From Wikipedia, the free encyclopedia
Төркөмдәр теорияһы — дөйөм алгебраның төркөмдәр тип аталған алгебраик структураларҙы һәм уларҙың үҙсәнлектәрен өйрәнеүсе бүлеге. Дөйөм алгебрала төркөм үҙәк төшөнсә булып тора, сөнки ҡулсалар, яландар, векторлы арауыҡтар кеүек күп мөһим алгебраик структуралар киңәйтелгән операциялар һәм аксиомалар йыйылмаһы булған төркөмдәр булып торалар. Төркөмдәр математиканың бөтә өлкәләрендә барлыҡҡа киләләр, һәм төркөмдәр теорияһының ысулдары алгебраның күп бүлектәренә ҙур тәьҫир яһайҙар. Төркөмдәр теорияһының үҫеше процессында, күп йәһәттән дөйөм алгебраның дөйөм алғанда спецификаһын билдәләүсе ҡеүәтле инструментарий төҙөлә, элементтары математиканың күрше бүлектәре һәм ҡушымталары менән әүҙем үҙләштерелеүсе үҙенең глоссарийы барлыҡҡа килә. Төркөмдәр теорияһының иң үҫешкән тармаҡтары — һыҙыҡлы алгебраик төркөмдәр һәм Ли төркөмдәре — математиканың үҙ аллы өлкәләре булып китәләр.
Төркөм (математика) | ||||||
Төркөмдәр теорияһы | ||||||
| ||||||
Шулай уҡ ҡарағыҙ: Портал:Физика |
Кристаллдар йәки водород атомдары кеүек төрлө физик системалар симметриялы, уларҙы симметрия төркөмдәре менән моделләштереп була, шулай итеп төркөмдәр теорияһының һәм уның менән тығыҙ бәйләнгән һүрәтләүҙәр теорияһының физикала һәм химияла мөһим ҡулланылышы табыла.
XX быуатта математикала иң һиҙелерлек алға китеш булып[1], күп математиктарҙың бергә тырышлыҡтарының һөҙөмтәһе булған, 10 меңдән артыҡ баҫма бит биләгән, төп массивы 1960 йылдан 1980 йылдарға тиклем баҫылып сыҡҡан — тулы ябай сикле төркөмдәрҙе классификациялау тора.
Төркөмдәр теорияһының өс тарихи тамыры бар: алгебраик тигеҙләмәләр теорияһы, һандар теорияһы һәм геометрия. Төркөмдәр теорияһының башында торған математиктар, — Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, Нильс Хенрик Абель һәм Эварист Галуа. Галуа, хәҙер Галуа теорияһы тип аталған теория эшләп, төркөмдәр теорияһын абстракт алгебраның икенсе тармағы — яландар теорияһы менән бәйләүсе беренсе математик була.
Төркөмдәр теорияһы барлыҡҡа килеүенә булышлыҡ иткән беренсе мәсьәләләрҙең береһе, бирелгән n-сы дәрәжәләге тигеҙләмәнең m тамыры тамырҙары булып торған m-сы дәрәжәләге тигеҙләмә төҙөү мәсьәләһе торған (m < n). Был мәсьәләне ябайыраҡ осраҡтар өсөн Худде (1659 йыл) ҡарай. 1740 йылда Сондерсон биквадрат аңлатмаларҙың квадрат ҡабатлашыусыларын табыу 6 дәрәжә тигеҙләмәне сығарыуға ҡайтып ҡала икәнен күрә, ә Ле Сёр (1748 йыл) һәм Вейринг (1762 йылдан 1782 йылдарға тиклем) был идеяны үҫтерә.
Алмаштырмалар теорияһында төҙөлгән тигеҙләмәләр теорияһының дөйөм нигеҙен 1770—1771 йылдарҙа Лагранж таба,һәм ошо нигеҙҙә артабан алмаштырмалар теорияһы үҫеп сыға. Ул, үҙе юлыҡҡан бөтә резольвенталарҙың тамырҙары ярашлы тигеҙләмәләрҙең тамырҙарынан рациональ функциялар булып торалар икәнен асыҡлаған. Был функцияларҙың үҙсәнлектәрен өйрәнеү өсөн, ул «ойоштормалар иҫәпләмәһен» эшләй(Calcul des Combinaisons). Вандермондтың (1770 йыл) уға замандаш хеҙмәте шулай уҡ төркөмдәр теорияһының үҫешен алдан белгертә.
