頌哈吉-施特拉森演算法

頌哈吉-施特拉森演算法（英語：Schönhage–Strassen algorithm）是漸近快速的大整数乘法算法。是由阿諾德·頌哈吉（英语：Arnold Schönhage）和沃爾克·施特拉森在1971年發明^[1]。若針對二個n位元的整數，其運行的位元複雜度（英语：bit complexity），若以大O符号表示，是${\displaystyle O(n\cdot \log n\cdot \log \log n)}$。演算法使用在有2ⁿ+1個元素的环上的迭代快速傅里叶变换，這是一種特別的數論轉換。

頌哈吉-施特拉森演算法演算法是以整數乘法的FFT方法為基礎。圖中所列的是用單純FFT法計算1234乘5678 = 7006652的過程。使用了模數337的數論轉換，選擇85為1的8次方根。為了說明方便，其中數字使用十進制表示，不用二進制表示。頌哈吉-施特拉森以此方式為基礎，再加上negacyclic convolutions

頌哈吉（右）和施特拉森（左）在上沃尔法赫数学研究所下西洋棋，1979年

頌哈吉-施特拉森演算法是1971年至2007年之間，漸近最快的乘法演算法，2007年時有一個新的乘法演算法Fürer演算法（英语：Fürer's algorithm），其漸近複雜度較低^[2]，不過Fürer演算法只有在大到天文數字的程度時，其速度才會比頌哈吉-施特拉森演算法快，實務上不會使用Fürer演算法（參考银河式算法）。

在實務上，當數字大於2²¹⁵至2²¹⁷（十進制下的10,000到40,000位數）時，頌哈吉-施特拉森演算法的速度會比較早期的卡拉楚巴算法和图姆-库克算法要快^[3][4][5]。GNU多重精度运算库用這個演算法計算至少1728至7808個64位元字節的數值（十進制下的33,000至150,000位數），依硬體架構而定^[6]，有一個用Java實現的頌哈吉-施特拉森演算法，可以計算十進位超過74,000位數^[7]。

頌哈吉-施特拉森演算法的應用包括数学哲学（例如互联网梅森素数大搜索以及計算圆周率近似值），實務的應用包括克羅內克代入（英语：Kronecker substitution），其中將整係數多項式的乘法有效的簡化為大數的乘法，GMP-ECM中用此算法來計算Lenstra橢圓曲線分解（英语：Lenstra elliptic curve factorization）^[8]。

細節

此段會說明頌哈吉-施特拉森演算法實現的細節，主要是依Crandall和Pomerance在《Prime Numbers: A Computational Perspective》書中的簡介^[9]。其中說明的和頌哈吉原始的方法有些差異：其中用離散加權轉換（discrete weighted transform）來快速計算負循環卷積（英语：negacyclic convolution）。另一個細節資訊的來源是高德纳的《计算机程序设计艺术》^[10]。此章節從建立blocks開始，最後會一步一步的說明演算法。

卷積

假設要將B基底的123和456用直式乘法相乘，B夠大，因此計算中不會有進位的情形。結果會是：

		1	2	3
	×	4	5	6
		6	12	18
	5	10	15
4	8	12
4	13	28	27	18

數列(4, 13, 28, 27, 18)稱為二個原始數列(1,2,3)和(4,5,6)的線性卷積（linear convolution）或非循環卷积（acyclic convolution）。只要有二個數列的線性卷積，要算出原數字在十進位以下的乘積就很簡單了：只需要處理進位（例如，最右欄的數字，只保留8，將1進到上一欄的27）。此例中可以得到正確的乘積56088。

有另外幾種也很有用的卷积。假設輸入數列有n個元素（假設3個），線性卷積會有n+n−1個元素，若將最右邊的n個元素加上最左邊的 n−1個元素，可以產生循環卷積（cyclic convolution）：

	28	27	18
+		4	13
	28	31	31

若在循環卷積的結果再考慮其進位，所得結果等效於原來兩數字的乘積mod Bⁿ − 1。在此例中，10³ − 1 = 999，將(28, 31, 31)計算其進位後得到 3141，而3141 ≡ 56088 (mod 999)。

相對的，若將最右邊的n個元素減去最左邊的n−1個元素，會產生負循環卷積（英语：negacyclic convolution）（negacyclic convolution）：

	28	27	18
−		4	13
	28	23	5

若在負循環卷積的結果再考慮其進位，所得結果等效於原來兩數字的乘積mod Bⁿ + 1。此例中，10³ + 1 = 1001。將(28, 23, 5)計算進位後得到3035，而3035 ≡ 56088 (mod 1001)。負循環卷積可能會有負數，可以用借位的方式消除其負數。

