টাস থেকে নেয়া হয়েছে, যার অর্থ "ভাঙ্গা" বা "চিড়-ধরা"।

প্রাকৃতিক ঘটনা

প্রকৃতিতে পাওয়া আনুমানিক ফ্র্যাক্টালগুলি প্রসারিত, তবে সসীম, স্কেল রেঞ্জগুলির উপর স্ব-সাদৃশ্য প্রদর্শন করে। উদাহরণস্বরূপ, ফ্র্যাক্টাল এবং পাতার মধ্যে সংযোগটি বর্তমানে গাছগুলিতে কতটা কার্বন রয়েছে তা নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা হচ্ছে।^[8] ফ্র্যাকটাল বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য পরিচিত ঘটনাগুলির মধ্যে রয়েছে:

অ্যাক্টিন সাইটোস্কেলেটন^[9]
শৈবাল
প্রাণীর রঙ প্যাটার্ন
রক্তনালী এবং পালমোনারি রক্তনালী^[10]
মেঘ ও বৃষ্টিপাতের এলাকা ^[11]
তটরেখা
ক্রেটারস
ক্রিস্টাল^[12]
ডিএনএ
ভূমিকম্প^[13]^[14]
ত্রুটি রেখা
জ্যামিতিক অপটিক্স^[15]
হৃদ স্পন্দন^[16]
লেকের উপকূলরেখা ও এলাকাসমূহ^[17]^[18]^[19]
বজ্রপাত
পর্বত ছাগলের শিং
পলিমার
পারকোলেশন
পর্বতমালা
সমুদ্রের ঢেউ^[20]
আনারস
আমিষ^[21]
শনির বলয়^[22]^[23]
নদী জাল
তুষারকণা^[24]
মাটির ছিদ্র^[25]
প্রবাহের পৃষ্ঠতল বাধা^[26]^[27]
ধুলো শস্য^[28]
ব্রাউনীয় গতি^[29]

প্রযুক্তিতে প্রয়োগ

ফ্র্যাক্টাল অ্যান্টেনা^[30]
ফ্র্যাক্টাল ট্রান্সিটর^[31]
নগরায়ন^[32]^[33]
রোগনিরূপণবিদ্যা^[34]^[35]
ভূতত্ত্ব ^[36]
ভূগোল^[37]
প্রত্নতত্ত্ব^[38]^[39]
অনুসন্ধান ও উদ্ধার^[40]
কৌশলগত বিশ্লেষণ^[41]