Паоло Руффини 1799 йылда бишенсе һәм юғарыраҡ дәрәжәләге тигеҙләмәләрҙең радикалдарҙа хәл итерлек булмауын иҫбатлауҙы тәҡдим итә. Иҫбатлау өсөн ул, уларҙы икенсе исем менән атаһа ла, төркөмдәр теорияһы төшөнсәләрен ҡуллана. Руффини шулай уҡ уға Аббати яҙған, төп фекере төркөмдәр теорияһы булған, хатты баҫтырып сығара.
Галуа шуны асыҡлай, әгәр алгебраик тигеҙләмәнең бер нисә тамыры булһа, ул саҡта һәр саҡ был тамырҙарҙың шундай алмаштырмалар төркөмө бар, был ваҡытта
Артур Кэли һәм Огюстен Луи Коши төркөмдәр теорияһының мөһимлеген баһалаған беренсе математиктарҙың береһе булалар. Был ғалимдар шулай уҡ төркөмдәр теорияһының мөһим теоремаларын иҫбат итәләр.[2] Үҙенең алгебра буйынса китабының бер бүлеген төркөмдәр теорияһына арнаған Серрет, «Действия над подстановками» (Traité des Substitutions) хеҙмәте классика булып киткән Жордан һәм Ойген Нетто (1882 йыл) арҡаһында улар өйрәнгән фән популярлаша. Төркөмдәр теорияһының үҫешенә XIX быуаттың башҡа күп математиктары: Бертран, Эрмит, Фробениус, Кронекер һәм Матьё ҙур өлөш индерәләр.
«Төркөм» төшөнсәһенә хәҙерге билдәләмә тик 1882 йылда Вальтер фон Дюк тарафынан бирелә.[3]
1884 йылда Софус Ли, хәҙер Ли төркөмдәре һәм уларҙың дискретлы аҫтөркөмдәре тип аталған үҙгәртеүҙәр төркөмөн өйрәнеүгә баш һала; уның хеҙмәттәре артынса Киллингтың, Штудиҙың, Шурҙың, Маурерҙың һәм Эли Картандың хеҙмәттәре баҫылып сыға. Дискретлы төркөм теорияһы, Клейн, Ли, Пуанкаре һәм Пикар кеүек математиктар тарафынан, модуляр формаларҙы һәм башҡа объекттарҙы өйрәнеү менән бәйле эшләнә.
XX быуат уртаһында (нигеҙҙә, 1955 һәм 1983 йылдар араһында) бөтә сикле ябай төркөмдәрҙе классификациялау буйынса ҙур эш, тиҫтәләгән мең битлек мәҡәләләрҙе лә ҡушып, башҡарыла.
Төркөмдәр теорияһына Артин, Эмми Нётер, Людвиг Силов кеүек күп башҡа математиктар ҙа һиҙелерлек өлөш индәрәләр .
Төркөм төшөнсәһе симметрияның һәм геометрик объекттарҙың эквивалентлылығын формаль тасуирлау һөҙөмтәһендә барлыҡҡа килә. Феликс Клейндың Эрланген программаһында геометрияны өйрәнеү ярашлы үҙгәртеүҙәр төркөмөн өйрәнеү менән бәйләнелә. Мәҫәлән, әгәр яҫылыҡта фигуралар бирелһә, ул саҡта хәрәкәттәр төркөмө ярҙамында уларҙың тигеҙлеге асыҡлана.
