Дзеянне (фізічная велічыня)

Дзе́янне ў фізіцы — скалярная фізічная велічыня, якая з'яўляецца мерай руху фізічнай сістэмы. Дзеянне з'яўляецца матэматычным функцыяналам, які бярэ ў якасці аргумента траекторыю руху фізічнай сістэмы і вяртае ў якасці выніку рэчаісны лік.

Дзеянне
${\displaystyle S=\int L(q,{\dot {q}},t)~\mathrm {d} t}$
Размернасць	L2MT−1

Прынцып найменшага дзеяння ў класічнай механіцы пастулюе, што фізічная сістэма заўсёды трымаецца траекторыі з найменшым дзеяннем.

У квантавай механіцы, у фармулёўцы інтэгралаў па траекторыях, фізічная сістэма адначасова рухаецца па ўсіх магчымых траекторыях, прычым амплітуда імавернасці прытрымлівання пэўнай траекторыі вызначаецца дзеяннем гэтай траекторыі. Калі характэрнае дзеянне нашмат больш пастаяннай Планка, то амплітуда класічнай траекторыі з найменшым дзеяннем з'яўляецца пераважнай — такім чынам квантавая механіка пераходзіць у класічную.

Дзеянне — адна з найбольш фундаментальных фізічных велічынь, якая ўваходзіць ў сучасную фармулёўку большасці асноўных фізічных тэорый ва ўсіх фундаментальных раздзелах фізікі і мае пры гэтым велізарнае тэхнічнае значэнне ў тэарэтычнай фізіцы. Некалькі меншае значэнне можа мець у параўнальна больш прыкладных галінах, хоць і там нярэдка ўжываецца. Прымяняецца ў квантавай, класічнай і рэлятывісцкай фізіцы.

Мае фізічную размернасць энергія · час = імпульс · адлегласць, супадае з размернасцю моманту імпульсу. Па фізічным сэнсе дзеянне — фаза квантавай «хвалі імавернасці», дакладней — з-за іншай размернасці ў традыцыйных сістэмах фізічных адзінак (у тым ліку СІ) — прапарцыянальная гэтай фазе: ${\displaystyle S=\hbar \phi }$ — з пастаянным размерным каэфіцыентам — пастаяннай Планка.

Калі для нейкай сістэмы напісана дзеянне, то гэта ў прынцыпе вызначае і яе класічныя паводзіны (гэта значыць паводзіны сістэмы ў класічным прыбліжэнні), і яе квантавыя паводзіны. Першае — праз прынцып стацыянарнага (найменшага) дзеяння, другое — праз фейнманаўскі інтэграл па траекторыях. Пры гэтым само дзеянне запісваецца аднолькава, у адной і той жа форме, і для класічнага, і для квантавага выпадку, што робіць яго вельмі зручным інструментам (для квантавання праз фейнманаўскі інтэграл ў прынцыпе трэба ведаць толькі дзеянне, якое вызначанае для звычайных класічных траекторый, гэта значыць, запісанае гэтак жа, як і для класічнага прымянення).

Тэрміналогія

Гістарычна тэрміналогія даволі моцна вагалася, але ў цяперашні час прынята называць дзеяннем велічыню

${\displaystyle S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,{\dot {q}},t)dt}$

або

${\displaystyle S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-H(q,p,t){\bigg )}dt,}$

дзе

${\displaystyle t}$ — час,

${\displaystyle q=\{q_{1},q_{2},\dots ,q_{N}\}}$ — поўны набор каардынат, якія характарызуюць дынамічную сістэму (яе канфігурацыйную прастору^[ru]),

${\displaystyle {\dot {q}}=\{{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\dots ,{\dot {q}}_{N}\}}$ — набор скарасцей (вытворных q па часе),

L — функцыя Лагранжа, якая залежыць ад N каардынат, N скарасцей, і часам яшчэ яўна ад часу, у класічнай механіцы супадае з рознасцю кінетычнай і патэнцыяльнай энергій;

H — функцыя Гамільтана, якая прадстаўляе сабой поўную энергію сістэмы, выражаную праз N каардынат, N спалучаных ім імпульсаў і часам яшчэ яўна праз час.

(Абодва азначэнні тоесныя, але па-рознаму выражаныя — першае ў адпаведнасці з лагранжавым фармалізмам, другое ў адпаведнасці з гамільтанавым).

Укарочаным дзеяннем прынята называць

${\displaystyle S_{0}=\int \limits _{A}^{B}\sum _{i}p_{i}dq_{i}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {p}}\cdot {\vec {v}}dt,}$

дзе абазначэнні супадаюць з выкарыстанымі вышэй, а выраз у апошнім інтэграле - скалярны здабытак вектараў імпульсу і скорасці, які ў выпадку адной часціцы можна разглядаць у звычайным ньютанаўскім сэнсе.

Наогул, у гэтым пункце пад ${\displaystyle q_{i},{\dot {q}}_{i}}$ і ${\displaystyle p_{i}}$ маюцца на ўвазе абагульненыя каардынаты (якія не абавязкова супадаюць з дэкартавымі), абагульненыя скорасці, якія адпавядаюць гэтым каардынатам і кананічна спалучаныя гэтым каардынатам імпульсы. У прыватным выпадку яны могуць быць выбраны ў выглядзе дэкартавых каардынат, тады (у механіцы) адпаведныя імпульсы ўяўляюць сабой звычайныя кампаненты вектарных імпульсаў матэрыяльных пунктаў сістэмы.