[1]
Mandelbrot, Benoit B. (১৯৮৩)। The Fractal Geometry of Nature (ইংরেজি ভাষায়)। Henry Holt and Company। আইএসবিএন 978-0-7167-1186-5।
[2]
Falconer, K. J., 1952- (২০০৩)। Fractal geometry : mathematical foundations and applications (2nd ed সংস্করণ)। Chichester: Wiley। আইএসবিএন 0-470-87135-0। ওসিএলসি 53970546।
[3]
Briggs, John. (১৯৯২)। Fractals : the patterns of chaos : discovering a new aesthetic of art, science, and nature। London: Thames & Hudson। পৃষ্ঠা ১৪৮। আইএসবিএন 0-500-27693-5। ওসিএলসি 27830734।
[4]
Vicsek, Tamás. (১৯৯২)। Fractal growth phenomena (2nd ed সংস্করণ)। Singapore: World Scientific। আইএসবিএন 981-02-0668-2। ওসিএলসি 25834255।
[5]
Boeing, G. (২০১৬)। "Visual Analysis of Nonlinear Dynamical Systems: Chaos, Fractals, Self-Similarity and the Limits of Prediction"। Systems। 4 (4): 37। ডিওআই:10.3390/systems4040037। সংগ্রহের তারিখ ২০১৬-১২-০২।
[6]
Gouyet, Jean-François. (১৯৯৬)। Physics and fractal structures। Paris: Masson। আইএসবিএন 0-387-94153-3। ওসিএলসি 35005596।
[7]
Albers, Donald J.; Alexanderson, Gerald L. (২০০৮)। "Benoît Mandelbrot: In his own words"। Mathematical people : profiles and interviews। Wellesley, MA: AK Peters। পৃষ্ঠা 214। আইএসবিএন 978-1-56881-340-0।
[8]
"Hunting the Hidden Dimensional". Nova. PBS. WPMB-Maryland. October 28, 2008.
[9]
Sadegh, Sanaz (২০১৭)। "Plasma Membrane is Compartmentalized by a Self-Similar Cortical Actin Meshwork"। Physical Review X। 7 (1): 011031। arXiv:1702.03997 । ডিওআই:10.1103/PhysRevX.7.011031। পিএমআইডি 28690919। পিএমসি 5500227 । বিবকোড:2017PhRvX...7a1031S।
[10]
Hahn, Horst K.; Georg, Manfred; Peitgen, Heinz-Otto (২০০৫)। "Fractal aspects of three-dimensional vascular constructive optimization"। Losa, Gabriele A.; Nonnenmacher, Theo F.। Fractals in biology and medicine। Springer। পৃষ্ঠা 55–66। আইএসবিএন 978-3-7643-7172-2।
[11]
Lovejoy, Shaun (১৯৮২)। "Area-perimeter relation for rain and cloud areas"। Science। 216 (4542): 185–187। এসটুসিআইডি 32255821। ডিওআই:10.1126/science.216.4542.185। পিএমআইডি 17736252। বিবকোড:1982Sci...216..185L।
[12]
Carbone, Alessandra; Gromov, Mikhael; Prusinkiewicz, Przemyslaw (২০০০)। Pattern formation in biology, vision and dynamics। World Scientific। পৃষ্ঠা 78। আইএসবিএন 978-981-02-3792-9।
[13]
Vannucchi, Paola; Leoni, Lorenzo (২০০৭)। "Structural characterization of the Costa Rica décollement: Evidence for seismically-induced fluid pulsing"। Earth and Planetary Science Letters। 262 (3–4): 413। hdl:2158/257208 । ডিওআই:10.1016/j.epsl.2007.07.056। বিবকোড:2007E&PSL.262..413V।
[14]
Sornette, Didier (২০০৪)। Critical phenomena in natural sciences: chaos, fractals, selforganization, and disorder: concepts and tools। Springer। পৃষ্ঠা 128–140। আইএসবিএন 978-3-540-40754-6।
[15]
Sweet, D.; Ott, E.; Yorke, J. A. (১৯৯৯), "Complex topology in Chaotic scattering: A Laboratory Observation", Nature, 399 (6734): 315, এসটুসিআইডি 4361904, ডিওআই:10.1038/20573, বিবকোড:1999Natur.399..315S
[16]
Tan, Can Ozan; Cohen, Michael A.; Eckberg, Dwain L.; Taylor, J. Andrew (২০০৯)। "Fractal properties of human heart period variability: Physiological and methodological implications"। The Journal of Physiology। 587 (15): 3929–41। ডিওআই:10.1113/jphysiol.2009.169219। পিএমআইডি 19528254। পিএমসি 2746620 ।
[17]
D. Seekell, B. Cael, E. Lindmark, P. Byström (২০২১)। "The fractal scaling relationship for river inlets to lakes"। Geophysical Research Letters। 48 (9): e2021GL093366। আইএসএসএন 0094-8276। এসটুসিআইডি 235508504 Check |s2cid= value (সাহায্য)। ডিওআই:10.1029/2021GL093366। বিবকোড:2021GeoRL..4893366S।
[18]
D. Seekell, M. L. Pace, L. J. Tranvik, C. Verpoorter (২০১৩)। "A fractal-based approach to lake size-distributions" (পিডিএফ)। Geophysical Research Letters। 40 (3): 517–521। এসটুসিআইডি 14482711। ডিওআই:10.1002/grl.50139। বিবকোড:2013GeoRL..40..517S।
[19]
B. B. Cael, D. A. Seekell (২০১৬)। "The size-distribution of Earth's lakes"। Scientific Reports। 6: 29633। ডিওআই:10.1038/srep29633। পিএমআইডি 27388607। পিএমসি 4937396 । বিবকোড:2016NatSR...629633C।
[20]
Addison, Paul S. (১৯৯৭)। Fractals and chaos: an illustrated course। CRC Press। পৃষ্ঠা 44–46। আইএসবিএন 978-0-7503-0400-9। সংগ্রহের তারিখ ফেব্রুয়ারি ৫, ২০১১।
[21]
Enright, Matthew B.; Leitner, David M. (জানুয়ারি ২৭, ২০০৫)। "Mass fractal dimension and the compactness of proteins"। Physical Review E। 71 (1): 011912। ডিওআই:10.1103/PhysRevE.71.011912। পিএমআইডি 15697635। বিবকোড:2005PhRvE..71a1912E।
