在物理科学 和電機工程學 中,色散关系 描述波在介质中传播的色散 现象的性质。色散关系将波的波长 或波數 与其頻率 建立了联系。由这组关系,波的相速度 和群速度 有了方便的确定介质中折射率 的表达式。克拉莫-克若尼關係式 可以描述波的传播 、衰减 的频率依赖性,這關係比與幾何相關和與材料相關的色散关系更具一般性。
光在稜鏡 的折射 是由于色散 。
色散的原因可能是几何边界条件(波导 、浅水)或是波与传输介质间的相互作用。基本粒子 (被认为是物質波 )即使在没有集合约束和其他介质存在下也会有非平凡的色散关系。
在存在色散的情况下,波速不再唯一定义,从而产生了相速度 和群速度 的区别。
當不同波長的平面波表現出不同的傳播速度時,色散會發生,如此造成混合各種波長的波包 漸漸地在空間中擴展開來。平面波的速率v 為波長
λ
{\displaystyle \lambda }
的函數:
v
=
v
(
λ
)
{\displaystyle v=v(\lambda )\,}
。
波速、波長、頻率f 之間具有恆等式:
v
(
λ
)
=
λ
f
(
λ
)
{\displaystyle v(\lambda )=\lambda \ f(\lambda )\,}
。
函數f (λ )指出了該介質中的色散關係。色散關係更常用角频率
ω
=
2
π
f
{\displaystyle \omega =2\pi f}
與波數
k
=
2
π
/
λ
{\displaystyle k=2\pi /\lambda }
來表示。上述式子可改寫為
ω
(
k
)
=
v
(
k
)
k
{\displaystyle \omega (k)=v(k)\ k\,}
。
在此ω 成為k 的函數。使用ω(k )來描述色散關係已經成為一種標準寫法,因為相速度 ω/k 與群速度 ∂ω/∂k 可以輕鬆地從這樣寫法的色散關係中求得。
因此所關注的平面波可寫為如下數學式:
A
(
x
,
t
)
=
A
0
e
2
π
i
x
−
v
t
λ
=
A
0
e
i
(
k
x
−
ω
t
)
{\displaystyle A(x,t)=A_{0}e^{2\pi i{\frac {x-vt}{\lambda }}}=A_{0}e^{i(kx-\omega t)}}
,
其中
A 是波的振幅 ,
A 0 = A (0,0),
x 是波傳遞方向上的任一特定位置,以及
t 是描述波的任一特定時間。
真空中的平面波是波傳遞最簡單的例子:無幾何上的限制,無傳導介質的交互作用。
對真空中的电磁波 而言,角頻率與波數呈正比:
ω
=
c
k
{\displaystyle \omega =ck\,}
。
這是「線性」的色散關係。在此情形下,相速度與群速度乃是相同的:
v
=
ω
k
=
d
ω
d
k
=
c
{\displaystyle v={\frac {\omega }{k}}={\frac {d\omega }{dk}}=c}
;
兩者皆為c ,真空中的光速 ,為與頻率無關的常數。
自由空間 中,日常生活常見物體其動能 與動量 之間的色散關係圖。
粒子的總能量 、動量 與質量 透過如下相對論 關係連結:
E
2
=
(
m
c
2
)
2
+
(
p
c
)
2
{\displaystyle E^{2}=(mc^{2})^{2}+(pc)^{2}\,}
[ 1]
其中
m
{\displaystyle m}
是靜質量 。
當靜質量m 為零時,比如光子 的例子:
E
=
p
c
{\displaystyle E=pc\,}
。
又靜質量不為零的粒子,當其接近光速時,pc 項遠大於mc 2 項,因此關係式可趨近於E = pc 。其在非相對論極限,也就是速度遠小於光速c 的情形,可趨近於如下關係式:
E
=
m
c
2
+
p
2
2
m
{\displaystyle E=mc^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}}
此情形下,
m
c
2
{\displaystyle mc^{2}}
是常數,而
p
2
/
2
m
{\displaystyle p^{2}/2m}
是常見的動能 ,可以動量
p
=
m
v
{\displaystyle p=mv}
來寫出關係式。
從近光速的例子過渡到低速度極限,可看到E 與p 的關係是從p 轉成p 2 ,在垂直軸跟水平軸皆取對數 log的色散關係圖中可看出斜率 的改變。
基本粒子、原子核、原子,甚至是分子,皆有物質波 的波動表現。根據描述物質波的「德布羅意關係」,能量E 與角頻率ω 之間以及動量p 與波數k 之間皆為正比關係,比值為約化普朗克常數 ħ:
E
=
ℏ
ω
,
p
=
ℏ
k
{\displaystyle E=\hbar \omega ,\quad p=\hbar k}
。
相應地,角頻率與波數之間也可透過色散關係連結。在非相對論極限(低速度極限的牛頓力學 )條件下,利用能量(動能)與動量的關係式:
E
=
p
2
2
m
{\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}
此處省去常數mc 2 的效應。等式左右分別代入德布羅意關係,可得色散關係:
ω
=
ℏ
k
2
2
m
{\displaystyle \omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}}
。
更多信息 動畫:電子的相速度與群速度 ...
