Формула Ньютана — Лейбніца

Формула Ньютана — Лейбніца, або асноўная тэарэма аналізу, устанаўлівае сувязь паміж дзвюма аперацыямі: узяццем вызначанага інтэграла і вылічэннем першаіснай.

Калі ${\displaystyle \textstyle f(x)}$ неперарыўная на адрэзку ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ і ${\displaystyle \textstyle F(x)}$ — яе любая першаісная на гэтым адрэзку, то мае месца роўнасць ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x){\Bigl |}_{a}^{b}.}$

Гісторыя

Яшчэ да з’яўлення матэматычнага аналізу дадзеная тэарэма (у геаметрычнай або механічнай фармулёўцы) была вядомая Тарычэлі, Грэгары^[ru] і Бароу^[ru]. Напрыклад, Бароу апісаў гэты факт ў 1670 годзе як залежнасць паміж задачамі на квадратуры^[ru] і на правядзенне датычных. Пасля стварэння Ньютанам і Лейбніцам дыферэнцыяльнага і інтэгральнага злічэнняў сэнс формулы стаў трактавацца чыста матэматычна: аперацыі дыферэнцыравання і інтэгравання ўзаемна процілеглыя.

Ньютан сфармуляваў тэарэму славесна наступным чынам: «Для атрымання належнага значэння плошчы, прылеглай да некаторай часткі абсцыс, гэтую плошчу заўсёды трэба браць роўнай рознасці значэнняў z [першаіснай], адпаведных часткам абсцыс, абмежаваным пачаткам і канцом плошчы».

У Лейбніца запіс дадзенай формулы ў сучасным выглядзе таксама адсутнічае, паколькі абазначэнне вызначанага інтэграла з’явілася значна пазней, у Фур’е ў пачатку XIX стагоддзя. Сучаснае афармленне і строгі доказ упершыню былі апублікаваны таксама ў пачатку XIX стагоддзя Лакруа^[ru].

Гл. таксама

• Асноўная тэарэма алгебры
• Асноўная тэарэма арыфметыкі

Літаратура

• Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
• Демидович Б. П. Отдел 3. Формула Ньютона — Лейбница // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).
• Никифоровский В. А. Путь к интегралу. — М.: Наука, 1985.