[22]
Takayasu, H. (১৯৯০)। Fractals in the physical sciences। Manchester: Manchester University Press। পৃষ্ঠা 36। আইএসবিএন 978-0-7190-3434-3।
[23]
Jun, Li; Ostoja-Starzewski, Martin (এপ্রিল ১, ২০১৫)। "Edges of Saturn's Rings are Fractal"। SpringerPlus। 4,158: 158। ডিওআই:10.1186/s40064-015-0926-6। পিএমআইডি 25883885। পিএমসি 4392038 ।
[24]
Meyer, Yves; Roques, Sylvie (১৯৯৩)। Progress in wavelet analysis and applications: proceedings of the International Conference "Wavelets and Applications", Toulouse, France – June 1992। Atlantica Séguier Frontières। পৃষ্ঠা 25। আইএসবিএন 978-2-86332-130-0। সংগ্রহের তারিখ ফেব্রুয়ারি ৫, ২০১১।
[25]
Ozhovan M. I., Dmitriev I. E., Batyukhnova O. G. Fractal structure of pores of clay soil. Atomic Energy, 74, 241–243 (1993).
[26]
Sreenivasan, K. R.; Meneveau, C. (১৯৮৬)। "The Fractal Facets of Turbulence"। Journal of Fluid Mechanics। 173: 357–386। এসটুসিআইডি 55578215। ডিওআই:10.1017/S0022112086001209। বিবকোড:1986JFM...173..357S।
[27]
de Silva, C. M.; Philip, J.; Chauhan, K.; Meneveau, C.; Marusic, I. (২০১৩)। "Multiscale Geometry and Scaling of the Turbulent–Nonturbulent Interface in High Reynolds Number Boundary Layers"। Phys. Rev. Lett.। 111 (6039): 192–196। এসটুসিআইডি 22560587। ডিওআই:10.1126/science.1203223। পিএমআইডি 21737736। বিবকোড:2011Sci...333..192A।
[28]
Singh, Chamkor; Mazza, Marco (২০১৯), "Electrification in granular gases leads to constrained fractal growth", Scientific Reports, Nature Publishing Group, 9 (1): 9049, arXiv:1812.06073 , ডিওআই:10.1038/s41598-019-45447-x , পিএমআইডি 31227758, পিএমসি 6588598 , বিবকোড:2019NatSR...9.9049S
[29]
Falconer, Kenneth (২০১৩)। Fractals, A Very Short Introduction। Oxford University Press।
[30]
Hohlfeld, Robert G.; Cohen, Nathan (১৯৯৯)। "Self-similarity and the geometric requirements for frequency independence in Antennae"। Fractals। 7 (1): 79–84। ডিওআই:10.1142/S0218348X99000098।
[31]
Reiner, Richard; Waltereit, Patrick; Benkhelifa, Fouad; Müller, Stefan; Walcher, Herbert; Wagner, Sandrine; Quay, Rüdiger; Schlechtweg, Michael; Ambacher, Oliver; Ambacher, O. (২০১২)। "Fractal structures for low-resistance large area AlGaN/GaN power transistors"। Proceedings of ISPSD: 341। আইএসবিএন 978-1-4577-1596-9। ডিওআই:10.1109/ISPSD.2012.6229091।
[32]
Chen, Yanguang (২০১১)। "Modeling Fractal Structure of City-Size Distributions Using Correlation Functions"। PLoS ONE। 6 (9): e24791। arXiv:1104.4682 । ডিওআই:10.1371/journal.pone.0024791। পিএমআইডি 21949753। পিএমসি 3176775 । বিবকোড:2011PLoSO...624791C।
[33]
"Applications"। অক্টোবর ১২, ২০০৭ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০০৭-১০-২১।
[34]
Smith, Robert F.; Mohr, David N.; Torres, Vicente E.; Offord, Kenneth P.; Melton III, L. Joseph (১৯৮৯)। "Renal insufficiency in community patients with mild asymptomatic microhematuria"। Mayo Clinic Proceedings। 64 (4): 409–414। ডিওআই:10.1016/s0025-6196(12)65730-9। পিএমআইডি 2716356।
[35]
Landini, Gabriel (২০১১)। "Fractals in microscopy"। Journal of Microscopy। 241 (1): 1–8। ডিওআই:10.1111/j.1365-2818.2010.03454.x। পিএমআইডি 21118245।
[36]
Cheng, Qiuming (১৯৯৭)। "Multifractal Modeling and Lacunarity Analysis"। Mathematical Geology। 29 (7): 919–932। ডিওআই:10.1023/A:1022355723781।
[37]
Chen, Yanguang (২০১১)। "Modeling Fractal Structure of City-Size Distributions Using Correlation Functions"। PLoS ONE। 6 (9): e24791। arXiv:1104.4682 । ডিওআই:10.1371/journal.pone.0024791। পিএমআইডি 21949753। পিএমসি 3176775 । বিবকোড:2011PLoSO...624791C।
[38]
Burkle-Elizondo, Gerardo; Valdéz-Cepeda, Ricardo David (২০০৬)। "Fractal analysis of Mesoamerican pyramids"। Nonlinear dynamics, psychology, and life sciences। 10 (1): 105–122। পিএমআইডি 16393505।
[39]
Brown, Clifford T.; Witschey, Walter R. T.; Liebovitch, Larry S. (২০০৫)। "The Broken Past: Fractals in Archaeology"। Journal of Archaeological Method and Theory। 12: 37। ডিওআই:10.1007/s10816-005-2396-6।
[40]
Saeedi, Panteha; Sorensen, Soren A.। "An Algorithmic Approach to Generate After-disaster Test Fields for Search and Rescue Agents" (পিডিএফ)। Proceedings of the World Congress on Engineering 2009: 93–98। আইএসবিএন 978-988-17-0125-1।
[41]
Bunde, Armin; Havlin, Shlomo (২০০৯)। Meyers, Robert A., সম্পাদক। Encyclopedia of Complexity and Systems Science (ইংরেজি ভাষায়)। New York, NY: Springer New York। পৃষ্ঠা 3700–3720। আইএসবিএন 978-0-387-75888-6। ডিওআই:10.1007/978-0-387-30440-3_218।