動畫:電子的相速度與群速度
此動畫描繪了三顆(慢速度)自由電子以德布羅意相速度與群速度行經了寬度為0.4Å 的區域。每單位質量的動量,稱為固有速度 。中間電子的固有速度為光速c ,其群速度則為0.707 c ;上方電子則有中間電子的兩倍動量,下方電子則有中間電子的一半動量。注意到:當動量增加時,相速度下降到c ,而群速度增加到c ,而波包與相位峰值兩者以接近c 的速度一同移動;在此同時,波長的下降則無下限值。實驗室中,這類高能電子的橫向與縱向的同調寬度(波包大小)可比此處粒子大上好幾個數量級。
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當討論到介質的折射性質而不是吸收性質,亦即關注焦點為折射率 的實部 ,則常會提及「色散關係」—角頻率與波數的函數關係。在粒子 的情形,改由相對應的能量與動量的函數關係來描述。
「色散關係」一詞源自於光學 。讓光穿過折射率 不為常數的介質 則有辦法使得光速與波長相依;另外的方法是使用非均勻介質中的光,比如波导 。在此情形下,波形會隨著時間擴展開來,窄脈衝波會變成較寬的脈衝波。在這些材料中,
∂
ω
∂
k
{\displaystyle {\frac {\partial \omega }{\partial k}}}
為群速度 [ 2] ,對應到脈衝包絡線 峰值的傳遞速度,並與相速度
ω
k
{\displaystyle {\frac {\omega }{k}}}
不同。[ 3]
参见:水波色散 和Airy wave theory
深水的表面重力波 的頻率色散。紅點以相速度移動,而綠點以群速度移動。在深水的情形,相速度為群速度兩倍。一同出發的紅、綠點,當紅點走完圖片寬度的全程時,綠點方走一半。
深水波 的色散關係常寫為
ω
=
g
k
{\displaystyle \omega ={\sqrt {gk}}}
,
其中g 是重力 造成的加速度。深水的常見定義為水深大於波長之半[ 4] 。在此情形下,相速度為
v
p
=
ω
k
=
g
k
{\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {\frac {g}{k}}}}
,
而群速度為
v
g
=
d
ω
d
k
=
1
2
v
p
.
{\displaystyle v_{g}={\frac {d{\omega }}{dk}}={\frac {1}{2}}v_{p}.}
更多信息:振動弦
非色散橫波 的雙頻率拍頻 。既然此波為非色散,則相速度(紅點行進速度)等於群速度(綠點行進速度)。
對一條理想弦而言,色散關係可寫為
ω
=
k
T
μ
{\displaystyle \omega =k{\sqrt {\frac {T}{\mu }}}}
,
其中T 為弦的張力 ,μ 為弦每單位長度的質量。
如同真空中的電磁波,理想弦為非色散介質,其相速度與群速度相等,並且與振動頻率無關。
至於非理想弦則需考量到硬度 的影響,色散關係變為
ω
2
=
T
μ
k
2
+
α
k
4
{\displaystyle \omega ^{2}={\frac {T}{\mu }}k^{2}+\alpha k^{4}}
,
其中
α
{\displaystyle \alpha }
是與弦有關的常數。
在固態物理 領域,電子的色散關係佔有重要的角色。晶體的週期性意味著:對一給定的動量存在有多種可能的能階 ,而有些則是不論什麼樣的動量都不可能會具有的能量。所有可能的能量與動量的組合即為一物質的能带结构 。能帶結構的性質定義了一物質是絕緣體 、半导体 ,抑或是導體 。
聲子 之於聲波一如光子之於光波:其為攜帶波動能量的量子。聲子的色散關係也是重要且非平凡的。許多系統都顯示出聲子存在於兩個分離的能帶。聲子尚可分為光學聲子支與聲學聲子支。
關於穿透式電子顯微鏡 中的高能電子(例如200 keV),收斂束電子繞射 (Convergent beam electron diffraction, CBED) 型態在高階勞厄區 (higher order Laue zone, HOLZ)譜線的能量相依性,允許研究者能對晶體三維色散表面 的橫斷面做直接「成像」[ 5] 。這種動態效應 可用於晶格參數的準確測量、電子束能量,近期更應用在電子業上。
艾萨克·牛顿 研究過稜鏡 的折射現象。然而牛頓卻沒有認出色散關係與不同材料的相關性;假使有認出,他則可能發明出消色差透鏡 。[ 6]
水波的色散關係是由皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 於1776年研究得到。[ 7]
在幾篇舉足輕重的論文中,色散關係與各種波及粒子散射理論 中的因果律 被連繫了起來,使得克拉莫-克若尼關係式 (1926年-1927年間)的通則變得重要。[ 8]
R. G. Dean and R. A. Dalrymple. Water wave mechanics for engineers and scientists. Advanced Series on Ocean Engineering 2 . World Scientific, Singapore. 1991. ISBN 978-981-02-0420-4 . See page 64–66.
P. M. Jones, G. M. Rackham and J. W. Steeds. Higher order Laue zone effects in electron diffraction and their use in lattice parameter determination. Proceedings of the Royal Society. 1977, A 354 : 197.
Westphal, Never at rest cited from memory. Quite a funny anecdote, worth looking up: Newton dismissed reports of refraction indices at variance from his own because the author was a Jesuit.