Для размеркаваных сістэм (напрыклад, для палёў або пругкіх суцэльных асяроддзяў) дзеянне звычайна можа быць запісана так:

${\displaystyle S=\int {\mathcal {L}}(q,{\dot {q}},x,t)dVdt}$

або

${\displaystyle S=\int {\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {H}}(q,p,x,t){\bigg )}dVdt,}$

дзе

${\displaystyle {\mathcal {L}},{\mathcal {H}}}$ — шчыльнасці функцый Лагранжа і Гамільтана адпаведна,

x — кропка прасторы, занятай асяроддзем або полем (часта — звычайнай трохмернай прасторы),

${\displaystyle dV}$ — элемент аб'ёму гэтай прасторы,

${\displaystyle q_{i},p_{i}}$ — значэнні абагульненых каардынат (напрыклад, зрушэнняў пругкага асяроддзя або — для поля — палявой зменнай, такой як, напрыклад, электрамагнітны патэнцыял) і абагульненых імпульсаў для дадзенай кропкі x размеркаванай сістэмы (асяроддзя або поля).

Інтэграванне праводзіцца і па прасторы, і па часе. Агульная колькасць каардынат і імпульсаў ${\displaystyle q_{i},p_{i}}$, якія апісваюць сістэму, як бачым, у гэтым выпадку бесканечная, бо іх колькасць канечная толькі для аднаго x, а мноства саміх x бесканечнае.

Агульны агляд

З сучаснага пункту гледжання дзеянне мае сэнс фазы хвалевай функцыі (праўда, выражанай традыцыйна — для больш прамой сувязі з класічнай механікай — у іншых адзінках, а канкрэтна ${\displaystyle S=\hbar \phi }$, дзе ${\displaystyle S}$ — дзеянне, ${\displaystyle \phi }$ — фаза ў радыянах, а ${\displaystyle \hbar }$ — універсальная пастаянная Планка).

Класічная фізіка (механіка і тэорыя поля) з'яўляецца высокачастотным і караткахвалевым прыбліжэннем квантавай, калі фазы хваль вельмі вялікія (${\displaystyle S/\hbar \gg 1}$), што азначае, што пры дадзеных («класічных») умовах эксперыменту (характэрныя памеры, характэрныя імпульсы і характэрныя энергіі разгляданай задачы) квантавыя папраўкі да класічнай тэорыі будуць досыць малыя (на практыцы часцей за ўсё настолькі малыя, што эксперыментальна нельга іх выявіць). У гэтым выпадку квантавая задача ў цэлым моцна спрашчаецца, пераходзячы ў класічную, і можна карыстацца прынцыпам найменшага дзеяння і / або ўраўненнем Гамільтана — Якобі, у якіх дзеянне працягвае іграць ключавую ролю.

У квантавай жа фізіцы — пры рашэнні той жа задачы без ўмовы ${\displaystyle S/\hbar \gg 1}$, дзеянне адыгрывае асабліва вялікую ролю ў фармалізме фейнманаўскага інтэграла па траекторыях. Акрамя таго, частка вынікаў тэорыі класічнага поля дастаткова прама пераносіцца ў пэўным сэнсе на квантавы выпадак, а паколькі дзеянне з'яўляецца адным з самых простых аб'ектаў, маніпуляванне з ім (а перш за ўсё само напісанне дзеяння для дадзенай дынамічнай сістэмы — поля, часціцы, палёў або часціц, якія ўзаемадзейнічаюць, або іншых аб'ектаў) часта з'яўляецца адным з вельмі эфектыўных інструментаў пры фармулёўцы квантавай тэорыі розных палёў, нават калі гэта не звязана з напісаннем інтэграла па траекторыях і работы з ім у яўным выглядзе.

Дзеянне ў класічнай механіцы

Дзеянне ў класічнай механіцы запісваецца ў двух формах, у канчатковым выніку эквівалентных:

• лагранжавай:

${\displaystyle S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,{\dot {q}},t)dt}$

• або гамільтанавай:

${\displaystyle S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-H(q,p,t){\bigg )}dt.}$

(Пра ўкарочанае дзеянне — гл. ў параграфе «Тэрміналогія» вышэй).

Нягледзячы на ​​эквівалентнасць у канчатковым выніку, кожная форма запісу дзеяння, і лагранжава, і гамільтанава, валодае сваімі ўласнымі тэхнічнымі і ідэйнымі перавагамі. Кожная з іх можа лічыцца асновай для пабудовы (на аснове прынцыпу найменшага (або стацыянарнага) дзеяння) адпаведна лагранжавай і гамільтанавай форм механікі. А менавіта, ажыццяўляючы прамое вар'іраванне першага дзеяння па кожнаму ${\displaystyle \delta q_{i}}$ незалежна ад іншых — або — што эквівалентна — напісаўшы для гэтага функцыянала ўраўненні Эйлера — Лагранжа, для другой жа формы — вар'іруючы незалежна па кожным ${\displaystyle \delta q_{i}}$ і ${\displaystyle \delta p_{i}}$ (запісаўшы ўраўненні Гамільтана), няцяжка атрымаць ураўненні руху адпаведна ў лагранжавай і гамільтанавай форме. У прыватным выпадку выкарыстання дэкартавых каардынат гэта будуць ньютанаўскія ўраўненні руху.

Выводзячы ўраўненні руху з прыдатным выбарам каардынат (наогул кажучы, не дэкартавых) і з выкарыстаннем метаду нявызначаных множнікаў Лагранжа, няцяжка атрымаць у зручным выглядзе і ўраўненні руху для сістэм з сувязямі, часам выключаючы з іх рэакцыі сувязей (што можа прыкметна спрашчаць ураўненні).

Варта заўважыць, што пры ўсёй фундаментальнай значнасці канцэпцыя дзеяння не пакрывае некаторых выпадкаў макраскапічнай механікі, напрыклад, не дазваляе напісаць дзеянне ў выпадку наяўнасці адвольных дысіпатыўных сіл, і адпаведна не дазваляе скарыстацца для іх апісання прынцыпам найменшага дзеянні.

Класічнае дзеянне — з сучаснага погляду — гэта велічыня, прапарцыянальная фазе квантавай хвалевай функцыі адпаведнай часціцы або сістэмы (па сутнасці гэта і ёсць фаза, толькі вымераная ў іншых адзінках; аднак каэфіцыент прапарцыянальнасці ўнутры класічнай механікі невядомы — гэта істотна квантавая велічыня, з пункту гледжання класічнай механікі важна толькі, што ён вельмі малы). Сама ж класічная механіка ёсць караткахвалевая граніца квантавай, і можа быць атрымана з яе пераходам ${\displaystyle \hbar /S\to 0}$.