Билдәләмә. Төркөм тип, түбәндәге дүрт аксиоманы ҡәнәғәтләндергән ҡабатлау ғәмәле бирелгән элементтар күмәклеге (сикле йәки сикһеҙ) атала[4]:
Төркөм аксиомалары ҡабатлау ғәмәленең ҡабатлашыусылар тәртибенә бәйлелеген бер нисек тә регламентламай. Шуға күрә, дөйөм әйткәндә, ҡабатлашыусыларҙың урынын алмаштырыу ҡабатландыҡҡа тәьҫир итә. Ҡабатландыҡ ҡабатлашыусылар тәртибенә бәйле булмаған төркөмдәрҙе коммутатив йәки Абель төркөмдәре тип атайҙар. Абель төркөмө өсөн
Абель төркөмдәре физик ҡушымталарҙа һирәк осрайҙар. Йышыраҡ физик мәғәнәгә эйә булған төркөмдәр Абель булмаған төркөмдәр булалар:
Ҙур булмаған үлсәмле сикле төркөмдәрҙе «ҡабатлау таблицаһы» тип аталған таблицалар ярҙамында тасуирлау уңайлы. Был таблицала һәр юл һәм һәр бағана төркөмдөң бер элементына ярашлы, ә бағана менән юл киҫелешендәге күҙәүгә ярашлы элементтарҙы ҡабатлау ғәмәле һөҙөмтәһе урынлаштырыла.
Түбәндә дүрт элементтан — (1, −1, i, −i) — торған төркөм өсөн ҡабатлау таблицаһына миҫал (Кэли таблицаһы) килтерелә, унда операция булып ғәҙәттәге арифметик ҡабатлау ғәмәле тора:
1 | −1 | i | −i | |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | −1 | i | −i |
−1 | −1 | 1 | −i | i |
i | i | −i | −1 | 1 |
−i | −i | i | 1 | −1 |
Берәмек элементы булып бында 1 һаны тора, 1 һәм −1 өсөн кире элементтар булып улар үҙҙәре тора, ә i һәм −i элементтары бер-береһе өсөн кире элемент булалар.
Әгәр төркөмдөң сикһеҙ күп һанда элементтары булһа, ул саҡта ул сикһеҙ төркөм тип атала.
Төркөмдөң элементтары өҙлөкһөҙ рәүештә ниндәйҙер параметрҙарға бәйле булған осраҡта, төркөм өҙлөкһөҙ йәки Ли төркөмө тип атала. Шулай уҡ, Ли төркөмө — элементтары күмәклеге шыма төрлөлөк барлыҡҡа килтергән төркөм тип әйтәләр. Ли төркөмө ярҙамында, симметриялар төркөмө булараҡ, дифференциаль тигеҙләмәләрҙең сығарылыштары табыла.
Төркөмдәр математикала һәм тәбиғәт фәндәрендә бөтә ерҙә, йыш ҡына объекттарҙың (автоморфизмдар төркөмөнөң) эске симметрияһын асыҡлау өсөн ҡулланылалар. Эске симметрия ғәҙәттә инвариантлы үҙсәнлектәр менән бәйле; был үҙсәнлекте һаҡлаусы үҙгәртеүҙәр күмәклеге, композиция операцияһы менән бергә, симметрия төркөмө тип аталған төркөм төҙөйҙәр.
Төркөм төшөнсәһенә башланғыс биргән Галуа теорияһында, төркөмдәр, тамырҙары булып ниндәйҙер полиномиаль тигеҙләмәнең тамырҙары торған тигеҙләмәләр симметрияһын тасуирлау өсөн ҡулланылалар. Был теорияла уйнаған мөһим ролдәре айҡанлы, үҙҙәренең хәл итерлек төркөмдәр исемен алғандар.
Алгебраик топологияла төркөмдәр топологик арауыҡтар инварианттарын тасуирлау өсөн ҡулланылалар[5]. Инварианттар тип бында арауыҡтарҙың, уны ниндәй ҙә булһа формаһын үҙгәрткәндә үҙгәрмәүсе үҙсәнлектәрен күҙ уңында тоталар. Төркөмдәрҙе шундай ҡулланыу миҫалдары — фундаменталь төркөмдәр, гомология төркөмдәре һәм когомологиялар.
