多面體 （Polyhedron [ 註 1] 三維空間 中由平面 多邊形 、直邊 和頂點 組成的幾何形狀 。
例如立方體 就是一種多面體，其由6個平面正方形 面 、12條直邊和8個頂點組成。
多面體可以依特性分成凸多面體 、凹多面體 和非凸多面體 ，也可以依結構分成簡單多面體 和複雜多面體 。
凸多面體 是限定凸集的多面體。
每個凸多面體都可以由其頂點構建其凸包 ，且對於每個不共面之有限的點集的凸包也都是凸多面體。
立方體 和金字塔形都是凸多面體的例子。
多面體是多胞形 在三維空間 的例子。
多胞形是多面體在任意維度 更一般化的概念。
達文西 為盧卡·帕西奧利 所著書籍繪製的骨架多面體（具體來說是小斜方截半立方体 ）多面體可以定義為「由平面和直邊組成的有界體」。
然而這個定義方式並不明確，對現代數學而言更是不合格。
而另一個相關概念「凸多面體 」則有明確的定義，且有多個等效的標準定義。
然而，將凸多面體的「凸」這個條件拿掉之後，這樣的更廣泛的「多面體」的正式數學定義一直存在問題。
「多面體」的許多定義都是在特定的上下文中給出的[ 1] 克羅埃西亞 數學家布兰科·格伦鲍姆
多面體理論的原罪 可追溯至歐幾里得 ，還有之後的克卜勒 、龐索 柯西 ……各個時期……數學家們都未能準確定義何謂『多面體』。[ 2]
自此，數學家雖以特定說法對「多面體」訂定了嚴謹的定義，但任一種卻都無法完全兼容其他定義方式。
儘管如此，人們普遍認為多面體是一種立體幾何實體 （solid）或（平的）曲面 （surface），並且可以由其頂點（頂角的點）、邊（連接頂點的線段）和面（二維多邊形）來描述之，有時可以說它具有特定的三維內部體積。人們可以根據這些不同的定義來決定是否要將多面體描述成一個幾何實體，又或者是否要將多面體描述成一個（平的）曲面 （surface）之表面，或者是否根據其重合幾何 更抽像地描述它來區分這些不同的定義。[ 3]
一個常見且有些纯朴的定義是：多面體是一種可以被有限多個平面覆蓋的實體[ 4] [ 5] [ 6] 元件 ，而邊和頂點可以定義為面與面相交的線段和點。然而這樣的定義無法囊括含有自相交部分且其面可能不是簡單多邊形 的星形多面體 ，且也無法囊括某些邊可能屬於兩個以上之面的多面體[ 7] 大二重扭稜二重斜方十二面體 [ 8] :138 ）。
基於邊界為（平的）曲面 （surface）而非整個立體為實體之概念的定義也很常見。[ 9] 奧羅克 （O'Rourke）於1993年將多面體定義為凸多邊形（其面）的聯集在空間中排列，使得任何兩個多邊形的交集是共用的頂點、共用的邊或空集 ，因此它們的聯集是一個流形。[ 10] （平的）曲面 表面之平面的部分不是凸多邊形，則奧羅克要求將非凸多邊形 細分為更小的凸多邊形，並且視這些細分出來的部分為倆倆之間具有平角的二面角的結構。更一般地說，格倫鮑姆（Grünbaum）將非自相交多面體（acoptic polyhedron）定義為形成嵌入式流形之簡單多邊形的集合，每個頂點最少會與三條邊相鄰，並且相鄰兩個面的相交處僅有共用的頂點和一條稜。[ 11] 《多面體》 [ 9] [ 12]
一種現代方法是基於抽像多面體 [ 13] [ 14] [ 15] [ 14] 在這些所有定義中，多面體通常被理解為能存於任意維度、更一般化的多胞形在三維空間中的例子。例如，多胞形在二維空間對應的多邊形具有二維實體但沒有面、四維多胞形具有四維實體和一組附加的三維多面體之「胞」。不過，有一些高維幾何的文獻也會使用術語「多面體」來表示其他含義，這些「多面體」不是三維多面體，而是在某種程度上與三維多面體不同的形狀。例如，一些來源將凸多面體定義為有限多個半空間的交集，將多面體定義為有界多面體。[ 16] [ 17]
雖然未有任何附加條件的「多面體」在定義上尚無共識，但一些有限制條件的多面體（如凸多面體 、簡單多面體 ）都有明確的意義[ 18] [ 19]