Дзеянне для размеркаваных сістэм

Для механічных размеркаваных сістэм (напрыклад, для пругкіх суцэльных асяроддзяў) дзеянне звычайна можа быць запісана так:

${\displaystyle S=\int {\mathcal {L}}(q,{\dot {q}},x,t)dVdt}$

або

${\displaystyle S=\int {\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {H}}(q,p,x,t){\bigg )}dVdt,}$

дзе

${\displaystyle dV}$ — элемент аб'ёму, трохмерны ў выпадку апісання палёў у трохмернай прасторы,

${\displaystyle {\mathcal {L}},{\mathcal {H}}}$ — шчыльнасці функцыі Лагранжа і функцыі Гамільтана,

${\displaystyle q,{\dot {q}}}$ і ${\displaystyle p}$ — палявыя зменныя (напрыклад, патэнцыялы), якія адпавядаюць скорасці ${\displaystyle {\dot {q}}=\partial q/\partial t}$ і кананічна спалучаныя імпульсы. Кожная такая палявая зменная, скорасць і імпульс ёсць функцыя ${\displaystyle q=q(x,y,z,t),{\dot {q}}={\dot {q}}(x,y,z,t),p=p(x,y,z,t)}$ «прасторавых» зменных і часу, прадстаўляючы сабой, такім чынам, бесканечнамерны (з улікам фізічнага прадстаўлення аб магчымай атамнай дыскрэтызацыі размеркаванай сістэмы — проста вельмі шматмерны) вектар. Вылучэнне асобнай каардынаты ${\displaystyle q_{i}\in \mathbb {R} }$ зводзіцца да раскладання ${\displaystyle q}$ па нейкім базісе (гэта можа быць, напрыклад, базіс з дэльта-функцый, які зводзіць усё ў сутнасці да граніцы дыскрэтнай задачы, але, мабыць, яшчэ часцей прымяняецца з-за сваёй зручнасці пераўтварэнне Фур'е).

Для немеханічных размеркаваных сістэм падобны запіс магчымы на аснове аналогіі з механічнымі. У прыватнасці, падобны спосаб працуе для фундаментальных палёў, якія фармальна таксама падыходзяць пад азначэнне размеркаваных сістэм (хоць можна лічыць і гэта толькі аналогіяй, пытанне таго ці іншага выбару тут — у сутнасці тэрміналагічнае). Падрабязна фундаментальныя фізічныя палі разгледжаны ў асобным параграфе, хоць звычайныя размеркаваныя сістэмы, механічныя у асаблівасці, даюць увогуле досыць добрыя мадэлі, якія спрыяюць разуменню пабудовы дынамікі гэтых палёў і, у прыватнасці, пытанняў, звязаных з дзеяннем.

Прыклады

• Для аднароднай ізатропнай суцэльнай лінейнай (падпарадкавальнай закону Гука; у рэальнасці гэта амаль заўсёды прадугледжвае абмежаванне прымянімасці мадэлі выпадкамі малых дэфармацый) пругкага асяроддзя, якое запаўняе трохмерную прастору або яе вобласць, можна ў найпрасцейшым выпадку запісаць дзеянне як

${\displaystyle S=\int \left({\rho \over 2}\left({\dot {u}}\right)^{2}-{E \over 2}\left(\nabla u\right)^{2}\right)dxdydzdt,}$

дзе

${\displaystyle \rho =\mathrm {const} }$ — шчыльнасць асяроддзя,

${\displaystyle E=\mathrm {const} }$ — модуль пругкасці,

${\displaystyle u=u(x,y,z,t)}$ — адхіленне пругкага асяроддзя ў гэтай кропцы ў дадзены момант часу ад умоўнага становішча раўнавагі — гэта размеркаваная абагульненая каардыната (у дадзенай задачы гэта трохмерны вектар, але менавіта пры сфармуляваных умовах можна разглядаць кожную з яго кампанент асобна),

${\displaystyle {\dot {u}}}$ — скорасць змянення u з часам — размеркаваная скорасць, таксама функцыя ад x, y, z, t;

${\displaystyle \nabla }$ — аператар градыента скалярнай функцыі u, тут ${\displaystyle (\nabla u)^{2}}$ — квадрат модуля градыента, роўны суме квадратаў вытворных u па кожнай каардынаце.

Вар'іраванне гэтага функцыянала па u дае ўраўненне руху ў выглядзе звычайнага хвалевага ўраўнення незалежна для кожнай кампаненты u, гэта значыць для ${\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}}$.

Выпісанае дзеянне лёгка можа быць выкарыстана і для неаднароднага асяроддзя, гэта значыць для непастаянных ${\displaystyle \rho }$ і ${\displaystyle E}$, таксама яно прама абагульняецца на анізатропнае асяроддзе з тэнзарным ${\displaystyle E}$. Ва ўсіх гэтых выпадках ураўненне руху асяроддзя будзе ўжо прыкметна адрознівацца ад звычайнага хвалевага, але можа быць практычна гэтак жа лёгка атрымана вар'іраваннем гэтага дзеяння.

Дзеянне ў класічнай тэорыі поля

Дзеянне ў класічнай тэорыі поля выкарыстоўваецца для атрымання ўраўненняў поля (як свабодных, так і з крыніцамі) з прынцыпу стацыянарнага (найменшага) дзеяння (вар'іраваннем па палявых пераменных). Таксама яно выкарыстоўваецца для атрымання ўраўненняў руху часціц пры ўзаемадзеянні з дадзеным полем, таксама праз прынцып стацыянарнага (найменшага) дзеяння, але вар'іраваннем ўжо па каардынатах (а ў гамільтанавым варыянце — і па імпульсах) часціц.

