BA
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms
Парабола

Парабола

From Wikipedia, the free encyclopedia

Парабола
ТүбәһеТигеҙләмәләрКвадратик функция менән бирелгән параболаПараболаның дөйөм тигеҙләмәһеПоляр системала тигеҙләмәһеКвадрат функцияның коэффициенттарын иҫәпләүҮҙсәнлектәреБәйле билдәләмәләрДөйөмләштереүПараболалар физик арауыҡтаШулай уҡ ҡарағыҙИҫкәрмәләрӘҙәбиәтҺылтанмалар

Пара́бола (грек. παραβολή — ҡушымта) — бирелгән тура һыҙыҡтан (параболаның директрисаһы тип аталған) һәм бирелгән нөктәнән (параболаның фокусы тип аталған) бер тигеҙ алыҫлыҡта ятҡан нөктәләрҙең геометрик урыны.

Был терминдың башҡа мәғәнәләре лә бар, ҡарағыҙ: Парабола (значения).
Парабола
Thumb
Парабола, уның фокусы һәм директрисаһы
Конус киҫелеше:
Thumb
Парабола конус киҫелеше булараҡ
Эксцентриситет: e = 1 {\displaystyle \textstyle e=1} {\displaystyle \textstyle e=1}
Тигеҙләмәләр: y = x 2 y = a x 2 + b x + c A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y = F ( B 2 − 4 A C = 0 ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}y=x^{2}\\[10pt]y=ax^{2}+bx+c\\[10pt]Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey=F\\(B^{2}-4AC=0)\end{smallmatrix}}} {\displaystyle {\begin{smallmatrix}y=x^{2}\\[10pt]y=ax^{2}+bx+c\\[10pt]Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey=F\\(B^{2}-4AC=0)\end{smallmatrix}}}
  • гипербола
  • парабола
  • эллипс
  • әйләнә

Эллипс һәм гипербола менән бер рәттән, парабола конус киҫелеше булып тора. Уға берәмек эксцентриситетлы конус киҫелеше тип билдәләмә бирергә мөмкин.

Thumb
Парабола булған конус киҫелеше һүрәте
Thumb
Параболаны конус киҫелеше булараҡ төҙөү
Thumb
Конус киҫелештәре

Параболаның, уның директрисаһына иң яҡын ятҡан нөктәһе был параболаның түбәһе тип атала. Түбәһе фокустан директрисаға төшөрөлгән перпендикулярҙың уртаһы була.

Параболаның тура мөйөшлө координаталар системаһында каноник тигеҙләмәһе:

y 2 = 2 p x , p > 0 {\displaystyle \textstyle y^{2}=2px,p>0} {\displaystyle \textstyle y^{2}=2px,p>0} (йәки x 2 = 2 p y {\displaystyle \textstyle x^{2}=2py} {\displaystyle \textstyle x^{2}=2py}, әгәр күсәрҙәрҙең урындарын алмаштырғанда).

p һаны фокаль параметр тип атала, ул фокустан директрисаға тиклемге алыҫлыҡҡа тигеҙ[1]. Поскольку каждая точка Параболаның һәр нөктәһе фокустан һәм директрисанан бер тигеҙ алыҫлыҡта булғас, түбәһе лә — шулай уҡ, шуға күрә ул фокус һәм директриса араһында икеһенән дә p 2 {\displaystyle {\frac {p}{2}}} {\displaystyle {\frac {p}{2}}} алыҫлығында ята.

Ентеклерәк мәғлүмәт тигеҙләмәһе: ...
Вывод
Thumb

PQ директрисаһының тигеҙләмәһе: x + p 2 = 0 {\displaystyle \textstyle x+{\frac {p}{2}}=0} {\displaystyle \textstyle x+{\frac {p}{2}}=0}, F фокусының координаталары ( p 2 ; 0 ) . {\displaystyle \left({\frac {p}{2}};0\right).} {\displaystyle \left({\frac {p}{2}};0\right).} Шулай итеп, координаталар башы O — CF киҫегенең уртаһы. Параболаның тигеҙләмәһе буйынса, унда ятҡан теләһә ниндәй M нөктәһе өсөн, KM = FM тигеҙлеге үтәлә. Артабан, KM=KD+DM = p 2 + x {\displaystyle {\textrm {KM=KD+DM}}={\frac {p}{2}}+x} {\displaystyle {\textrm {KM=KD+DM}}={\frac {p}{2}}+x} һәм FM = ( x − p 2 ) 2 + y 2 {\displaystyle {\textrm {FM}}={\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}} {\displaystyle {\textrm {FM}}={\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}} булғанлыҡтан, тигеҙлек түбәндәге күренеште ала:

