Су́ма (лац.: summa — вынік) — вынік аперацыі складання велічынь (лікаў, функцый, вектараў, матрыц і г. д.). Агульнымі для ўсіх выпадкаў з'яўляюцца ўласцівасці камутатыўнасці, асацыятыўнасці для аперацыі складання, а таксама дыстрыбутыўнасці ў адносінах да множання (калі для разгляданых велічынь множанне вызначана), гэта азначае выкананне суадносін:
- а + b = b + a
- а + (b + c) = (а + b) + c
- правы размеркавальны закон
- (а + b)с = ас + bc
- левы размеркавальны закон
- с(а + b) = ca + cb
У тэорыі мностваў сумай (ці аб'яднаннем) мностваў называецца мноства, элементамі якога з'яўляюцца ўсе элементы складнікаў мностваў, узятыя без паўтораў.
Часта суму n складнікаў ak, ak+1, …, aN абазначаюць вялікай літарай гречаскай літарай Σ (сігма):
![{\displaystyle a_{k}+a_{k+1}+...+a_{N}=\sum _{i=k}^{N}a_{i}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68002a7c594f0f91617b5ac18344073cb2799a64)
Гэта абазначэнне называюць вызначанай (канечнай) сумай ai паi ад k да N.
Для зручнасці замест
, асабліва калі складваць трэба не ўсе складнікі, а толькі тыя, чый нумар задавальняе пэўную ўмову, часам пішуць
, дзе
— некаторая ўмова для
, такім чынам
гэта канечная сума ўсіх
, дзе ![{\displaystyle i\in Z:P(i)\ }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0638978f305e66b199302480de7b5c734d9f4c74)
Уласцівасці вызначанай сумы:
![{\displaystyle \left(\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}\right)\left(\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}b_{j}\right)=\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}\left(\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}a_{i}b_{j}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0112709edebd1b5af85fb02683d45ad1052bdc)
![{\displaystyle \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}a_{ij}=\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{ij}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad5b5d0792138a5481534b1d472b01f09b6b40f9)
![{\displaystyle \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}(a_{i}+b_{i})=\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}+\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}b_{i}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f77197751ca1d40e18acf7f0992ae1d9bf93f590)
![{\displaystyle \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}{z\cdot a_{i}}=z\cdot \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c1407b0330f5008cc9522d8d0da1cd148587dad)
- Сума арыфметычнай прагрэсіі:
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(a_{0}+b\cdot i)=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da52a69412320e7030c4454958844f55669ae379)
- Сума геаметрычнай прагрэсіі:
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{0}\cdot b^{i}=a_{0}\cdot {\frac {1-b^{n+1}}{1-b}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27bc50765547aefc16dab043564011cd5a7a29d7)
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right),\quad p\neq 1,n\geq 0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9689c0ab0eb3e8c56d5684270187a33b381b9565)
Чаму гэта так
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}=\sum _{i=0}^{n}{1\cdot {\frac {1}{p^{i}}}}=1\cdot {\frac {1-{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{n+1}}{1-{\frac {1}{p}}}}={\frac {\frac {p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{\frac {p-1}{p}}}={\frac {p^{n+1}-1}{p^{n}(p-1)}}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3acf6e1fa51d064de9cf287c2f928fe9eccf851c)
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^{2}}},\quad p\neq 1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4efea1160cea8383cf55cd96080810424aa9c82d)
Чаму гэта так
Доказ:
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}ip^{i}=\sum _{i=1}^{n}ip^{i}=p\cdot \sum _{i=1}^{n}ip^{i-1}=p\cdot \sum _{i=0}^{n-1}(i+1)p^{i}=p\cdot \left(\sum _{i=0}^{n-1}{ip^{i}}+\sum _{i=0}^{n-1}p^{i}\right)=p\cdot \sum _{i=0}^{n}ip^{i}-p\cdot np^{n}+p\cdot {\frac {1-p^{n}}{1-p}}\Rightarrow }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97879917d27fd3e3ddd780e0768a7dc9884354f6)
![{\displaystyle \Rightarrow (1-p)\sum _{k=0}^{n}ip^{i}={\frac {-np^{n-1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p}}\Rightarrow \sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/689a1d6a07c3d45f81030ab1b1f0b4755d3dee0b)
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}p^{i}=(p-1)\sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1,\quad p\neq 1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b36b3f6445c465bf4d479287161fa76372ee72)
- Пры
атрымліваем
, а гэта паслядоўнасць роўнасцей наступнага выгляду:
![{\displaystyle 1=9\cdot 0+1,\quad 11=9\cdot 1+2,\quad 111=9\cdot 12+3,\quad 1111=9\cdot 123+4,\quad 11111=9\cdot 1234+5}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562bf60107071de6bc624bdce1ffe7f7dbe89b85)
Нявызначанай сумай ai по i называецца такая функцыя f(i), якая абазначаецца
,
что
.
Калі знайдзена нявызначаная сума
,
тады
.
Лацінскае слова summa перакладаецца як «галоўны пункт», «сутнасць», «вынік». З XV стагоддзя слова пачынае ўжывацца ў сучасным сэнсе, з'яўляецца дзеяслоў «падсумоўваць» (1489 год).
Гэтае слова пранікла ў многія сучасныя мовы: сума ў рускай, sum ў англійскай, somme ў французскай.
Адмысловы сімвал для абазначэння сумы (S) першым увёў Эйлер у 1755 годзе. У якасці варыянта выкарыстоўвалася грэчаская літара «сігма» Σ. Пазней з прычыны сувязі паняццяў сумавання і інтэгравання, S таксама выкарыстоўвалі для абазначэння аперацыі інтэгравання.