馬丁公理

在數學的集合論中，馬丁公理（Martin's axiom）是一個由唐纳德·A·馬丁（英语：Donald A. Martin）和羅伯特·M·梭羅維（英语：Robert M. Solovay）引進的^[1]公理，這公理獨立於慣常的、帶有選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZFC）。這公理在連續統假設成立的狀況下成立，但也與否定連續統假設的ZFC公理系統相容。

用較不正式的講法，馬丁公理講的是任何小於連續統${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$的基數，其行為會與${\displaystyle \aleph _{0}}$大體類似。這公理背後的想法可藉由研究羅修娃－西葛斯基引理的證明得知；而這是用以控制特定力迫論證的其中一個原則。

陳述

給定任意的基數${\displaystyle \kappa }$，我們可以定義一個如下的陳述，並將這陳述給記做${\displaystyle \operatorname {MA} (\kappa )}$：

對於任意滿足可數鏈條件的偏序${\displaystyle P}$及任意${\displaystyle P}$的稠密集的集族${\displaystyle D}$而言，若${\displaystyle D\leq \kappa }$，則存在一個${\displaystyle P}$上的濾子${\displaystyle F}$，使得對於任意的${\displaystyle d\in D}$而言，${\displaystyle F\cap d}$非空。

由於這是一個使得${\textstyle \operatorname {MA} ({\mathfrak {c}})}$不成立的ZFC定理之故，因此馬丁公理可表述如下：

馬丁公理（MA）：對於任意的${\displaystyle \kappa <{\mathfrak {c}}}$，${\displaystyle \operatorname {MA} (\kappa )}$成立

在這情況（應用可數鏈條件）下，一個反鏈${\displaystyle A}$是${\displaystyle P}$的子集，且這子集使得${\displaystyle A}$的任意兩個元素不兼容（若在偏序中存在一個低於兩者的共通元素，則說兩個元素是兼容的），而這與樹等情況下的反鏈是不同的。

${\textstyle \operatorname {MA} (\aleph _{0})}$為真，而這即是羅修娃－西葛斯基引理。

${\textstyle \operatorname {MA} (2^{\aleph _{0}})}$為假：${\displaystyle \left[0,1\right]}$是一個緊緻豪斯多夫空間，因此是個可分空間並滿足可數鏈條件。這集合沒有孤立點，因此其中的點是無處稠密的；但這集合是${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}}$這麼多的點的聯集。（也可參見下述的與${\displaystyle \operatorname {MA} ({\mathfrak {c}})}$等價的條件）

與 MA ⁡ ( κ ) {\displaystyle \operatorname {MA} (\kappa )} 等價的陳述

以下陳述與${\displaystyle \operatorname {MA} (\kappa )}$等價：

• 若${\displaystyle X}$是一個滿足可數鏈條件的緊緻豪斯多夫空間，那${\displaystyle X}$不會是${\displaystyle \kappa }$個或更少的無處稠密集的聯集。
• 若${\displaystyle P}$是一個上升的、滿足可數鏈條件的偏序集，而${\displaystyle Y}$是${\displaystyle P}$的餘有限子集的集族，且${\displaystyle \left\vert Y\right\vert \leq \kappa }$，則存在一個向上的集合${\displaystyle A}$使得${\displaystyle A}$會見所有${\displaystyle Y}$的元素。
• 若${\displaystyle A}$是一個滿足可數鏈條件的非零布爾代數而${\displaystyle F}$是${\displaystyle A}$的子集的集族，且${\displaystyle \left\vert F\right\vert \leq \kappa }$，那就存在一個布爾同態${\displaystyle \Phi :A\rightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$，使得對於任意${\displaystyle F}$中的${\displaystyle X}$而言，要不有一個${\displaystyle a\in X}$，使得${\displaystyle \Phi (a)=1}$，要不有個${\displaystyle X}$有個上界${\displaystyle b}$，使得${\displaystyle \Phi (b)=0}$

結果

馬丁公理在組合數學、數學分析跟拓樸學上有許多有其他有趣的結果：

• 在波蘭空間上的無原子σ-有限博雷爾測度中，${\displaystyle \kappa }$個或更少的零測集依舊是零測集；不僅如此，實數集的${\displaystyle \kappa }$個或更少的勒貝格測度為零的子集的聯集，其勒貝格測度為零。
• 對於一個緊緻豪斯多夫空間${\displaystyle X}$而言，若${\displaystyle \left\vert X\right\vert \leq 2^{\kappa }}$，則這空間是序列緊緻的，也就是說這空間中的每個序列都有一個收斂子序列。
• 在${\displaystyle \mathbb {N} }$上，沒有任何非主要的超濾子的基本基數會小於${\displaystyle \kappa }$。
• 等價地，對於任意的${\displaystyle x\in \beta \mathbb {N} \ \mathbb {N} }$，有${\displaystyle \chi (x)\geq \kappa }$，此處的${\displaystyle \chi }$是${\displaystyle x}$的特徵（英语：Cardinal function），因此${\displaystyle \chi (\beta \mathbb {N} )\geq \kappa }$。
• ${\textstyle \operatorname {MA} (\aleph _{1})}$蘊含說滿足可數鏈條件的拓樸空間的乘積依舊滿足可數鏈條件，而這結果又蘊含說蘇斯林線（英语：Suslin line）不存在。
• 若馬丁公理成立，而連續統假設不成立，那就表示存在有非自由的懷特海群（Whitehead group）；細拉（英语：Saharon Shelah）用這結果證明說懷特海問題獨立於ZFC。

後續發展

• 馬丁公理的一般化版本為真力迫公理（英语：proper forcing axiom）以及馬丁最大值（英语：Martin's maximum）。
• 謝爾頓·W·戴維斯（Sheldon W. Davis）在他的說中提出馬丁公理是受到貝爾綱定理的啟發而來的。^[2]

參考資料

1. Martin, Donald A.; Solovay, Robert M. Internal Cohen extensions. Ann. Math. Logic. 1970, 2 (2): 143–178. MR 0270904. doi:10.1016/0003-4843(70)90009-4 .
2. Davis, Sheldon W. Topology. McGraw Hill. 2005: 29. ISBN 0-07-291006-2.

延伸閱讀

• Fremlin, David H. Consequences of Martin's axiom. Cambridge tracts in mathematics, no. 84. Cambridge: Cambridge University Press. 1984. ISBN 0-521-25091-9.
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.