Сам выгляд дзеяння для поля (які ўжываецца як у класічным, так і ў квантавым сэнсе) у цэлым вельмі падобны на выгляд дзеяння для размеркаваных сістэм (у прыватнасці, для механічных размеркаваных сістэм, такіх, як струна, мембрана і т. п.). Гэта дазваляе ўстанавіць часам прамую, часам ўмоўную, аналогію паміж тым і другім выпадкам, хоць у дэталях тое і другое можа прыкметна адрознівацца (так што прамая механічная аналогія магчымая не заўсёды, а часам яе проста аказваецца не вельмі лёгка пабудаваць і выкарыстоўваць).

Часцей за ўсё (у выпадку лінейных палёў або вывучэння іх у лінейным прыбліжэнні) дзеянне мае досыць просты выгляд і распадаецца на тры члены:

${\displaystyle S=S_{f}+S_{int}+S_{s},}$

дзе ${\displaystyle S_{f}}$ — «дзеянне свабоднага поля» — якое істотнае для вывучэння паводзін поля без яго ўзаемадзеяння з «рэчывам» (іншымі палямі), ${\displaystyle S_{int}}$ — член узаемадзеяння, з якога выводзіцца дзеянне «рэчыва» (іншых палёў) на дадзенае поле, ${\displaystyle S_{s}}$ — дзеянне для свабоднага «рэчыва» (іншых палёў), якое вызначае іх паводзіны ў адсутнасць дадзенага поля, у прыватнасці, такія ўласцівасці «рэчыва», як яго інертнасць. Форма другога члена вызначае ва ўраўненнях поля члены, якія прадстаўляюць яго крыніцу, і вызначае дзеянне дадзенага поля на «рэчыва» (іншыя палі), напрыклад, ураўненні руху зараджанай часціцы ў дадзеным полі (канкрэтней, сілы, якія дзейнічаюць на яе) выводзяцца з ${\displaystyle S_{int}}$ і ${\displaystyle S_{s}}$.

Аднак для істотна нелінейных палёў такое разбіццё на тры асобныя складнікі, наогул кажучы, не ўдаецца (і нават пры вычляненні лінейнага прыбліжэння часта застаюцца пэўнага роду праблемы, хоць само па сабе яно часта бывае асэнсавана і магчыма). Напрыклад, у агульнай тэорыі адноснасці (і іншых метрычных тэорыях гравітацыі) гравітацыйнае поле трапляе ў член, які тычыцца «рэчыва» (і негравітацыйных палёў) у выглядзе метрыкі, якая ўваходзіць у элемент аб'ёму і ў каварыянтныя вытворныя. Гэты факт забяспечвае ўзаемадзеянне гравітацыі з «рэчывам», не патрабуючы асобнага члена ${\displaystyle S_{int}}$ (выпадак так званай мінімальнай сувязі), і ён жа робіць ураўненне гравітацыйнага поля істотна нелінейным. Іншы прыклад (які, праўда, адносіцца да квантавай тэорыі поля, але мае аналогіі і ў класічнай): квантавая электрадынаміка — яе лінейнае прыбліжэнне пры разліку па тэорыі ўзбурэнняў у петлявых дыяграмах прыводзіць да бессэнсоўных бесканечных вынікаў, звязаных з сапраўднай немагчымасцю вылучыць голыя (затравачныя, неўзаемадзеючыя) палі зараджанай часціцы і электрамагнітнага поля. Шляхам вырашэння гэтай праблемы стала праграма перанарміровак, якая аднаўляе лагранжыян сапраўдных (тых, якія ўзаемадзейнічаюць) палёў.

Скалярнае поле

Сярод фундаментальных фізічных палёў скалярныя палі хоць і прысутнічаюць у тэорыі, але пакуль само іх існаванне носіць у значнай меры гіпатэтычны характар, а ўласцівасці, адпаведна, дастаткова дрэнна вядомыя. Аднак гэта самы просты выпадак, да таго ж, акрамя фундаментальных палёў прадстаўляюць цікавасць такія макраскапічныя поля, як, напрыклад, поле ціску газу ў акустыцы, якое ў выпадку малых (і гладкіх) адхіленняў ад раўнавагі можа быць у пэўным сэнсе, прама прыпадобнена абстрактнаму скалярнаму полю.

Найпрасцейшым выглядам дзеяння для скалярнага поля ${\displaystyle \phi }$, якое прыводзіць да лінейнага ўраўнення поля, з'яўляецца выгляд:

${\displaystyle S=S_{f}+S_{int}+S_{s}=\int {\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {1}{c^{2}}}(\partial _{t}\phi )^{2}-(\nabla \phi )^{2}-m^{2}\phi ^{2}\right)dVdt+S_{int}+S_{s},}$

(Запісана ў форме, якая адпавядае полю ў трохмернай прасторы; тут ${\displaystyle \alpha }$ — «сілавая канстанта», ${\displaystyle c}$ — скорасць распаўсюджвання хваль поля ${\displaystyle \phi }$, якая для фундаментальных палёў звычайна — каб не парушаўся прынцып адноснасці — павінна быць роўнай скорасці святла, ${\displaystyle \nabla }$ — трохмерны градыент, m — маса поля ${\displaystyle \phi }$ (${\displaystyle m=0}$ для бязмасавых палёў), ${\displaystyle dV}$ — элемент трохмернага аб'ёму). Як бачым, ${\displaystyle S_{f}}$ лорэнц-інварыянтна, і яго вельмі лёгка перапісаць у чатырохмерных абазначэннях, у якіх гэта яшчэ больш відавочна.

Будучы правар'іравана па ${\displaystyle \phi }$ (для свабоднага поля, гэта значыць для ${\displaystyle S_{int}=S_{s}=0}$), гэта дзеянне дае ураўненне Клейна — Гордана, а пры m = 0 — хвалевае ураўненне. Выпадак ${\displaystyle m^{2}<0}$ дае варыянт ураўнення Клейна — Гордана для тахіённага скалярнага поля, якое таксама можа мець прымяненне ў тэорыі (гэта поле з няўстойлівай раўнавагай пры ${\displaystyle \phi =0}$ у бесканечнай прасторы або без накладання межавых умоў, якія прыводзяць да ўстойлівасці).