দ্য কেয়স হাইপারপাঠ্যবই। কেয়স ও ফ্রাক্টাল বিষয়ক একটি প্রাথমিক পাঠ।
সাদামাটা ভাষায় ফ্রাক্টাল ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ৭ জুলাই ২০২২ তারিখে
ফ্রাক্টাল, ফ্রাক্টাল মাত্রা, কেয়স, সমতল ছেয়ে-ফেলা বক্ররেখা কাট-দ্য-নট এ
ফ্রাক্টালের বৈশিষ্ট্যসমূহ
FAQS.org থেকে ফ্রাক্টাল বিষয়ক তথ্যাবলী
ফ্রাক্টাল মাত্রাসমূহ
ফ্রাক্টাল ক্যালকুলাস ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ২০ এপ্রিল ২০১২ তারিখে
ফ্রাক্টাল মাত্রা
গ্রান্ড ক্যানিয়নে প্রাকৃতিক ফ্রাক্টালসমূহ
একমাত্রিক ডাইন্যামিক্যাল সিস্টেমস ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ১ সেপ্টেম্বর ২০০৬ তারিখে। ইউআইইউসি থেকে, সংক্ষিপ্ত ভূমিকা
ফ্রাক্টাল পর্বত ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ২১ আগস্ট ২০০৬ তারিখে - জাভা অ্যাপলেট