( x − p 2 ) 2 + y 2 = p 2 + x . {\displaystyle {\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {p}{2}}+x.} {\displaystyle {\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {p}{2}}+x.}

Квадратҡа күтәргәндән һәм үҙгәртеүҙәр башҡарғандан һуң тиң көслө тигеҙләмә килеп сыға: y 2 = 2 p x . {\displaystyle y^{2}=2px.} {\displaystyle y^{2}=2px.}

Ябырға

Квадратик функция менән бирелгән парабола

y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} квадратик функцияһы a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} {\displaystyle a\neq 0} булғанда шулай уҡ параболаның тигеҙләмәһе була һәм графикта y = a x 2 {\displaystyle y=ax^{2}} {\displaystyle y=ax^{2}} параболаһы кеүек үк парабола итеп һүрәтләнә, тик һуңғыһынан айырмалы рәүештә, түбәһе координаталар башында түгел, ә координаталары түбәндәге формулалар буйынса иҫәпләнгән ниндәйҙер A нөктәһендә:

x A = − b 2 a , y A = − D 4 a , {\displaystyle x_{\textrm {A}}=-{\frac {b}{2a}},\;y_{\textrm {A}}=-{\frac {D}{4a}},} {\displaystyle x_{\textrm {A}}=-{\frac {b}{2a}},\;y_{\textrm {A}}=-{\frac {D}{4a}},} бында D = b 2 − 4 a c {\displaystyle D=b^{2}-4ac} {\displaystyle D=b^{2}-4ac} — квадрат өсбыуындың дискриминанты.

Квадратик функция менән бирелгән параболаның симметрия күсәре түбәһе аша ординаталар күсәренә параллель үтә. a > 0 (a < 0) булғанда фокус был күсәрҙә түбәһе өҫтөнән (аҫтынан) 1/4a алыҫлығында ята, ә директриса — түбәһе өҫтөнән (аҫтынан) шул уҡ алыҫлыҡта һәм абсциссалар күсәренә параллель үтә. y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} тигеҙләмәһе y = a ( x − x A ) 2 + y A {\displaystyle y=a(x-x_{\textrm {A}})^{2}+y_{\textrm {A}}} {\displaystyle y=a(x-x_{\textrm {A}})^{2}+y_{\textrm {A}}} күренешендә күрһәтелергә мөмкин, ә координаталар башын A нөктәһенә күсергәндә параболаның тигеҙләмәһе каноник тигеҙләмәгә әйләнә. Шулай итеп, һәр квадратик функция өсөн шундай координаталар системаһын табырға мөмкин, был системала ярашлы парабола тигеҙләмәһе каноник күренештә була. Шуның менән бергә p = 1 | 2 a | . {\displaystyle p={\frac {1}{|2a|}}.} {\displaystyle p={\frac {1}{|2a|}}.}

Параболаның дөйөм тигеҙләмәһе

Дөйөм осраҡта параболаның координаталар күсәрҙәренең береһенә параллель симметрия күсәре булыуы мотлаҡ түгел. Ләкин, теләһә ниндәй башҡа конус киҫелеше кеүек, парабола икенсе тәртиптәге кәкере һыҙыҡ булып тора, шунлыҡтан, яҫылыҡта Декарт координаталар системаһында уның тигеҙләмәһе квадрат күпбыуын күренешендә яҙылырға мөмкин:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0. {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.} {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.}

Әгәр ошондай күренештә бирелгән икенсе тәртиптәге кәкере һыҙыҡ парабола булһа, ул саҡта өлкән быуындарҙың коэффициенттарынан төҙөлгән дискриминант B 2 − 4 A C {\displaystyle B^{2}-4AC} {\displaystyle B^{2}-4AC} нулгә тигеҙ.

Поляр системала тигеҙләмәһе

Үҙәге фокуста булған һәм параболаның күсәре буйлап нуль йүнәлешле (фокустан түбәгә) ( ρ , ϑ ) {\displaystyle (\rho ,\vartheta )} {\displaystyle (\rho ,\vartheta )} поляр координаталар системаһында парабола түбәндәге тигеҙләмә менән бирелергә мөмкин

ρ ( 1 + cos ⁡ ϑ ) = p , {\displaystyle \rho (1+\cos \vartheta )=p,} {\displaystyle \rho (1+\cos \vartheta )=p,}

бында p — фокаль параметр (фокустан директрисаға тиклемге алыҫлыҡ йәки фокустан түбәгә тиклемге икеләтелгән алыҫлыҡ)