• Член узаемадзеяння ${\displaystyle S_{int}}$ не будзем тут канкрэтызаваць, бо мы не разглядаем тут нейкае канкрэтнае скалярнае поле і яго ўзаемадзеянне з нечым канкрэтным яшчэ. Аднак заўважым, што калі мы не хочам парушэння прынцыпу адноснасці, гэты член павінен быць таксама Лорэнц-інварыянтным (як і ${\displaystyle S_{f},S_{s}}$). Напрыклад, для ўзаемадзеяння з іншым скалярных полем ${\displaystyle u}$ гэты член можа быць ${\displaystyle \mathrm {const} \cdot \int \phi u\,dVdt}$ або ${\displaystyle \mathrm {const} '\cdot \int (\partial _{i}\phi )(\partial ^{i}u)\,d^{4}x}$ або іх сумай і т. п.).

Электрамагнітнае поле

Стандартнае дзеянне для электрамагнітнага поля запісваецца так

${\displaystyle S=S_{f}+S_{int}+S_{s},}$

дзе

${\displaystyle S_{f}=-{\frac {1}{2\alpha }}\int F_{ij}F^{ij}dx\,dy\,dz\,dt={\frac {1}{\alpha }}\int (E^{2}-H^{2})\,dx\,dy\,dz\,dt}$

— дзеянне для свабоднага поля (${\displaystyle F_{ij}}$ тут — тэнзар электрамагнітнага поля^[ru], ${\displaystyle \alpha }$ — канстанта, якая залежыць ад выкарыстанай сістэмы адзінак, маецца на ўвазе падсумоўванне па ${\displaystyle i,j}$ па правілу Эйнштэйна^[ru]),

член узаемадзеяння можа быць запісаны па-рознаму:

${\displaystyle S_{int}=-\int A_{i}j^{i}\,dx\,dy\,dz\,dt}$

ці

${\displaystyle S_{int}=-\int qA_{i}u^{i}d\tau =-{\frac {1}{c}}\int qA_{i}dx^{i}=\int \left(-q\phi +q{\vec {A}}\cdot {\vec {v}}/c\right)dt,}$

(Першая форма зручная для вываду ўраўнення (ураўненняў) поля (з крыніцамі), а другая — для вываду ўраўнення руху зараджанай часціцы; тут ${\displaystyle A_{i}}$ — электрамагнітны патэнцыял^[ru], ${\displaystyle q}$ — зарад часціцы, ${\displaystyle u^{i}}$ — 4-скорасць, ${\displaystyle d\tau }$ — дыферэнцыял уласнага часу (інтэрвалу, дзеленага на ${\displaystyle c}$), ${\displaystyle \phi }$ і ${\displaystyle {\vec {A}}}$ — электрычны і трохмерны вектарны патэнцыял^[ru], ${\displaystyle {\vec {v}}}$ — трохмерная скорасць, ${\displaystyle c}$ — скорасць святла, а ${\displaystyle dx^{i}=(dx^{0},dx^{1},dx^{2},dx^{3})=(cdt,dx,dy,dz)}$ — чатырохмерныя прасторава-часавыя каардынаты; для некалькіх часціц трэба ўзяць некалькі членаў такога выгляду — па адным для кожнай),

${\displaystyle S_{s}}$ — дзеянне для «рэчыва» (свабодных часціц), якое разам з ${\displaystyle S_{int}}$ выкарыстоўваецца для вываду ўраўненняў руху зараджаных часціц. Для хуткіх («рэлятывісцкіх») часціц (гл. ніжэй) трэба ўзяць (без уліку спіна) дзеянне

${\displaystyle S_{s}=-\int mc^{2}d\tau =-\int mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}dt,}$

дзе ${\displaystyle m}$ — маса (маса спакою) часціцы, ${\displaystyle c}$ — скорасць святла, ${\displaystyle d\tau }$ — дыферэнцыял ўласнага часу (для некалькіх часціц трэба ўзяць суму некалькіх членаў такога выгляду).

Калі ж рух часціц павольны, у параўнанні са скорасцю святла, і дастаткова ньютанаўскага прыбліжэння, то можна ўзяць адпаведнае прыбліжанае дзеянне, звычайнае для класічнай механікі:

${\displaystyle S_{s}=\int {\frac {mv^{2}}{2}}dt.}$

Прасцей за ўсё атрымаць ураўненні Максвела ў форме

${\displaystyle \partial _{i}F^{ik}=\alpha j^{k},}$

вар'іруючы запісанае вышэй дзеянне па ${\displaystyle A_{i}}$ і выкарыстоўваючы азначэнне ${\displaystyle F_{ij}=\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i}}$.

Вар'іруючы па ${\displaystyle x^{i}}$, атрымліваюць ураўненні руху, якія прасцей за ўсё выглядаюць у чатырохмернай форме:

${\displaystyle dp^{i}/d\tau =mdu^{i}/d\tau =qF_{j}^{i}u^{j},}$

дзе правая частка супадае са звычайнай сілай Лорэнца, якая можа быць таксама запісана (а пры жаданні і атрымана яўна) і ў трохмерным выглядзе; гэта значыць, у трохмерным выглядзе ўраўненне руху будзе такім:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=q\mathbf {E} +q\ \mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$

Рэлятывісцкае дзеянне

Дзеянне для электрамагнітнага поля (і яго член для свабоднага поля, і член, які апісвае узаемадзеянне з токамі) з самага пачатку лорэнц-інварыянтны. Тое ж можна сказаць аб дзеянні для ўсіх фундаментальных палёў, вядомых у сучасных тэорыях (кажучы некалькі дакладней — у агульнапрызнаных тэорыях, якія прайшлі эксперыментальную праверку).

