狀態變數是指在動態系統中,可以描述系統數學狀態的一組變數,可以在系統未受到外力干擾的情形下,預測系統未來的特性。若是系統是由一組互相耦合的一階微分方程來表示,即稱為是狀態變數型的系統模型[1]。
舉例
- 在力學系統中,組件的位置座標及速度是典型的狀態變數,知道這些資訊後,可能可以確認系統後續的狀態。
- 熱力學中的狀態變數也稱為态函数,像溫度、壓力、體積、內能、焓及熵等。相反的,像熱及功都是過程函數,不是态函数。
- 在電路中,流經電子元件的電流以及電路節點的電壓常常都是狀態變數。
- 在生態系統模型中,植物、動物及資源(營養、有機物質)的數量(或是濃度)都是典型的狀態變數。
控制系統工程
在控制工程以及其他工程和科學領域中,會用狀態變數來表示系統的狀態。狀態變數的可能組合所形成的集合即為系統的狀態空間。系統目前的狀態會和以往狀態以及目前輸入有關,說明其關係的方程即為狀態方程。說明系統輸出和系統狀態,輸入關係的即為輸出方程。針對線性非時變系統的狀態方程以及輸出方程可以用矩陣A, B, C和D來表示:
![{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{N\times N},\quad B\in \mathbb {R} ^{N\times L},\quad C\in \mathbb {R} ^{M\times N},\quad D\in \mathbb {R} ^{M\times L},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf156581e45b828b83231879db346118be0e375c)
其中N, L和M是狀態向量,輸入向量及輸出向量的維度。
離散時間系統
離散時間系統(數位系統)中表示目前狀態的狀態向量(狀態變數的向量)是
,其中n是離散化的時間,離散時間狀態方程為
![{\displaystyle x[n+1]=Ax[n]+Bu[n],}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b3b41ed33294fd2c2d99283bf6e5e132ee92a38)
描述了系統的下一個狀態(x[n+1])和目前狀態以及輸入u[n]之間的關係。輸出方程為
![{\displaystyle y[n]=Cx[n]+Du[n],}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc61ab54f3baacfb7cb73fb75910c1ae248641a2)
描述了輸出y[n]和目前狀態以及輸入u[n]之間的關係。
連續時間系統
連續時間系統(類比系統)中表示目前狀態的狀態向量是
,連續時間狀態方程人中為
![{\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=Ax(t)+Bu(t),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e7a3dfc56c12eb371714862efa717277c2b3eb)
描述了系統狀態的變化率
和目前狀態以及輸入u(t)之間的關係。輸出方程為
![{\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61218a70916c75e8ad1ab6377de3ce43ca894e78)
描述了輸出y(t)和目前狀態x(t)以及輸入之間的關係u(t)。
參考資料
William J. Palm III. System Dynamics 2nd. 2010: 225.
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