六維正七胞體

在幾何學中，六維正七胞體（heptapeton^[1]:127）是一種自身對偶的正六維多胞體（英语：6-polytope）^[2]，是六維空間中的單純形^[3]，又稱為6-單純形（6-simplex）^[4]，由7個五維正六胞體組成，其二面角為cos⁻¹(1/6)約為80.41°。^[2]

正七胞體
類型	正六維多胞體（英语：6-polytope） 七胞體
家族	單純形
維度	六維
對偶多胞形	正七胞體（自身對偶）
識別
名稱	正七胞體
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	hop
數學表示法
考克斯特符號 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	{3,3,3,3,3} {35}
性質
五維胞	7個五維正六胞體
四維胞	21個正五胞體
胞	35個正四面體
面	35個正三角形
邊	21
頂點	7
歐拉示性數	0
特殊面或截面
皮特里多边形	正七邊形
組成與佈局
顶点图	五維正六胞體
對稱性
對稱群	A6 [35], 5040階
查 论 编

性質

六維正七胞體共有7個頂點、21條邊、35個三角形的面、35個四面體的胞、21個四維正五胞體的四維胞（英语：4-face）和7個五維正六胞體的五維胞（維基數據所列：Q18028552）組成^[5]，其中五維正六胞體為六維正七胞體的維面。对于一个边长为a的六維正七胞体，其超胞积是${\displaystyle {\cfrac {{\sqrt {7}}a^{6}}{5760}}}$，表胞积是${\displaystyle {\cfrac {7{\sqrt {3}}a^{5}}{480}}}$，高是${\displaystyle {\cfrac {{\sqrt {21}}a}{6}}}$。 若一个六維正七胞体的棱长为1，则其外接六維超球的半径为${\displaystyle {\frac {\sqrt {21}}{7}}}$，內切六維超球的半径为${\displaystyle {\frac {\sqrt {21}}{42}}}$。^[2]

作為一種排佈

六維正七胞體的排佈矩陣（英语：Configuration_(polytope)）為：^[2]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}7&6&15&20&15&6\\2&21&5&10&10&5\\3&3&35&4&6&4\\4&6&4&35&3&3\\5&10&10&5&21&2\\6&15&20&15&6&7\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

行和列對應於六維正七胞體的頂點、邊、面、胞、四維胞（英语：4-face）、五維胞（維基數據所列：Q18028552）。對角線上的數字表示該元素在六維正七胞體中的數量。非對角線的數量表示對應行所代表的元素上有多少列所代表的元素交於該處。由於六維正七胞體是一種自身對偶的多胞體，因此這個排佈矩陣旋轉180度後會相同。^[7][8]

頂點座標

若一個六維正七胞體幾何中心位於原點，且邊長為2單位長，則其頂點座標為：

${\displaystyle \left({\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(-{\sqrt {12/7}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

圖像

正投影圖

Ak考克斯特平面	A6	A5	A4
圖像
二面體群對稱性	[7]	[6]	[5]
Ak考克斯特平面	A3	A2
圖像
二面體群對稱性	[4]	[3]

參考文獻

1. French, K.L. The Hidden Geometry of Life: The Science and Spirituality of Nature. Gateway series. Watkins Media Limited. 2014. ISBN 9781780288451.
2. Klitzing, Richard. heptapeton. bendwavy.org. [2022-06-02]. （原始内容存档于2021-09-30）.
3. Ufuoma, Okoh and Ikhile, Agun. On Simplicial Polytopic Numbers. Asian Research Journal of Mathematics. 2019-06: 1–20. doi:10.9734/arjom/2019/v14i230122.
4. Joshua Lande. Fitting The Unknown (PDF). slac.stanford.edu. 2010-09-01 [2022-06-02]. （原始内容 (PDF)存档于2015-10-09）.
5. Ferretti, Elena. The algebraic formulation: Why and how to use it. Curved and Layered Structures (De Gruyter Open). 2015, 2 (1).
6. Coxeter, H.S.M. Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5). Regular Polytopes (book) 3rd. Dover. 1973: 296. ISBN 0-486-61480-8.
7. Coxeter 1973^[6], §1.8 Configurations
8. Coxeter, H.S.M. Regular Complex Polytopes 2nd. Cambridge University Press. 1991: 117. ISBN 9780521394901.