二面角

二面角（英語：dihedral angle）是两个相交平面之间的夹角。在立体几何中，它被定义为一条直线和两个半平面的并集，这条直线是两个半平面的公共边。在高维中，二面角表示两个超平面之间的夹角。^[1]

在第三个平面（粉红色）中的两个平面（α，β，绿色）之间的角度以直角切割相交线

在化学中，二面角是分子中的两个分别由三个原子组成的平面之间的夹角，一共涉及四个原子，公共边是一个化学键（两个原子），平面则由另两个原子分别与该化学键构成。

立体几何

一条直线和两个半平面的并集组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

由直线 ${\displaystyle l}$ 、半平面 ${\displaystyle \alpha }$ 和半平面 ${\displaystyle \beta }$ 组成的二面角，记作：“二面角${\displaystyle \alpha -l-\beta }$ ”，也可记作“${\displaystyle ^{2}\angle l}$”。

也可在直线 ${\displaystyle l}$ 外、半平面 ${\displaystyle \alpha }$ 和半平面 ${\displaystyle \beta }$ 内，分别取点${\displaystyle P}$和点${\displaystyle Q}$，将这个二面角记作“二面角${\displaystyle P-l-Q}$”。

在 二面角${\displaystyle \alpha -l-\beta }$ 的棱 ${\displaystyle l}$ 上任取一点${\displaystyle O}$，以点${\displaystyle O}$为垂足，在半平面 ${\displaystyle \alpha }$ 和 ${\displaystyle \beta }$ 内分别作射线 ${\displaystyle OA}$ 和射线 ${\displaystyle OB}$ 垂直于棱 ${\displaystyle l}$ ，那么射线${\displaystyle OA}$ 和射线${\displaystyle OB}$ 所构成的 ${\displaystyle \angle AOB}$ 叫做二面角的平面角。^[2]

建立二面角的平面角

在非解析几何方法中，常通过建立二面角的平面角，通过求出平面角的大小，来求出二面角的大小：

${\displaystyle \because AB\perp OB}$

${\displaystyle \therefore OB}$ 为${\displaystyle OA}$在平面 ${\displaystyle \beta }$ 中的射影。

${\displaystyle \because OA\perp l,OB\perp l}$

${\displaystyle \therefore \angle AOB}$ 是二面角${\displaystyle \alpha -l-\beta }$ 的平面角。

解析几何

若两个相交平面在笛卡尔坐标中的方程分别为

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}$

${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\,\,,}$

则它们之间的二面角 ${\displaystyle \varphi }$ 为：

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}\right\vert }{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}\,\,.}$

另一种方法是计算两个平面的法向量n_A和n_B之间的夹角：

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert \mathbf {n} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {n} _{\mathrm {B} }\right\vert }{|\mathbf {n} _{\mathrm {A} }||\mathbf {n} _{\mathrm {B} }|}}\,\,,}$

其中n_A • n_B是两个向量的点积，|n_A| |n_B|是两个向量的模的乘积。^[3]

任何平面也可以由位于该平面的两个非共线向量来描述；他们的叉积是平面的法向量。因此，二面角可以由三个向量b₁、b₂和b₃定义，形成两对非共线向量：^[4]

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} \left({\big (}[\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}]\times [\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}]{\big )}\cdot {\frac {\mathbf {b} _{2}}{|\mathbf {b} _{2}|}}\,\,,\,\,[\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}]\cdot [\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}]\right)\,\,,}$

其中atan2是二個參數的反正切函數變體，一般而言，atan2(y, x) 等價於 atan(y/x)。

立体化学

参见：烷烃立体化学和构象异构

构象名称	syn-正丁烷 纽曼投影	syn-正丁烷 锯木架投影

正丁烷的自由能图作为二面角的函数

在化学中，扭转角（英語：torsion angle）被定义为二面角的特定例子，描述了通过化学键连接的分子的两个部分的几何关系。^[5][6]

在立体化学中，分子中的每三个（非共线）原子都决定了一个平面。当两个这样的平面相交时，它们之间的角度便是二面角。二面角用于描述具体的分子构象^[7]。角度在0°和±90°之间的立体化学构象被称为syn（s，顺）；在±90°和180°之间的为anti（a，反）。类似地，角度在30°和150°之间或-30°和-150°之间的被称为clinal（c，错），而在0°和±30°或±150°和180°之间的被称为periplanar（p，叠）。

这两种术语可以组合起来，以定义四个角度范围：0°至±30°为顺叠（sp）；30°至90°和-30°至-90°为顺错（sc）；90°至150°和-90°至-150°为反错（ac）；±150°至180°为反叠（ap）。顺叠构象也被称为顺式（syn-或cis-）构象；反叠构象也被称为反式（anti-或trans-）构象；顺错构象也被称为邻位交叉、間扭（gauche或skew）构象。

例如，对于正丁烷，可以用两个中心碳原子和任一个甲基碳原子来分别指定两个平面。本节开头（上图）所示的syn-构象具有60°的二面角，比180°二面角的anti-构象更不稳定。

对于大分子使用，建议使用符号T，C，G⁺，G^-，A⁺和A^-分别表示ap，sp，+sc，-sc，+ac和-ac。^[5]

蛋白质

描述蛋白质，显示骨架二面角

拉氏图（也称为Ramachandran图或[φ,ψ]图），由G·N·Ramachandran、C·Ramakrishnan和V·Sasisekharan在1963年最初开发^[8]，是一种形象化蛋白质结构中能量（位阻）允许的氨基酸残基的二面角ψ与φ的关系的方式。右图展示了骨架二面角φ和ψ的定义^[9]（Ramachandran称为φ和φ'）。