卷積定理

頌哈吉-施特拉森演算法和其他以快速傅立葉變換為基礎的乘法算法一樣，在本質上都是以卷积定理為基礎，可以快速的計算二個數列的循環卷積，卷积定理如下：

兩個向量的循環卷積可以將這兩個向量求其离散傅里叶变换（DFT），將所得向量依元素相乘，將所得結果再進行反离散傅里叶变换（IDFT）。

若依符號表示，可表示如下：

CyclicConvolution(X, Y) = IDFT(DFT(X) · DFT(Y))

若用快速傅里叶变换（FFT）來計算DFT及IDFT，再用遞迴的方式處理乘法演算法，來將DFT(X)和DFT(Y)相乘，就可以得到計算循環卷積的快速演算法。

在此演算法中，若計算負循環卷積會更有效：使用修改後的卷積定理版本（參考數論轉換）也可以有相同效果。假設向量X和Y的長度是n，而a是2n階的单位根（意思是a²ⁿ = 1，其他a的較小幂次都不等於1），可以定義第三個向量A，稱為加權向量：

A = (a^j), 0 ≤ j < n

A⁻¹ = (a^−j), 0 ≤ j < n

負循環卷積可以表示為下式：

NegacyclicConvolution(X, Y) = A⁻¹ · IDFT(DFT(A · X) · DFT(A · Y))

這和循環卷積的公式類似，只是輸入要先乘以A,輸出要乘以A⁻¹。

代數環的選用

离散傅里叶变换是抽象的運算，因此可以在任意环的代數結構下運作。一般而言是在複數下進行，但實際上為了要有準確的結果，要處理複數運算到足夠的精度，這種乘法不但慢，而且容易有錯誤。因此會用數論轉換的方式進行，是在整數模N（N為特定整數）的底下進行。

就像在複數平面上，每一階都可以找到原根一樣，給定任何的階數n，可以選擇適當的N，使得b是在整數模N的系統下，n階的原根（bⁿ ≡ 1 (mod N)，b其他較小的次幂，都不會是1 mod N）。

此演算法會花很多時間演算小數字的次幂，若用一個天真的方式來處理演算法，這會出現許多次。

1. 在FFT演算法中，原根b會一直的計算幂次，平方，並且和其他的數相乘。
2. 在計算原根a的次方，以計算加權向量A時，以及將A或A⁻¹和其他向量相乘的時候。
3. 在進行向量項對項的相乘時。

頌哈吉-施特拉森演算法的關鍵是選擇模數N等於2ⁿ + 1，其中的n是要轉換件數P=2^p的倍數。若標準系統，用二進位的形式表示大數值，有許多的好處：

• 所有的數字計算modulo 2ⁿ + 1，都可以只用移位和加法快速求得（這會在下一節解釋。）
• 此轉換會用到的所有原根都可以寫成2^k，因此原根和其他數字的相乘只需要用到移位，原根的平方和幂次都只是在其指數上的變化。
• 轉換向量的項對項遞迴乘法可以用逆循環卷積來計算，這比卷積要快，而且其結果會自動計算mod 2ⁿ + 1。

為了讓遞迴乘法比較方便，會將頌哈吉-施特拉森演算法定位為二個數字的乘積mod 2ⁿ + 1（n為某整數），而不是一般的乘法。這不會失去演算法的一般性，因為可以選擇夠大的n，使得乘積mod 2ⁿ + 1就是乘積本身。

移位的優化

在此演算法中，有許多和二個次幂相乘或相除（包括所有的原根）的情形是可以用較小數字的移位和相加達成。原因是因為觀察到以下的算式：

(2ⁿ)^k ≡ (−1)^k mod (2ⁿ + 1)

其中2ⁿ進制下的k位數，若用位值計數法表示，可以寫成(d_k−1,...,d₁,d₀)，代表數值${\displaystyle \scriptstyle \sum _{i=0}^{k-1}d_{i}\cdot (2^{n})^{i}}$，針對每一個d_i可得0 ≤ d_i < 2ⁿ。

因此可以簡化表示為二進制數字進行mod 2ⁿ + 1的計數：取最右邊（最小位）的n位元，減去較高位的n位元，再加上再高位的n位元，一直計算到所有位元都已處理為止。若所得的數超過0到2ⁿ的範圍，可以加或減模數2ⁿ + 1的倍數以進行正規化。例如，若n=3（因此模數是2³+1 = 9），要化簡的數字是656，可以得到：

656 = 1010010000₂ ≡ 000₂ − 010₂ + 010₂ − 1₂ = 0 − 2 + 2 − 1 = −1 ≡ 8 (mod 2³ + 1).

甚至，針對很多位元的移位，還有簡化的方式。假設數字A介於0到2ⁿ之間，希望乘以2^k。將k除以n可得到k = qn + r，其中r < n。因此可得：

A(2^k) = A(2^{qn + r}) = A[(2ⁿ)^q(2^r)] ≡ (−1)^q 左位移（英语：Shift_Left）(A, r) (mod 2ⁿ + 1).