উইন্ডোজ জেনারেটর প্রোগ্রামস

ফ্রাক্টাল জেনারেটরের ফ্রাক্টোভিয়ার তালিকা এখানে বিনামূল্য ফ্রাক্টাল জেনারেটরের একটা সমৃদ্ধ তালিকা আছে।
আলট্রা ফ্রাক্টাল — মাইক্রোসফট উইন্ডোজের জন্য সফটওয়্যার। বিনামূল্য পরখ সংস্করণ পাওয়া যাচ্ছে।
IFS Illusions — ফ্রাক্টাল গ্যালারী এবং কৃত্রিম শিল্প software
Sterling2 freeware fractal generator

গণিত বিষয়ক এই নিবন্ধটি অসম্পূর্ণ। আপনি চাইলে এটিকে সম্প্রসারিত করে উইকিপিডিয়াকে সাহায্য করতে পারেন।

[1] [1]
Mandelbrot, Benoit B. (১৯৮৩)। The Fractal Geometry of Nature (ইংরেজি ভাষায়)। Henry Holt and Company। আইএসবিএন 978-0-7167-1186-5।

[:0-2] [2]
Falconer, K. J., 1952- (২০০৩)। Fractal geometry : mathematical foundations and applications (2nd ed সংস্করণ)। Chichester: Wiley। আইএসবিএন 0-470-87135-0। ওসিএলসি 53970546।

[3] [3]
Briggs, John. (১৯৯২)। Fractals : the patterns of chaos : discovering a new aesthetic of art, science, and nature। London: Thames & Hudson। পৃষ্ঠা ১৪৮। আইএসবিএন 0-500-27693-5। ওসিএলসি 27830734।

[4] [4]
Vicsek, Tamás. (১৯৯২)। Fractal growth phenomena (2nd ed সংস্করণ)। Singapore: World Scientific। আইএসবিএন 981-02-0668-2। ওসিএলসি 25834255।

[Boeing2016Systems-5] [5]
Boeing, G. (২০১৬)। "Visual Analysis of Nonlinear Dynamical Systems: Chaos, Fractals, Self-Similarity and the Limits of Prediction"। Systems। 4 (4): 37। ডিওআই:10.3390/systems4040037। সংগ্রহের তারিখ ২০১৬-১২-০২।

[6] [6]
Gouyet, Jean-François. (১৯৯৬)। Physics and fractal structures। Paris: Masson। আইএসবিএন 0-387-94153-3। ওসিএলসি 35005596।

[Mandelbrot_quote-7] [7]
Albers, Donald J.; Alexanderson, Gerald L. (২০০৮)। "Benoît Mandelbrot: In his own words"। Mathematical people : profiles and interviews। Wellesley, MA: AK Peters। পৃষ্ঠা 214। আইএসবিএন 978-1-56881-340-0।

[8] [8]
"Hunting the Hidden Dimensional". Nova. PBS. WPMB-Maryland. October 28, 2008.