Квадрат функцияның коэффициенттарын иҫәпләү

Әгәр күсәре ординаталар күсәренә параллель булған параболаның тигеҙләмәһе y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} өсөн төрлө өс нөктәһенең координаталары ( x 1 ; y 1 ) , ( x 2 ; y 2 ) , ( x 3 ; y 3 ) {\displaystyle (x_{1};y_{1}),\;(x_{2};y_{2}),\;(x_{3};y_{3})} {\displaystyle (x_{1};y_{1}),\;(x_{2};y_{2}),\;(x_{3};y_{3})} билдәле булһа, ул саҡта уның коэффициенттары ошолай табылырға мөмкин:

a = y 3 − x 3 ( y 2 − y 1 ) + x 2 y 1 − x 1 y 2 x 2 − x 1 x 3 ( x 3 − x 1 − x 2 ) + x 1 x 2 ,     b = y 2 − y 1 x 2 − x 1 − a ( x 1 + x 2 ) ,     c = x 2 y 1 − x 1 y 2 x 2 − x 1 + a x 1 x 2 . {\displaystyle a={\frac {y_{3}-{\tfrac {x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}},\ \ b={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-a(x_{1}+x_{2}),\ \ c={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}+ax_{1}x_{2}.} {\displaystyle a={\frac {y_{3}-{\tfrac {x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}},\ \ b={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-a(x_{1}+x_{2}),\ \ c={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}+ax_{1}x_{2}.}

Әгәр түбәһе ( x 0 ; y 0 ) {\displaystyle (x_{0};y_{0})} {\displaystyle (x_{0};y_{0})} һәм өлкән коэффициент a {\displaystyle a} {\displaystyle a} билдәле булһа, ул саҡта ҡалған коэффициенттар һәм тамырҙары түбәндәге формулалар буйынса иҫәпләнә:

b = − 2 a x 0 {\displaystyle b=-2ax_{0}} {\displaystyle b=-2ax_{0}}
c = a x 0 2 + y 0 {\displaystyle c=ax_{0}^{2}+y_{0}} {\displaystyle c=ax_{0}^{2}+y_{0}}
x 1 = x 0 + − y 0 a {\displaystyle x_{1}=x_{0}+{\sqrt {-{\frac {y_{0}}{a}}}}} {\displaystyle x_{1}=x_{0}+{\sqrt {-{\frac {y_{0}}{a}}}}}
x 2 = x 0 − − y 0 a {\displaystyle x_{2}=x_{0}-{\sqrt {-{\frac {y_{0}}{a}}}}} {\displaystyle x_{2}=x_{0}-{\sqrt {-{\frac {y_{0}}{a}}}}}
Thumb
Параболаның сағылдырыу үҙсәнлеге (оптика)
Thumb
Pn-тан фокусҡа F тиклемге алыҫлыҡ, Pn-тан Qn-ҡа тиклемге алыҫлыҡҡа тигеҙ (L директрисаһында)
Thumb
FPnQn һыҙыҡтарының оҙонлоҡтары тигеҙ. Эллипстан айырмалы рәүештә, параболаның икенсе фокусы — сикһеҙлектә (шулай уҡ ҡарағыҙ Шары Данделена)
  • Парабола — икенсе тәртиптәге кәкере һыҙыҡ.
  • Уның, параболаның күсәре тип аталған симметрия күсәре бар. Күсәр фокус һәм түбәһе аша директрисаға перпендикуляр үтә.
  • Оптик үҙсәнлеге. Параболаның күсәренә параллель нурҙар шәлкеме, параболала сағылып, уның фокусында йыйыла. Һәм киреһенсә, фокуста урынлашҡан сығанаҡтан яҡтылыҡ, параболанан сағылып уның күсәренә параллель нурҙар шәлкеме булып тарала.
  • Әгәр параболаның фокусын тейеүсегә ҡарата сағылдырһаң, ул саҡта уның образы директрисала ятасаҡ.
  • Параболаның ирекле хордаһының уртаһын һәм был хорданың остарында уға үткәрелгән тейеүселәрҙең киҫешеү нөктәһен тоташтырған киҫек директрисаға перпендикуляр, ә уның уртаһы параболала ята.
  • Парабола тура һыҙыҡтың антиподераһы була.
  • Бөтә параболалар оҡшаш. Фокус һәм директриса араһындағы алыҫлыҡ масштабты билдәләй.
  • Тура һыҙыҡ буйлап тәгәрәгән парабола фокусының траекторияһы сылбырлы һыҙыҡ [2].
  • Парабола симметрия күсәре тирәләй әйләнгәндә эллиптик параболоид барлыҡҡа килә.

