第
個立方數指可以寫成
的數,當中
必為整數。立方數是邊長
的立方體的體積。作為算術用語的「立方」,表示任何數
的三次冪,可用³(Unicode字元179)來表示。
和平方數不同,立方數可存在負數。
若將立方数概念扩展到有理数,则两个立方数的比仍然是立方数,例如, (2 × 2 × 2) / (3 × 3 × 3) = 8/27 = 2/3×2/3×2/3。
若一个整数没有除了 1 之外的立方数為其因數,则称其为無立方數因數的數。
首十二個立方數
A000578為:1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, ...(第零個是0)
雖然形狀不同,每個立方數第
個立方數同時都是第
個六角錐數,即首
個中心六邊形數之和。
立方數和
首
個正立方數之和為
,即第
個三角形數的平方
每個整數均可表示成9個或以下的正立方數之和。(華林問題)
1939年,狄克森證明只有23和239需要用9個正立方數的和來表示。
亞瑟·韋伊費列治證明只有15個整數須用8個:15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454 (
A018889)
的士數和士的數都指最小能表示成兩個立方數之和的數,但的士數的必須為正數,士的數則無此限。(見1729)
只有一組連續三個立方數之和亦是立方數,就是3, 4, 5的立方,其和等於6的立方。
在十进制,除了1之外,僅有4個的正整數其數字立方之和等同它本身,它們為153, 370, 371, 407,他們是
的自戀數。這4個三位數,亦可視為將它的數字分成三份,每份的立方之和,相似性質的整數有無限個,如165033, 221859, 336700等(
A056733)。
性質
- 除了0以外,立方數不可能是普洛尼克數。[註 1]
- 除了0以外,立方數也不可能是連續若干個(至少兩個)數的積。[註 2]
- 除了0,1,8以外,立方數不可能是費波那契數。
- 除了1以外,立方數也不可能是盧卡斯數。
- 除了0,1以外,立方數不可能是佩爾數。
- 除了0,1以外,立方數不可能是三角形數、五角數等多邊形數。
- 除了1以外,立方數不可能是中心正方形數、中心五邊形數等中心多邊形數。
- 除了1,8以外,立方數也不可能是烏拉姆數列出現的數。
- 除了1,226981(61的立方)以外,立方數不可能是星數。
- 除了1以外,立方數在楊輝三角形只出現二次。
- 除了0000和9999以外,立方數末4四位數不可能相同
- 立方數不可能是楔形數、半質數。
- 0以外的立方數每一位數數字相加之和,不停重複地相加到剩一位數時必定是 1, 8, 9。
- 是否在相继立方數之间存在一个素数这一命题,对1000000000000以内的数目是正确的。
- 立方數是模任何整數的三次剩餘;另外,如果某個整數是模任何整數的三次剩餘,那麼它一定是立方數。
- 立方數的正因數個數一定是3的倍數加1。
涉及立方数和的问题
的整数解
- 方程
除了有4组解
以外,是否还有其它整数解?
- 方程
有整数解
[1]
- 方程
有整数解
[2]
- 方程
是否有整数解?
其他
- 立方質數的定義為
,其中
或
。
参见
註釋
外部链接
参考文献