[9] [9]
Sadegh, Sanaz (২০১৭)। "Plasma Membrane is Compartmentalized by a Self-Similar Cortical Actin Meshwork"। Physical Review X। 7 (1): 011031। arXiv:1702.03997 । ডিওআই:10.1103/PhysRevX.7.011031। পিএমআইডি 28690919। পিএমসি 5500227 । বিবকোড:2017PhRvX...7a1031S।

[modeling_vasculature-10] [10]
Hahn, Horst K.; Georg, Manfred; Peitgen, Heinz-Otto (২০০৫)। "Fractal aspects of three-dimensional vascular constructive optimization"। Losa, Gabriele A.; Nonnenmacher, Theo F.। Fractals in biology and medicine। Springer। পৃষ্ঠা 55–66। আইএসবিএন 978-3-7643-7172-2।

[11] [11]
Lovejoy, Shaun (১৯৮২)। "Area-perimeter relation for rain and cloud areas"। Science। 216 (4542): 185–187। এসটুসিআইডি 32255821। ডিওআই:10.1126/science.216.4542.185। পিএমআইডি 17736252। বিবকোড:1982Sci...216..185L।

[crystal-12] [12]
Carbone, Alessandra; Gromov, Mikhael; Prusinkiewicz, Przemyslaw (২০০০)। Pattern formation in biology, vision and dynamics। World Scientific। পৃষ্ঠা 78। আইএসবিএন 978-981-02-3792-9।

[seismology-13] [13]
Vannucchi, Paola; Leoni, Lorenzo (২০০৭)। "Structural characterization of the Costa Rica décollement: Evidence for seismically-induced fluid pulsing"। Earth and Planetary Science Letters। 262 (3–4): 413। hdl:2158/257208 । ডিওআই:10.1016/j.epsl.2007.07.056। বিবকোড:2007E&PSL.262..413V।

[14] [14]
Sornette, Didier (২০০৪)। Critical phenomena in natural sciences: chaos, fractals, selforganization, and disorder: concepts and tools। Springer। পৃষ্ঠা 128–140। আইএসবিএন 978-3-540-40754-6।

[geomopt-15] [15]
Sweet, D.; Ott, E.; Yorke, J. A. (১৯৯৯), "Complex topology in Chaotic scattering: A Laboratory Observation", Nature, 399 (6734): 315, এসটুসিআইডি 4361904, ডিওআই:10.1038/20573, বিবকোড:1999Natur.399..315S

[heart-16] [16]
Tan, Can Ozan; Cohen, Michael A.; Eckberg, Dwain L.; Taylor, J. Andrew (২০০৯)। "Fractal properties of human heart period variability: Physiological and methodological implications"। The Journal of Physiology। 587 (15): 3929–41। ডিওআই:10.1113/jphysiol.2009.169219। পিএমআইডি 19528254। পিএমসি 2746620 ।

[17] [17]
D. Seekell, B. Cael, E. Lindmark, P. Byström (২০২১)। "The fractal scaling relationship for river inlets to lakes"। Geophysical Research Letters। 48 (9): e2021GL093366। আইএসএসএন 0094-8276। এসটুসিআইডি 235508504 Check |s2cid= value (সাহায্য)। ডিওআই:10.1029/2021GL093366। বিবকোড:2021GeoRL..4893366S।

[18] [18]
D. Seekell, M. L. Pace, L. J. Tranvik, C. Verpoorter (২০১৩)। "A fractal-based approach to lake size-distributions" (পিডিএফ)। Geophysical Research Letters। 40 (3): 517–521। এসটুসিআইডি 14482711। ডিওআই:10.1002/grl.50139। বিবকোড:2013GeoRL..40..517S।

[19] [19]
B. B. Cael, D. A. Seekell (২০১৬)। "The size-distribution of Earth's lakes"। Scientific Reports। 6: 29633। ডিওআই:10.1038/srep29633। পিএমআইডি 27388607। পিএমসি 4937396 । বিবকোড:2016NatSR...629633C।