Аднак дзеянне класічнай (ньютанаўскай) механікі, не важна, у якой форме яно запісана, гамільтанавай або лагранжавай, не валодае ўласцівасцю лорэнц-інварыянтнасці. Гістарычна ў пэўны момант (на мяжы XIX і XX стагоддзяў) паўстала неабходнасць прывесці механіку ў адпаведнасць з прынцыпам адноснасці, а значыць, зрабіць яе лорэнц-каварыянтнай. Самы просты шлях для гэтага — напісаць для часціцы («матэрыяльнага пункта») такое дзеянне, якое б было лорэнц-інварыянтным, а затым звычайнай працэдурай вар'іравання атрымаць з яго ўраўненне руху, якое будзе ўжо лорэнц-каварыянтным (прыбліжана, пры павольных рухах, такая механіка павінна супадаць з ньютанаўскай, бо тая добра праверана для малых скарасцей).

Найпрасцейшае дзеянне для свабоднай часціцы, якое можна прапанаваць, зыходзячы з геаметрыі Мінкоўскага, — гэта велічыня, з дакладнасцю да пастаяннага множніка супадае з даўжынёй сусветнай лініі дадзенай часціцы (а меркаванні размернасці вызначаць каэфіцыент):

${\displaystyle S=-\int mc^{2}d\tau =-\int mc\,ds=-mc^{2}\int u^{i}u_{i}\,d\tau =-mc^{2}\int {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\,dt,}$

дзе ${\displaystyle m}$ — маса (маса спакою), ${\displaystyle \tau }$ — уласны час, як вымяраецца ўздоўж сусветнай лініі часціцы, ${\displaystyle ds}$ — элемент інтэрвалу ўздоўж яе, ${\displaystyle u^{i}}$ — 4-скорасць, ${\displaystyle v}$ — трохмерная скорасць, ${\displaystyle t}$ — час («каардынатны час», час лабараторнай сістэмы адліку).

Расклаўшы ${\displaystyle {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ па парадках маласці велічыні ${\displaystyle v^{2}/c^{2}}$ (у выпадку, калі яна досыць малая, намнога меншая за адзінку), лёгка атрымліваем нерэлятывісцкае дзеянне класічнай механікі:

${\displaystyle S=-mc^{2}\int {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\,dt\approx \int \left(-mc^{2}+{\frac {mv^{2}}{2}}\right)dt=\mathrm {const} \cdot (t_{2}-t_{1})+\int {\frac {mv^{2}}{2}}dt=\mathrm {const} \cdot (t_{2}-t_{1})+S_{newtonian},}$

дзе першы член можна адкінуць, бо ён не дае ніякага ўкладу ва ўраўненні руху (за выключэннем укладу ва ўраўненні гравітацыйнага поля, у якіх яго ўплыў не знікае нават у гэтым прыбліжэнні; тут жа ідзе гаворка пра ўраўненні руху самой часціцы, для якой напісана дзеянне, а гравітацыя ў эйнштэйнаўскім сэнсе не разглядаецца). Пры жаданні можна ў зробленым раскладанні захаваць і члены наступных парадкаў па ${\displaystyle v^{2}/c^{2}}$, якія даюць рэлятывісцкія папраўкі для выпадку малых скарасцей (замест таго, каб выкарыстоўваць дакладнае рэлятывісцкае дзеянне і дакладныя ўраўненні руху, калі такое чамусьці мэтазгодна).

Дзеянне ў тэорыі гравітацыі

Для ньютанаўскай тэорыі прыцягнення дзеянне можна б было запісаць як ${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int (\nabla \phi )^{2}dx\,dy\,dz\,dt+S_{m}}$, дзе ${\displaystyle S_{m}}$ — дзеянне «матэрыі», як прынята казаць у тэорыях гравітацыі — гэта значыць усяго, акрамя гравітацыі, а ${\displaystyle \nabla \phi }$ — трохмерны градыент гравітацыйнага патэнцыялу^[ru] (што азначае бесканечную скорасць распаўсюджвання гравітацыйнага ўзаемадзеяння). Гэтая велічыня відавочна не лорэнц-інварыянтная, таму, як і ўся класічная механіка, можа распаўсюджвацца — прыбліжана — на выпадак павольнага (у параўнанні са скорасцю святла) руху і не вельмі моцных гравітацыйных палёў (хоць бы таму, што моцныя палі, наогул кажучы, будуць разганяць целы да вялікіх скарасцей). Ёсць шмат тэорый, якія тым ці іншым чынам уносілі папраўкі ў гэтае дзеянне з мэтай зрабіць яго лорэнц-інварыянтным (гл. альтэрнатыўныя тэорыі гравітацыі^[ru]), аднак большасць з іх маюць цяпер толькі гістарычнае значэнне або наадварот пакуль не даказалі навуковай супольнасці сваіх пераваг. Таксама некаторыя перспектыўныя для апісання гравітацыі (хоць і таксама даволі далёкія ад канчатковага пацвярджэння) тэорыі, такія, як, напрыклад, тэорыя струн і яе абагульненні, да таго ж досыць складаныя і ахопліваюць не толькі гравітацыю, таму заслугоўваюць асобнага разгляду.

Таму тут абмяжуемся тым, што прывядзём дзеянне, якое адпавядае асноўнай (няквантавай) тэорыі гравітацыі сучаснай фізікі — агульнай тэорыі адноснасці. Гэта дзеянне Эйнштэйна — Гільберта^[en]:

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x+S_{m},}$

дзе ${\displaystyle G}$ — гравітацыйная пастаянная Ньютана, ${\displaystyle R=R_{\mu }^{\mu }}$ — скалярная крывізна^[en] (скаляр Рычы) прасторы-часу, ${\displaystyle g=|g_{\mu \nu }|\,}$ — вызначальнік матрыцы кампанентаў метрычнага тэнзара^[ru], а ${\displaystyle S_{m}}$ — дзеянне для негравітацыйных палёў (масіўных часціц, электрамагнітнага поля і так далей).

