Артаганальная матрыца

Артаганальная матрыца — квадратная матрыца ${\displaystyle A}$ з рэчаіснымі элементамі, вынік множання якой на ${\displaystyle A^{T}}$ роўны адзінкавай матрыцы:^[1]

${\displaystyle AA^{T}=A^{T}A=E,}$

або, што эквівалентна, яе адваротная матрыца роўная транспанаванай матрыцы:

${\displaystyle \!A^{-1}=A^{T}.}$

Уласцівасці

• Стоўбцы і радкі артаганальнай матрыцы ўтвараюць сістэмы ортанарміраваных вектараў, гэта значыць:

${\displaystyle \!\sum _{i}A_{ij}A_{ik}=\delta _{jk}}$

і

${\displaystyle \!\sum _{i}A_{ji}A_{ki}=\delta _{jk}}$

дзе ${\displaystyle i\in \{1,\;\ldots ,\;n\}}$, n — парадак матрыцы, а ${\displaystyle \delta _{jk}}$ — сімвал Кронекера.

Іншымі словамі, скалярны здабытак радка на сам сябе роўна 1, а на любы іншы радок — 0. Гэтак жа і для слупкоў.

• Вызначнік артаганальнай матрыцы роўны ${\displaystyle \pm 1}$, што вынікае з уласцівасцей вызначальнікаў:

  ${\displaystyle \!1=\det(I)=\det(A^{T}A)=\det(A^{T})\det(A)=\det(A)\det(A)=\det(A)^{2}=1.}$

• Мноства артаганальных матрыц парадку ${\displaystyle n}$ над полем ${\displaystyle k}$ ўтварае групу па множанню, так званую артаганальную групу, якая пазначаецца ${\displaystyle O_{n}(k)}$ або ${\displaystyle O(n,\;k)}$ (калі ${\displaystyle k}$ апускаецца, то мяркуецца ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$).
• Артаганальнай матрыцы адпавядаюць лінейным аператарам, якая пераводзiць ортанарміраванны базіс лінейнай прасторы ў ортанарміраваны.
• Любая рэчаісная артаганальная матрыца падобная блокава-дыяганальнай матрыцы з блокамі выгляду

${\displaystyle (\pm 1)}$ и ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}.}$

Прыклады

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}$ — адзінкавая матрыца

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0.96&-0.28\\0.28&\;\;\,0.96\\\end{pmatrix}}}$ — прыклад матрыцы павароту

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}}$ — прыклад перастановачнай матрыцы

Гл. таксама

• Унітарная матрыца

Крыніцы

1. Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Линейная алгебра. 4-е изд. М: Наука, 1999. Стр. 158. ISBN 5-02-015235-8.