[nature-20] [20]
Addison, Paul S. (১৯৯৭)। Fractals and chaos: an illustrated course। CRC Press। পৃষ্ঠা 44–46। আইএসবিএন 978-0-7503-0400-9। সংগ্রহের তারিখ ফেব্রুয়ারি ৫, ২০১১।

[21] [21]
Enright, Matthew B.; Leitner, David M. (জানুয়ারি ২৭, ২০০৫)। "Mass fractal dimension and the compactness of proteins"। Physical Review E। 71 (1): 011912। ডিওআই:10.1103/PhysRevE.71.011912। পিএমআইডি 15697635। বিবকোড:2005PhRvE..71a1912E।

[22] [22]
Takayasu, H. (১৯৯০)। Fractals in the physical sciences। Manchester: Manchester University Press। পৃষ্ঠা 36। আইএসবিএন 978-0-7190-3434-3।

[23] [23]
Jun, Li; Ostoja-Starzewski, Martin (এপ্রিল ১, ২০১৫)। "Edges of Saturn's Rings are Fractal"। SpringerPlus। 4,158: 158। ডিওআই:10.1186/s40064-015-0926-6। পিএমআইডি 25883885। পিএমসি 4392038 ।

[snowflake-24] [24]
Meyer, Yves; Roques, Sylvie (১৯৯৩)। Progress in wavelet analysis and applications: proceedings of the International Conference "Wavelets and Applications", Toulouse, France – June 1992। Atlantica Séguier Frontières। পৃষ্ঠা 25। আইএসবিএন 978-2-86332-130-0। সংগ্রহের তারিখ ফেব্রুয়ারি ৫, ২০১১।

[25] [25]
Ozhovan M. I., Dmitriev I. E., Batyukhnova O. G. Fractal structure of pores of clay soil. Atomic Energy, 74, 241–243 (1993).

[26] [26]
Sreenivasan, K. R.; Meneveau, C. (১৯৮৬)। "The Fractal Facets of Turbulence"। Journal of Fluid Mechanics। 173: 357–386। এসটুসিআইডি 55578215। ডিওআই:10.1017/S0022112086001209। বিবকোড:1986JFM...173..357S।

[27] [27]
de Silva, C. M.; Philip, J.; Chauhan, K.; Meneveau, C.; Marusic, I. (২০১৩)। "Multiscale Geometry and Scaling of the Turbulent–Nonturbulent Interface in High Reynolds Number Boundary Layers"। Phys. Rev. Lett.। 111 (6039): 192–196। এসটুসিআইডি 22560587। ডিওআই:10.1126/science.1203223। পিএমআইডি 21737736। বিবকোড:2011Sci...333..192A।

[28] [28]
Singh, Chamkor; Mazza, Marco (২০১৯), "Electrification in granular gases leads to constrained fractal growth", Scientific Reports, Nature Publishing Group, 9 (1): 9049, arXiv:1812.06073 , ডিওআই:10.1038/s41598-019-45447-x , পিএমআইডি 31227758, পিএমসি 6588598 , বিবকোড:2019NatSR...9.9049S

[29] [29]
Falconer, Kenneth (২০১৩)। Fractals, A Very Short Introduction। Oxford University Press।

[antenna-30] [30]
Hohlfeld, Robert G.; Cohen, Nathan (১৯৯৯)। "Self-similarity and the geometric requirements for frequency independence in Antennae"। Fractals। 7 (1): 79–84। ডিওআই:10.1142/S0218348X99000098।

[Fractal_transistor-31] [31]
Reiner, Richard; Waltereit, Patrick; Benkhelifa, Fouad; Müller, Stefan; Walcher, Herbert; Wagner, Sandrine; Quay, Rüdiger; Schlechtweg, Michael; Ambacher, Oliver; Ambacher, O. (২০১২)। "Fractal structures for low-resistance large area AlGaN/GaN power transistors"। Proceedings of ISPSD: 341। আইএসবিএন 978-1-4577-1596-9। ডিওআই:10.1109/ISPSD.2012.6229091।

