七維正八胞體

在幾何學中，七維正八胞體（Octaexon或Octa-7-tope）是一種自身對偶的正七維多胞體（英语：7-polytope）^[1]， 是七維空間的單純形也是七維空間中最簡單的正圖形，因此又稱為7-單純形（7-simplex）^[2]:127 ，由8個六維正七胞體的六維胞（維基數據所列：Q18028565）組成，其二面角為cos⁻¹(1/7)約為81.79°^[1]。喬納森·鮑爾斯（Jonathan Bowers）將七維正八胞體縮寫為oca^[3]。

正八胞體
類型	正七維多胞體（英语：7-polytope） 八胞體
家族	單純形
維度	七維
對偶多胞形	七維正八胞體（自身對偶）
識別
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	oca
數學表示法
考克斯特符號 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	{3,3,3,3,3,3} {36}
性質
六維胞	8個六維正七胞體
五維胞	28個五維正六胞體
四維胞	56個正五胞體
胞	70個正四面體
面	56個正三角形
邊	28
頂點	8
歐拉示性數	2
特殊面或截面
皮特里多边形	正八邊形
組成與佈局
顶点图	六維正七胞體
對稱性
對稱群	A7 [3,3,3,3,3,3]
特性
凸
查 论 编

性質

七維正八胞體共由8個頂點、28條邊、56個三角形的面、70個正四面體的三維胞、56個正五胞體的四維胞（英语：4-face）、28個五維正六胞體的五維胞（維基數據所列：Q18028552）和8個六維正七胞體的六維胞（維基數據所列：Q18028565）組成，其中六維正七胞體為七維正八胞體的維面。 对于一个边长为a的七維正八胞体，其超胞积是${\displaystyle {\cfrac {a^{7}}{20160}}}$,表胞积是${\displaystyle {\cfrac {{\sqrt {7}}a^{6}}{720}}}$,高是${\displaystyle {\cfrac {2{\sqrt {7}}a}{7}}}$。 若一个七維正八胞体的棱长为1，则其外接七維超球的半径为${\displaystyle {\frac {\sqrt {7}}{4}}}$,內切七維超球的半径为${\displaystyle {\frac {\sqrt {7}}{32}}}$。^[1]

邊長為2的七維正八胞體可以內接於單位七維超立方體（英语：7-cube）中。^[4]下一個可以內接於單位超方形的最大單純形為十一維正十二胞體。^[5]

作為一種排佈

七維正八胞體的排佈矩陣（英语：Configuration_(polytope)）為：^[1]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&7&21&35&35&21&7\\2&28&6&15&20&15&6\\3&3&56&5&10&10&5\\4&6&4&70&4&6&4\\5&10&10&5&56&3&3\\6&15&20&15&6&28&2\\7&21&35&35&21&7&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

行和列對應於七維正八胞體的頂點、邊、面、胞、四維胞（英语：4-face）、五維胞（維基數據所列：Q18028552）和六維胞（維基數據所列：Q18028565）。對角線上的數字表示該元素在七維正八胞體中的數量。非對角線的數量表示對應行所代表的元素上有多少列所代表的元素交於該處。由於七維正八胞體是一種自身對偶的多胞體，因此這個排佈矩陣旋轉180度後會相同。^[6][7]

頂點座標

若一個七維正八胞體幾何中心位於原點，且邊長為2單位長，則其頂點座標為：

${\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ -{\sqrt {12/7}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(-{\sqrt {7/4}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

透過將七維正八胞體可以內接於七維超立方體（英语：7-cube）中可以獲得更簡單的座標集合，其值為：^[1]

${\displaystyle \left({\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}}\right),}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}}\right),}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}}\right),}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}}\right),}$

${\displaystyle \left(-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}}\right),}$

${\displaystyle \left(-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}}\right),}$

${\displaystyle \left(-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}}\right),}$

${\displaystyle \left(-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}}\right).}$

更簡單地，七維正八胞體可以坐落於八維空間座標(0,0,0,0,0,0,0,1)的排列。這個結構是基於八維正軸體（英语：8-orthoplex）的維面。

圖像

三維空間的七維正八胞體
三角化四面體包络中的球棍模型	以振幅多面體（英语：Amplituhedron）表面呈現的七維正八胞體	七維正八胞體投影到三維，再用相機投影示意其皮特里投影

正交投影

正投影圖

Ak考克斯特平面（英语：Coxeter_element#Coxeter_plane）	A7	A6	A5
圖像
二面體群對稱性（英语：Dihedral symmetry）	[8]	[7]	[6]
Ak考克斯特平面	A4	A3	A2
圖像
二面體群對稱性	[5]	[4]	[3]

參考文獻

1. Klitzing, Richard. octaexon. bendwavy.org. [2022-12-19]. （原始内容存档于2022-12-19）.
2. French, K.L. The Hidden Geometry of Life: The Science and Spirituality of Nature. Gateway series. Watkins Media Limited. 2014 [2022-12-19]. ISBN 9781780288451. （原始内容存档于2023-01-09）.
3. Klitzing, Richard. 7D uniform polytopes (polyexa) x3o3o3o3o3o3o — oca. bendwavy.org.
4. Adams, Joshua; Zvengrowski, Peter; Laird, Philip. Vertex Embeddings of Regular Polytopes. Expositiones Mathematicae. 2003.
5. Sloane, N.J.A. (编). Sequence A019442. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Integers n such that a simplex of dimension n-1 can be inscribed in a hypercube of dimension n-1
6. Coxeter, H.S.M. §1.8 Configurations. [[:正多胞形 (書籍)|Regular Polytopes]]（英语：Regular Polytopes (book)]]） 3rd. Dover. 1973. ISBN 0-486-61480-8. 网址－维基内链冲突 (帮助)
7. Coxeter, H.S.M. Regular Complex Polytopes 2nd. Cambridge University Press. 1991: 117 [2022-12-19]. ISBN 9780521394901. （原始内容存档于2023-01-09）.