總變差去噪(英語:Total Variation Denoising)是訊號處理中一種常見的降噪方法,於1992年由L. I. Rudin、S. Osher和E. Fatemi提出,因此亦稱為ROF模型[1]。一個含有雜訊的訊號相較於其未受雜訊影響的訊號,會有較大的總變差值,即其梯度絕對值的總和較大。因此若能找到一個與原始訊號相似且總變差較小的訊號,即可作為原始訊號的降噪結果。此算法可以在去除雜訊的同時保留邊緣,即使在低訊號雜訊比的情況下,依然能有效的去噪和保留邊緣。
總變差為一函數其數值變化的總和。可表示為其微分後取絕對值再積分的結果。
若一函數為一維連續可微函數,其在區間之總變差定義為
- ,
其中為的一次微分。
當不可微分時,其總變差由一般性的定義給出:
- ,
其中為區間中所有可能的分割,即。
若一函數為一維離散函數,則其總變差定義為
- .
即差分後取絕對值再加總的結果。
影像為二維離散訊號,在ROF模型中定義的總變差為
- ,
其中為梯度運算子。
然而該定義不可微分,做為最佳化問題的正規項時不易求解。因此也有-範數形式的二維總變差
- .
最佳化問題的形式與解一維訊號形式相同
- .
然而二維訊號的最佳化問題不一定為凸優化問題,因此無法以常見凸優化演算法求解。目前發展能求解的演算法有原始-對偶演算法[3]、交替方向乘子法(ADMM)[4]、布雷格曼方法[5]等等。
總變差的概念為先微分取絕對值後再積分。因此在一些文獻中[6]有使用到二階微分以上的例子。
當處理訊號為離散訊號時,二階差分的形式如下
因此使用二階差分的總變差可定義為
而最佳化問題的形式為
Wahlberg, B.; Boyd, S.; Annergren, M.; Wang, Y. An ADMM algorithm for a class of total variation regularized estimation problems. 2012. arXiv:1203.1828 [stat.ML].
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Heide, F. High-quality computational imaging through simple lenses. ACM Transactions on Graphics (TOG). 2013, 32: 1––14. doi:10.1145/2516971.2516974.
Farisu, S. Fast and robust multiframe super resolution. IEEE transactions on image processing. 2004, 13: 1327––1344. doi:10.1109/TIP.2004.834669.