[32] [32]
Chen, Yanguang (২০১১)। "Modeling Fractal Structure of City-Size Distributions Using Correlation Functions"। PLoS ONE। 6 (9): e24791। arXiv:1104.4682 । ডিওআই:10.1371/journal.pone.0024791। পিএমআইডি 21949753। পিএমসি 3176775 । বিবকোড:2011PLoSO...624791C।

[33] [33]
"Applications"। অক্টোবর ১২, ২০০৭ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০০৭-১০-২১।

[pathology-34] [34]
Smith, Robert F.; Mohr, David N.; Torres, Vicente E.; Offord, Kenneth P.; Melton III, L. Joseph (১৯৮৯)। "Renal insufficiency in community patients with mild asymptomatic microhematuria"। Mayo Clinic Proceedings। 64 (4): 409–414। ডিওআই:10.1016/s0025-6196(12)65730-9। পিএমআইডি 2716356।

[35] [35]
Landini, Gabriel (২০১১)। "Fractals in microscopy"। Journal of Microscopy। 241 (1): 1–8। ডিওআই:10.1111/j.1365-2818.2010.03454.x। পিএমআইডি 21118245।

[36] [36]
Cheng, Qiuming (১৯৯৭)। "Multifractal Modeling and Lacunarity Analysis"। Mathematical Geology। 29 (7): 919–932। ডিওআই:10.1023/A:1022355723781।

[37] [37]
Chen, Yanguang (২০১১)। "Modeling Fractal Structure of City-Size Distributions Using Correlation Functions"। PLoS ONE। 6 (9): e24791। arXiv:1104.4682 । ডিওআই:10.1371/journal.pone.0024791। পিএমআইডি 21949753। পিএমসি 3176775 । বিবকোড:2011PLoSO...624791C।

[archaeology-38] [38]
Burkle-Elizondo, Gerardo; Valdéz-Cepeda, Ricardo David (২০০৬)। "Fractal analysis of Mesoamerican pyramids"। Nonlinear dynamics, psychology, and life sciences। 10 (1): 105–122। পিএমআইডি 16393505।

[39] [39]
Brown, Clifford T.; Witschey, Walter R. T.; Liebovitch, Larry S. (২০০৫)। "The Broken Past: Fractals in Archaeology"। Journal of Archaeological Method and Theory। 12: 37। ডিওআই:10.1007/s10816-005-2396-6।

[search_and_rescue-40] [40]
Saeedi, Panteha; Sorensen, Soren A.। "An Algorithmic Approach to Generate After-disaster Test Fields for Search and Rescue Agents" (পিডিএফ)। Proceedings of the World Congress on Engineering 2009: 93–98। আইএসবিএন 978-988-17-0125-1।

[41] [41]
Bunde, Armin; Havlin, Shlomo (২০০৯)। Meyers, Robert A., সম্পাদক। Encyclopedia of Complexity and Systems Science (ইংরেজি ভাষায়)। New York, NY: Springer New York। পৃষ্ঠা 3700–3720। আইএসবিএন 978-0-387-75888-6। ডিওআই:10.1007/978-0-387-30440-3_218।

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

প্রাকৃতিক ঘটনা

প্রযুক্তিতে প্রয়োগ

উইন্ডোজ জেনারেটর প্রোগ্রামস

Wikiwand in your browser!

ফ্রাক্টাল

প্রাকৃতিক ঘটনা

প্রযুক্তিতে প্রয়োগ

উইন্ডোজ জেনারেটর প্রোগ্রামস

Wikiwand in your browser!

সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্য

ইতিহাস

প্রয়োগ

তথ্যসূত্র

বহিঃসংযোগ