Ли төркөмдәрен дифференциаль тигеҙләмәләрҙе һәм төрлөлөктәрҙе өйрәнгәндә ҡулланылалар; улар үҙҙәрендә төркөмдәр теорияһын һәм математик анализды берләштерәләр. Анализдың был төркөмдәр менән бәйләнгән өлкәһе, гармоник анализ тип атала.
Комбинаторикала алмаштырып ҡуйыуҙар төркөмдәре һәм төркөм ғәмәлдәре күмәклектә элементтар һанын иҫәпләүҙе ябайлаштырыу өсөн ҡулланыла; атап әйткәндә, Бёрнсайд леммаһы йыш ҡулланыла.
Төркөмдәр теорияһын аңлау шулай уҡ физика һәм башҡа тәбиғәт фәндәре өсөн бик мөһим. Химияла төркөм кристаллик рәшәткәләрҙе классификациялау һәм молекулалар симметриялары өсөн ҡулланыла. Физикала төркөмдәр физик закондар буйһонған симметрияларҙы тасуирлау өсөн ҡулланыла. Физикала бигерәк тә төркөм төшөнсәһе, атап әйткәндә, Ли төркөмө бик мөһим, сөнки улар йыш ҡына «мөмкин булған» физик теорияларға юл күрһәтәләр.
төркөмө циклик тип атала, әгәр ул бер a элементы менән барлыҡҡа килтерелһә, йәғни уның бөтә элементтары a-ның дәрәжәләре булып торһалар (йәки, әгәр аддитив терминологияны ҡулланһаң, na күренешендә күрһәтеп була, бында n — бөтөн һан). Математик тамғаланышы: .
Әгәр төркөмөнән төркөмөнә күмәклегенең бөтә алмаштырмаларының гомоморфизмы бирелһә, төркөмө күмәклегендә ғәмәлдә тип әйтәләр. Ҡыҫҡалыҡ өсөн йыш ҡына йәки тип яҙалар.
1 | |
---|---|
1 | 1 |
1 | −1 | |
---|---|---|
1 | 1 | -1 |
-1 | -1 | 1 |
1 | −1 | i | -i | |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | -1 | i | -i |
-1 | -1 | 1 | -i | i |
i | i | -i | -1 | 1 |
-i | -i | i | 1 | -1 |
C2 | E | R180 |
---|---|---|
E | E | R180 |
R180 | R180 | E |
S2 | E | I |
---|---|---|
E | E | I |
I | I | E |
C3 | E | R120 | R240 |
---|---|---|---|
E | E | R120 | R240 |
R120 | R120 | R240 | E |
R240 | R240 | E | R120 |
D3 | E | R120 | R240 | R1 | R2 | R3 |
---|---|---|---|---|---|---|
E | E | R120 | R240 | R1 | R2 | R3 |
R120 | R120 | R240 | E | R2 | R3 | R1 |
R240 | R240 | E | R120 | R3 | R1 | R2 |
R1 | R1 | R3 | R2 | E | R240 | R120 |
R2 | R2 | R1 | R3 | R120 | E | R240 |
R3 | R3 | R2 | R1 | R240 | R120 | E |
Бер күсәр тирәләй ике эҙмә-эҙ башҡарылған боролоштарҙың һөҙөмтәһе боролоштарҙы башҡарыу тәртибенә бәйле булмағанлыҡтан, R2 төркөм коммутатив була. Төркөмдә кире элемент
P элементы өсөн кире элемент булып
Шуныһы ҡыҙыҡ, S3 төркөмө D3 төркөмөнә изоморфлы, сөнки һуңғыһы өсмөйөштө үҙ-үҙенә сағылдырыусы бөтә мөмкин булған үҙгәртеүҙәрҙе үҙ эсенә ала, ә өсмөйөштө үҙгәртеүҙе уның өс түбәһенең төрлө алмаштырмалары менән бирергә мөмкин:
Абель төркөмө, төркөм операцияһы коммутатив булған төркөм ул; йәғни, әгәр теләһә ниндәй ике элементтары өсөн булһа, төркөмө Абель төркөмө була.