在蛋白质链中，三个二面角被定义为φ（phi），ψ（psi）和ω（omega），如图所示。肽键的平面性通常使得ω被限制为180°（典型trans情况）或0°（罕见cis情况）。trans和cis异构体的α-碳之间的距离分别为大约3.8和2.9 Å。cis异构体主要在Xaa-Pro肽键（其中Xaa是任何氨基酸）中观察到。

侧链二面角倾向于聚集在180°，60°和-60°附近，称为trans，gauche⁺和gauche^-构象。某些侧链二面角的稳定性受到φ和ψ值的影响^[10]。例如，当ψ接近-60°时，gauche⁺旋转异构体的侧链中的γ-碳和下一个残基的氮之间就会有直接的位阻相互作用^[11]。

从二面角转换为链中的笛卡尔坐标

在聚合物特别是蛋白质中，常常用内部坐标来描述主链，也即把二面角和键长按照顺序列表。但是，某些类型的计算化学反而使用笛卡尔坐标。在计算结构优化中，一些程序需要在迭代过程中在这些表示法之间来回转换，这项工作可能占用大部分计算时间。对于有很多迭代或长链的过程，它也可能引入累积的数值不准确性。虽然所有的转换算法会产生数学上相同的结果，但它们的运算速度和数字精度不同。^{[12][需要非第一手來源]}

几何

每个多面体在每条边上都有一个二面角，用于描述以该边为公共边的两个面的关系。该二面角也被称为面角，其计算的是多面体的内角。面角0°意味着两个面法向量是反向平行的，而且两个面相互重叠，这意味着它是退化多面体的一部分。面角为180°意味着这些面是平行的，如在镶嵌中。在多面体的凹部，可以存在大于180°的面角，在基础数学二面角的取值范围上有争议目前认为取值为[0，180]。

边传递多面体中的每个二面角大小相同。这包括5个正多面体，4个星型正多面体，两个拟正多面体和两个拟正对偶多面体。

给定一个在共同顶点P上相交且具有边AP、BP和CP的多面体的三个面，包含APC和BPC的面之间的二面角的余弦为：^[13]

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\cos(\angle \mathrm {APB} )-\cos(\angle \mathrm {APC} )\cos(\angle \mathrm {BPC} )}{\sin(\angle \mathrm {APC} )\sin(\angle \mathrm {BPC} )}}\,\,.}$

参见

• 阻转异构
• 顺反异构

参考资料

1. Olshevsky, George, Dihedral angle at Glossary for Hyperspace.
2. 2.3.2平面与平面垂直的判定. 普通高中课程标准实验教科书 数学2 必修 A版. 普通高中课程标准实验教科书 数学2 必修 A版: 68. ISBN 978-7-107-17706-4.
3. Angle Between Two Planes. TutorVista.com. [2018-07-06]. （原始内容存档于2020-10-28）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
4. Blondel, Arnaud; Karplus, Martin. New formulation for derivatives of torsion angles and improper torsion angles in molecular mechanics: Elimination of singularities. Journal of Computational Chemistry. 7 Dec 1998, 17 (9): 1132–1141 [2018-07-08]. doi:10.1002/(SICI)1096-987X(19960715)17:9<1132::AID-JCC5>3.0.CO;2-T. （原始内容存档于2018-02-03）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
5. 國際純化學和應用化學聯合會，化學術語概略，第二版。（金皮書）(1997)。在線校正版: (2006–) "Torsion angle"。doi:10.1351/goldbook.T06406
6. 國際純化學和應用化學聯合會，化學術語概略，第二版。（金皮書）(1997)。在線校正版: (2006–) "Dihedral angle"。doi:10.1351/goldbook.D01730
7. Anslyn, Eric; Dennis Dougherty. Modern Physical Organic Chemistry. University Science. 2006: 95. ISBN 978-1891389313.
8. Ramachandran, G. N.; Ramakrishnan, C.; Sasisekharan, V. Stereochemistry of polypeptide chain configurations. Journal of Molecular Biology. 1963, 7: 95–9. PMID 13990617. doi:10.1016/S0022-2836(63)80023-6.
9. Richardson, J. S. Anatomy and Taxonomy of Protein Structures. Advances in Protein Chemistry. Advances in Protein Chemistry. 1981, 34: 167–339. ISBN 9780120342341. PMID 7020376. doi:10.1016/S0065-3233(08)60520-3.
10. Dunbrack, RL Jr.; Karplus, M. Backbone-dependent rotamer library for proteins. Application to side-chain prediction.. Journal of Molecular Biology. 20 March 1993, 230 (2): 543–74. PMID 8464064. doi:10.1006/jmbi.1993.1170.
11. Dunbrack, RL Jr; Karplus, M. Conformational analysis of the backbone-dependent rotamer preferences of protein sidechains.. Nature Structural Biology. May 1994, 1 (5): 334–40. PMID 7664040. doi:10.1038/nsb0594-334.
12. Parsons, J.; Holmes, J. B.; Rojas, J. M.; Tsai, J.; Strauss, C. E., Practical conversion from torsion space to cartesian space for in silico protein synthesis, Journal of Computational Chemistry, 2005, 26: 1063–1068, PMID 15898109, doi:10.1002/jcc.20237
13. dihedral angle calculator polyhedron. www.had2know.com. [2015-10-25]. （原始内容存档于2015-11-25）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）

外部链接

• 木工中的二面角 - Tips.FM
• 5个正多面体的分析（页面存档备份，存于互联网档案馆），给出了这些精确值的逐步推导