在经典意义上，一个多面体 是一个三维 形体，它由有限个多边形 面 [ 9] 平面 的一部分，面相交于边 [ 20] 顶点 立方体 ，棱锥 和棱柱 都是多面体的例子。[ 20] [ 21] 多边形 的三维对应。多边形，多面体和更高维的对应物的一般术语是多胞体 。[ 20] [ 22]
多面體可以根據面數進行分類和命名。在中文語境中，多面體的名稱會將計算的多面體面數加上後綴「-面體」來命名，例如立方體 有6個面，所以可稱為六面體 。在英語中，多面體的命名系統基於古典希臘語，同樣是將計算的多面體面數作為前綴，並加上後綴「-hedron」形成組合詞，「hedron」的意義是「基底」、「座位」，並以此指稱為其面。例如，四面體是具有四個面的多面體，中文為「四」+「面體」，英文則是tetrahedron，其中「tetra-」代表四、五面體是具有五個面的多面體，中文為「五」+「面體」，英文則是pentahedron，其中「penta-」代表五、六面體是具有六個面的多面體，中文為「六」+「面體」，英文則是hexahedron，其中「hexa-」代表六，以此類推。[ 23] 柏拉圖立體 ；也有時僅是指稱指定面數的多面體，並未對其對稱性作任何假設。[ 24]
四面半六面體 是一種不可定向的自相交多面體，具有四個三角形面（紅色）和三個正方形面（黃色）。 其與莫比烏斯帶 或克萊因瓶 一樣，沿著此多面體表面的連續路徑可以到達與起始點相反的表面上的點，因此無法區分表面的內部和外部有些多面體有兩側不同的表面。例如凸多面體紙模型的內部和外部可以分別指定不同的顏色，雖然內部顏色將隱藏於內部而不可見，但確實存在兩側（指定了兩種顏色）。這種多面體稱為可定向的多面體，所有的非自相交的非凸多面體也有此特性。一些非凸自相交多面體也可以用相同方式著色（即內側一色、外側另一色），但這些多面體可能因為存在優角又自相交所以導致「內側表面」在「外側可見」，這個情況會使得這樣的多面體模型外觀看起來有兩種顏色塗在不同區域，但儘管如此，只要他能分成內側及外側，他就可以被視為可定向的多面體。然而，對於一些具有簡單多邊形 的自相交多面體，例如四面半六面體 ，其無法分辨內部與外部，因此不能用兩種不同的顏色對兩側進行著色，因為他只有一側，故其為不可定向的多面體。[ 25] 胞腔複形 來確定它是可定向還是不可定向。[ 26]
多面體還有另外一種拓撲分類法，就是使用其歐拉特性 來做區別。歐拉特性主要是透過計算欧拉示性数 來描述一個幾何體的拓撲特性，它利用多面體的頂點數V E F χ
χ
=
V
−
E
+
F
.
{\displaystyle \chi =V-E+F.\ }
同樣的公式也能用於計算其他類型拓樸表面的歐拉特徵。 它是曲面的不變量，這意味著若將曲面以多種方式細分為頂點、邊和面時，這些細分結果的歐拉特性將相同。對於凸多面體，或任意與拓撲球體拓撲同構的簡單連接的多面體，其欧拉示性数始終等於2。對於更複雜的形狀，歐拉特性與表面中的環狀體 [ 27] 環狀體 克萊因瓶 ，其欧拉示性数皆為零χ = 0[ 26]
立方體和正八面體互為對偶多面體 所有的多面體都存在對應的對偶多面體 ，其為
原始多面體的面被頂點取代
原始多面體與對偶多面體邊數相同 凸多面體的對偶多面體可以透過極交換 來構造。[ 28] [ 29]
抽象多面體也存在對偶多面體，其可以透過反轉定義該抽象多面體的偏序集 來得到。[ 15] [ 11]
對於多面體的每一個頂點，皆可以定義頂點圖 。頂點圖描述了多面體在頂點周圍的局部結構。頂點圖精確的定義各不相同，但大致上可以認為是透過切去多面體的頂點並觀察截面的形狀。[ 9] [ 30] [ 31] [ 32] [ 33]
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