Вар'іраваннем гэтага дзеяння па метрыцы ${\displaystyle g_{ij}}$ прасторы-часу (якая іграе ролю гравітацыйнага патэнцыялу, г. зн. палявых зменных у гэтай тэорыі) атрымліваюцца ўраўненні Эйнштэйна (часам званыя таксама ўраўненнямі Эйнштэйна — Гільберта) у выглядзе:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }.}$

(Менавіта такім чынам іх атрымаў упершыню ў 1915 Гільберт, Эйнштэйн ішоў іншым шляхам).

Член ураўнення, які апісвае крыніцу гравітацыйнага поля (правая частка) атрымліваецца пры гэтым таму, што метрыка ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$, па якой ажыццяўляецца вар'іраванне, уваходзіць і ў ${\displaystyle S_{m}=\int {\mathcal {L}}{\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$ як мінімум праз множнік ${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$, які ўваходзіць у выраз элемента (чатырохмернага) аб'ёму (тут ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ — шчыльнасць функцыі Лагранжа для «рэчыва» — гэта значыць усіх негравітацыйных палёў, а ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ — іх тэнзар энергіі-імпульсу^[ru]).

Дзеянне для гравітацыйнага поля АТА можа быць перапісана і ў іншым выглядзе, эквівалентным дадзеным за выключэннем межавых умоў (а калі межавыя чамусьці абнуляюцца, то ў цалкам эквівалентным), і які змяшчае пад інтэгралам замест тэнзара крывізны канструкцыю з ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$, якую можна інтэрпрэтаваць як квадрат напружанасці гравітацыйнага поля — гэта значыць у форме, аналагічнай таму, як звычайна запісваецца дзеянне для больш простых — скалярных і вектарных — палёў, напрыклад, электрамагнітнага.

Дапаўняючы ж напісанае вышэй дзеянне членам ${\displaystyle \int \Lambda {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$, атрымліваем ураўненні Эйнштэйна з ${\displaystyle \Lambda }$-членам:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }.}$

Цалкам здавальняючай квантавай тэорыі гравітацыі, наколькі вядома, у цяперашні час не існуе. Аднак многія з тэорый, якія з большай ці меншай падставай могуць прэтэндаваць на гэтую ролю, даюць звычайна эфектыўнае дзеянне Эйнштэйна — Гільберта для нізкаэнергетычнай граніцы.

Дзеянне і квантавая механіка

Дзеянне для ферміённых палёў

Для ферміённых (у прыватнасці, для спінарных) палёў можна не толькі напісаць дзеянне, але і атрымаць фармальна класічныя ўраўненні для гэтых палёў, вар'іруючы такое дзеянне. Аднак у адрозненне ад базонных, ферміённыя палі назіраць у іх класічным выглядзе складаней, бо прынцып Паўлі забараняе больш чым аднаму ферміёну знаходзіцца ў адным стане, што дазволена для базонаў і дазваляе ім, знаходзячыся ў аднолькавым квантавым стане ў вялікай колькасці, назірацца як звычайнае класічнае поле, напрыклад, электрамагнітнае. Але пры гэтым ёсць тэарэма, якая сцвярджае (па меншай меры ў рамках прымянімасці тэорыі ўзбурэнняў), што вынік другаснага квантавання^[ru] для такіх ферміённых палёў супадае з інтэрпрэтацыяй такіх «класічных» палёў як хвалевых функцый ферміёнаў у сэнсе першаснага квантавання^[ru].

Такім чынам, напрыклад, атрыманае з дапамогай прынцыпу стацыянарнага дзеяння з той ці іншай формы запісу дзеяння для часціцы са спінам ¹⁄₂ ураўненне Дзірака мае прамыя адносіны да квантавага апісання такога ферміёна (напрыклад, электрона).

Ва ўраўнення Дзірака ёсць уласцівасць, якая прадстаўляе пэўную цяжкасць для атрымання яе з дзеяння з квадратычным лагранжыянам (ды і якім-небудзь іншым, калі карыстацца звычайнымі правіламі вар'іравання і лічыць кампаненты спінараў звычайнымі лікамі). Гэта ўласцівасць — першы парадак вытворных ва ўраўненні Дзірака.

Са становішча часам выходзяць, проста уводзячы штучныя фармальныя мадыфікацыі абмежавання на правілы вар'іравання або дзеянні аператараў вытворных.

Больш сістэматычны, відаць, падыход заключаецца ў тым, што ферміённыя палі (спінары і іх кампаненты) лічацца грасманавымі^[en], г. зн. антыкамутуючымі лікамі, што змяняе знак членаў з вытворнымі першага і другога парадку ў параўнанні са звычайным, з-за чаго члены другога парадку пры вар'іраванні знішчаюцца, а першага застаюцца.

Фейнманаўскі інтэграл па траекторыях

Фейнманаўскі інтэграл па траекторыях выкарыстоўваецца і ў дачыненні да квантавага апісання як кропкавых часціц у звычайнай прасторы, так і палёў (як размеркаваных сістэм) у канфігурацыйнай прасторы (і гэтая прымянімасць да абодвух выпадкаў, у прынцыпе, не дзіўная, бо фармальнае адрозненне паміж кропкавай часціцай і мнагамернай, нават бесканечнамернай, дынамічнай сістэмай — толькі ў размернасці канфігурацыйнай прасторы, што ў цэлым добра зразумела ўжо ў рамках класічнай механікі).