因為A≤ 2ⁿ，且r < n。左移r位元後最多有2n−1位元，因此只需要一次位移和減法（之後可能要正規化）。

最終，若要除以2^k，可將此段的第一個式子平方，可得：

2²ⁿ ≡ 1 (mod 2ⁿ + 1)

因此

A/2^k = A(2^−k) ≡ A(2^{2n − k}) = Shift_Left(A, 2n − k) (mod 2ⁿ + 1).

演算法

此演算法有分割、評估（前向FFT）、各項相乘、內插（反FFT）以及合併的階段，類似Karatsuba算法和Toom-Cook算法。

假設輸入數字是x和y，以及整數N，以下演算法可以計算xy mod 2^N + 1的結果。假設N夠大，使得乘積取模數後的結果仍是乘積本身。

1. 將輸入的數字分割為向量X和Y，各有2^k個元素，其中2^k是N的因素（例如將12345678 → (12, 34, 56, 78)）。
2. 為了運算方便，需要用較小的N以進行遞迴乘法。因此選擇n是大於2N/2^k + k，而且可被2^k整除的最小數字。
3. 利用負循環卷積計算XY mod 2ⁿ + 1：
   1. 將X和Y和加權向量A相乘，作法是使用移位（將第j項左移jn/2^k）
   2. 用數論FFT計算X和Y的DFT（將所有乘法用移位表示：針對第2^k次原根，使用2^2n/2k）。
   3. 遞迴的應用此演算法，將轉換後的X和Y對應項相乘。
   4. 計算所得向量的IDFT，得到結果向量C（用移位代替乘法），這對應內插階段。
   5. 將結果向量C和A⁻¹相乘，用移位來進行。.
   6. 調整符號：結果的一些項可能是負的。可以計算C的第j項的最大可能正值(j + 1)2^2N/2k，若有超過，再減去模數2ⁿ + 1。
4. 最後，處理進位mod 2^N + 1，得到最終的結果。

輸入數字最佳的分割組數和${\displaystyle {\sqrt {N}}}$成比例，其中N是輸入數字的位元數，此設法會讓執行時間的複雜度為O(N log N log log N),^[1][9]，因此需依規則設定參數k。實務上，會依輸入數字大小以及演算法架構而定，一般會介於4到16之間^[8]。

在步驟2，已觀察到以下的現象：

• 輸入向量的每一項最多只有n/2^k個位元。
• 二個輸入向量項的乘積最多有2n/2^k個位元。
• 卷積的每一個元素是最多2^k個乘積的和，因此不會超過 2n/2^k + k個位元。
• n一定要可被2^k整除，以確保在步驟1的遞迴呼叫中2^k 整除N"的條件會成立。

參考資料

1. A. Schönhage and V. Strassen, "Schnelle Multiplikation großer Zahlen （页面存档备份，存于互联网档案馆）", Computing 7 (1971), pp. 281–292.
2. Martin Fürer, "Faster integer multiplication 互联网档案馆的存檔，存档日期2013-04-25.", STOC 2007 Proceedings, pp. 57–66.
3. Van Meter, Rodney; Itoh, Kohei M. Fast Quantum Modular Exponentiation. Physical Review. A. 2005, 71 (5): 052320. S2CID 14983569. arXiv:quant-ph/0408006 . doi:10.1103/PhysRevA.71.052320.
4. Overview of Magma V2.9 Features, arithmetic section 互联网档案馆的存檔，存档日期2006-08-20.: Discusses practical crossover points between various algorithms.
5. Luis Carlos Coronado García, "Can Schönhage multiplication speed up the RSA encryption or decryption? Archived", University of Technology, Darmstadt (2005)
6. MUL_FFT_THRESHOLD. GMP developers' corner. [3 November 2011]. （原始内容存档于24 November 2010）.
7. An improved BigInteger class which uses efficient algorithms, including Schönhage–Strassen. Oracle. [2014-01-10].
8. Pierrick Gaudry, Alexander Kruppa, and Paul Zimmermann. A GMP-based Implementation of Schönhage–Strassen’s Large Integer Multiplication AlgorithmArchived. Proceedings of the 2007 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, pp.167–174.
9. R. Crandall & C. Pomerance. Prime Numbers – A Computational Perspective. Second Edition, Springer, 2005. Section 9.5.6: Schönhage method, p. 502. ISBN 0-387-94777-9
10. Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming（计算机程序设计艺术）, Volume 2: Seminumerical Algorithms (3rd Edition), 1997. Addison-Wesley Professional, ISBN 0-201-89684-2. Section 4.3.3.C: Discrete Fourier transforms, pg.305.