Парабола n = − 1 2 {\displaystyle \textstyle n=-{\frac {1}{2}}} {\displaystyle \textstyle n=-{\frac {1}{2}}} булғандағы синусоидаль спираль;

Thumb
Леонардо да Винчиҙың параболалы компасы

Йондоҙҙарға йәки башҡа массив объекттарға (йондоҙҙарға йәки планеталарға) яҡын ҙур тиҙлектә үткән ҡайһы бер космос есемдәренең (кометаларҙың, астероидтарҙың һәм башҡалар) траекториялары парабола (йәки гипербола) формаһында була. Был есемдәр үҙҙәренең ҙур тиҙлеге арҡаһында йондоҙҙоң гравитация яланына эләкмәйҙәр һәм ирекле осошон дауам итәләр. Был күренеш космос караптарының (айырып әйткәндә, Вояджер аппараттарының)гравитацион манёврҙары өсөн ҡулланыла.

Ер шарттарында ауырлыҡты юғалтыу булдырыу өсөн, самолёттарҙың Кеплер параболаһы тип аталған парабола траекторияһы буйлап осошо үткәрелә.

Һауа ҡаршылығы булмаған осраҡта есемдең осош траекторияһы, бер төрлө гравитация ҡырына яҡынайғанда, парабола күренешендә була.

Шулай уҡ параболалы көҙгөләр һәүәҫкәрҙәрҙең Кассерген, Шмидт — Кассерген, Ньютон системаһындағы күсереп йөрөтмәле телескоптарында ҡулланыла, а параболаның фокусында окулярға сағылыш биреүсе ярҙамсы көҙгөләр ҡуйыла.

Шыйыҡлыҡ һалынған һауыт вертикаль күсәре тирәләй әйләнгәндә, һауыттағы шыйыҡлыҡ йөҙө һәм вертикаль яҫылыҡ парабола буйлап киҫешәләр.

Параболаның, уның күсәренә параллель нурҙар шәлкемен фокусҡа йыйыу үҙсәнлеге прожекторҙар, фонарҙәр, фарҙар, шулай уҡ телескоп-рефлекторҙар (оптик, инфраҡыҙыл, радио- …) конструкцияларында, мәғлүмәтте алыҫ араларға тапшырыусы (спутник һәм башҡа) тар йүнәлешле антенналарҙың конструкцияларында, ҡояш электр станцияларында һәм башҡа өлкәләрҙә ҡулланыла.

Парабола формаһы ҡайһы берҙә архитектурала ҡыйыҡтар һәм көмбәҙҙәрҙе төҙөүҙә ҡулланыла.

  • Thumb
    Параболалы орбита һәм юлдаштың уның буйынса хәрәкәте (анимация)
  • Thumb
    Баскетбол тубының төшөүе
  • Thumb
    Калифорнияла, АҠШ параболалы ҡояш электр станцияһы
  • Thumb
    Һыу ағымының параболалы траекторияһы
  • Thumb
    Әйләнеүсе шыйыҡлыҡ ҡойолған һауыт
  • Thumb
    Парабола — тура һыҙыҡтың антиподераһы
  • Квадратичная функция
  • Кривая второго порядка
  • Кубическая парабола
  • Конические сечения:
    • Эллипс
    • Гипербола
    • Окружность
  • Парабола Ладовского
  • Параболы, вписанные в треугольник (в том числе парабола Киперта)
  • Полукубическая парабола (парабола Нейла)
  • Параболоид
  • Шары Данделена
  • Цепная линия
  • Каустика
  1. [1]
    Александров П.С. Парабола // Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1979. — С. 69—72. — 512 с.
  2. [2]
    Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство)/ Под ред. А.П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. С. 250.
  • Бронштейн И. Парабола // Квант. — 1975. — № 4. — С. 9-16.
  • Математическая энциклопедия (в 5-и томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982.
  • Маркушевич А. И. Замечательные кривые. — Гостехиздат, 1952. — 32 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 4).
  • А. А. Акопян, А. В. Заславский. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
Ҡыҫҡа факттар
Викиһүҙлек логотипы
Викиһүҙлек логотипы
Викиһүҙлектә «парабола» мәҡәләһе бар
Ябырға
commons: Парабола Викимилектә
  • Статья в справочнике «Прикладная математика».
  • Анимированные рисунки, иллюстрирующие некоторые свойства параболы.
  • Информация (англ.) о связи параболы с физикой.
  • Учебный фильм о параболе 2016 йыл 4 март архивланған.

Ҡалып:Кривые Ҡалып:Конические сечения

Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Chrome
Wikiwand for Chrome
Edge
Wikiwand for Edge
Firefox
Wikiwand for Firefox

Түбәһе

Тигеҙләмәләр

Үҙсәнлектәре

Бәйле билдәләмәләр

Дөйөмләштереү

Параболалар физик арауыҡта

Шулай уҡ ҡарағыҙ

Иҫкәрмәләр

Әҙәбиәт

Һылтанмалар