Калі дзеянне S[x] (па сутнасці, супадае са звычайным класічным дзеяннем, па меншай меры для сістэм, апісанне якіх не настолькі экзатычнае, каб ускладняць такое словаўжыванне) вядома, гэта значыць яго можна напісаць для звычайнай класічнай траекторыі ${\displaystyle x(\tau )}$ у «звычайнай» або канфігурацыйнай прасторы (${\displaystyle \tau }$ можа быць часам або проста зменнай пры параметрычным заданні ў чатырохмерным запісе), то квантавая хвалевая функцыя такой сістэмы c кропкавай крыніцай у прасторава-часовай кропцы ${\displaystyle x_{1}}$^[1] можа быць запісана ў выглядзе функцыянальнага інтэграла^[ru]

${\displaystyle \Psi (x_{2},x_{1})=\int Dxe^{iS[x]/\hbar },}$

дзе x — траекторыя, якая пачынаецца ў ${\displaystyle x_{1}}$ і заканчваецца ў ${\displaystyle x_{2}}$, інтэграл азначае суму па ўсіх магчымых такіх траекторыях, для кожнай з якіх дзеянне S[x] мае сваё значэнне. Прычым у рэлятывісцкім выпадку сярод траекторый ёсць і траекторыі з участкамі зваротнага руху ў часе, якія могуць быць інтэрпрэтаваныя як траекторыі віртуальнай антычасціцы ў часе наперад, а кропкі павароту — як віртуальнае нараджэнне і знішчэнне пар часціца-антычасціца.

У квантавай тэорыі поля прымяняецца інтэграванне як па траекторыях часціц у звычайнай прасторы (дакладней, у прасторы-часе), якое звычайна называюць у гэтым выпадку першасным квантаваннем, так і па траекторыях у прасторы палявых зменных, што завецца другасным квантаваннем. Абодва спосабы, наколькі вядома, даюць эквівалентныя вынікі ў рамках тэорыі ўзбурэнняў.

Фейнманаўскі інтэграл па траекторыях — адзін з найбольш папулярных у сучасных фізікаў-тэарэтыкаў спосабаў квантавання (пабудовы квантавай тэорыі). Адначасова гэта адзін з найбольш прамых спосабаў супастаўлення квантавай карціны з класічнай, што з'яўляецца адною з сур'ёзных яго псіхалагічных пераваг, бо кожная траекторыя ў ім, у прынцыпе, успрымаецца як класічная, а дзеянне вылічаецца дакладна па класічным рэцэпце, што ў шэрагу выпадкаў і аспектаў робіць тэорыю прыкметна больш агляднай і даступнай для разумення, чым іншыя падыходы. У ліку іншага гэта ўласцівасць зручна для ажыццяўлення гранічнага пераходу да класікі (гл. ніжэй), і пераход да яе зыходзячы з інтэграла па траекторыях з'яўляецца ў гэтым сэнсе адным з найбольш стандартных шляхоў у сучаснай фізіцы. Тое ж адносіцца і да дастатковай зручнасці атрымання такім шляхам квазікласічнага прыбліжэння (таксама гл. ніжэй).

У шэрагу выпадкаў (вельмі абмежаваным — калі дзеянне квадратычна па каардынатах або палявых пераменных і іх вытворных, і інтэграл зводзіцца да мнагамернага гаусава з гранічным пераходам да бесканечнамернага выпадку) фейнманаўскі інтэграл па траекторыях можа быць вылічаны яўна і дакладна. Практыкуецца яго разлік лікавымі метадамі. У многіх выпадках гэты інтэграл карысны ў розных пераўтварэннях і іншых тэарэтычных разліках.

Няцяжка ўстанавіць эквівалентнасць падыходу інтэгравання па траекторыях ураўнення Шродзінгера, па меншай меры пры трывіяльнай тапалагічнай сітуацыі.

Для свабодных (тых, якія не ўзаемадзейнічаюць адно з адным) палёў на пустой плоскай прасторы інтэграванне па траекторыях дазваляе часта атрымаць у яўным выглядзе прапагатар, які аказваецца аднолькавым з прапагатарам, які атрымліваецца з дыферэнцыяльнага ўраўнення для адпаведнага поля (напрыклад, з хвалевага ўраўнення для бязмасавага скалярнага поля). Пры гэтым аказваецца, што для палёў, якія ўзаемадзейнічаюць, інтэграл па траекторыях з'яўляецца, мабыць, найбольш натуральным (і папулярным сярод сучасных тэарэтыкаў) спосабам абгрунтавання тэхнікі дыяграм Фейнмана. Справа ў тым, што інтэграл па траекторыях для сістэмы часціц (палёў), якія ўзаемадзейнічаюць, лёгка разбіваецца на часткі, дзе ўзаемадзеяння няма (а вынік, як мы казалі трохі вышэй, для гэтага выпадку вядомы — гэта прапагатар, які адпавядае паводзінам свабоднага поля, які можа быць даволі лёгка вылічаны любым спосабам), дапоўненыя кропкавым узаемадзеяннем, якое ўжо зводзіцца да звычайнага канечнамернага інтэгравання — у адпаведнасці з правіламі Фейнмана.

Аднак квантаванне з дапамогай інтэграла па траекторыях не абмежавана тэорыяй узбурэнняў (дыяграмамі Фейнмана). Гэты спосаб знаходзіць і больш нетрывіяльныя прымяненні, як у тэарэтычнай фізіцы, так і ў некаторых абласцях чыстай матэматыкі^[2][3][4].

Гл. таксама

• Квант дзеяння
• Прынцып найменшага дзеяння
• Варыяцыйныя прынцыпы механікі

Зноскі

1. Па сутнасці, у такой фармулёўцы гаворка ідзе пра прапагатары (функцыі Грына).
2. Witten E. Quantum field theory and the Jones polynomial. — Commun. Math. Phys., 1989. — В. 3. — Т. 121. — С. 351-399. — DOI:10.1007/BF01217730
3. Alvarez-Gaume L. Supersymmetry and the Atiyah-Singer index theorem. — Commun. Math. Phys., 1983. — В. 2. — Т. 90. — С. 161-173. — DOI:10.1007/BF01205500
4. Kontsevich, M. Deformation quantization of Poisson manifolds. — Letters in Math. Phys., 2003. — В. 3. — Т. 66. — С. 157-216. — DOI:10.1023/B:MATH.0000027508.00421.bf

Літаратура

• Действие — артыкул з Фізічнай энцыклапедыі