Абель төркөмдәрендә төркөм операцияһы ғәҙәттә «ҡушыу» тип атала һәм тамғаһы менән тамғалана. Абель төркөмдәре абстрактлы алгебраның ҡулса, ялан һәм модулдәр кеүек ҡатмарлыраҡ объекттарын төҙөү өсөн нигеҙ булып торалар. Исеме, алмаштырмалар төркөмдәрен өйрәнеүгә индергән өлөшө өсөн, норвег математигы Абель хөрмәтенә ҡушылған.
Сикле Абель төркөмдәренең структураһы тураһында нигеҙ һалыусы теорема, теләһә ниндәй сикле Абель төркөмө, тәртиптәре ябай һандарҙың дәрәжәләре булған үҙенең циклик аҫтөркөмдәренең тура суммаһына тарҡатылырға мөмкин, тип раҫлай. Был дөйөм сикле барлыҡҡа килтерелгән Абель төркөмдәренең структураһы тураһында теореманың, төркөмдөң сикһеҙ тәртиптәге элементтары булмаған осраҡ өсөн эҙемтәһе. һәм -дың тура суммаһына изоморфлы шул саҡта һәм бары тик шул саҡта ғына, әгәр һәм үҙ-ара ябай һандар булһалар.
Ошонан сығып, Абель төркөмөн тура сумма формаһында яҙырға мөмкин
төрлө ике ысул менән:
Мәҫәлән, төркөмө 3 һәм 5 тәртибендәге ике циклик аҫтөркөмдәренең тура суммаһына тарҡатылырға мөмкин: . Шуны уҡ теләһә ниндәй ун биш тәртибендәге Абель төркөмдәре тураһында әйтергә мөмкин; һөҙөмтәлә ун биш тәртибендәгео бөтә Абель төркөмөдәре лә изоморфлы тигән һығымтаға киләбеҙ.
Сикле-барлыҡҡа килтерелгән төркөм, әгәр ул метрик арауыҡ булараҡ гиперболалы булһа, гиперболалы төркөм тип атала.
Ентекләберәк, һайлап алынған барлыҡҡа килтереүсе менән сикле-барлыҡҡа килтерелгән төркөмдә тәбиғи метрика — һүҙлекле метрика бар. Был метрика менән тәьмин ителгән төркөм, әгәр ул метрик арауыҡ булараҡ гиперболалы булһа, гиперболалы төркөм тип атала. Һайлап алынған барлыҡҡа килтереүселәр системаһын алмаштырғанда метрика квазиизометрик үҙгәрә, ә метрик арауыҡтың гиперболалығы был осраҡта һаҡланғанлыҡтан — төшөнсә барлыҡҡа килтереүселәр системаһын һайлауға бәйле түгел килеп сыға.
(P. de la Harpe, E. Ghys, Sur les groupes hyperboliques d’après Mikhael Gromov)
Был мәҡәләнең өлөшө әлегә яҙылмаған. |
Төркөмдәр теорияһының күп һандағы ҡушымталары бар. Дөйөм алгебраның күп структуралары төркөмдәрҙең айырым осраҡтары итеп ҡаралырға мөмкин, мәҫәлән, ҡулсалар, унда индерелгән икенсе ғәмәл — ҡабатлау менән (ҡушыуға ҡарата) Абель төркөмө итеп ҡаралырға мөмкин. Шуға күрә лә төркөмдәр был объекттар теорияһының күп өлөшөнөң нигеҙендә яталар. Галуа теорияһы төркөмдәрҙе күпбыуын тамырҙарының симметрияһын һүрәтләү өсөн ҡуллана. Галуа теорияһының төп теоремаһы алгебраик киңәйтеүҙәр һәм төркөмдәр теорияһы араһында бәйләнеш урынлаштыра. Был алгебраик тигеҙләмәләрҙең ярашлы Галуа төркөмдәре шарттарында хәл итерлек булыуының файҙалы критерийын бирә.
Төркөмдәр теорияһының бер нисә мең хәл ителмәгән проблемаларының иң билдәле йыйынтығы булып Коуровская дәфтәре тора .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.