普洛尼克数

在數學中，普洛尼克数（pronic number），也叫矩形数（oblong number），是两个连续非负整数积，即${\displaystyle n\times (n+1)}$。第n个普洛尼克数都是n的三角形数的两倍。开头的几个普洛尼克数是：

0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 702, 756, 812, 870, 930, 992, 1056, 1122, 1190, 1260, 1332, 1406, 1482, 1560, 1640, 1722, 1806, 1892, 1980, 2070, 2162, 2256, 2352, 2450, 2550, ...（OEIS數列A002378）

性質

• 普洛尼克数也可以表达成${\displaystyle n^{2}+n}$。
• 对于第n个普洛尼克数也正好等于头n个偶数的和，也是第n个三角形数的两倍。^[1]
• 普洛尼克数不可能是奇数，因為它必須為一偶數與奇數之積，而且是三角形数的两倍。^[1]
• 普洛尼克数的數字根必為2、3、6、9。^{[註 1]}
• 普洛尼克数的末位數只可能是0、2、6。^{[註 2]}
• 除了0以外，普洛尼克數也不可能是平方數^{[註 3]}。
• 除了0以外，普洛尼克數也不可能是次方數。^{[來源請求][查证请求][原創研究？]}
• 除了6以外，普洛尼克數也不可能是完全數。^{[來源請求][查证请求][原創研究？]}
• 一個非負整數是普洛尼克數，若且唯若此數的4倍加1是平方數。^{[註 4]}
• 連續兩個普洛尼克數的平均是平方數。^{[註 5]}
• 显然，2是唯一的一个素普洛尼克数，也是斐波那契数列中唯二的普洛尼克数（另一個是0）^[2]。

特殊的普洛尼克數

• 同時為普洛尼克數及三角形數的數（不定方程${\displaystyle x(x+1)={\frac {y(y+1)}{2}}}$）：最小的幾個為0, 6, 210, 7140, 242556, 8239770,……^[3][4]，對應的${\displaystyle x}$值分別為0, 2, 14, 84, 492, 2870,……（OEIS數列A053141），對應的${\displaystyle y}$值分別為0, 3, 20, 119, 696, 4059,……（OEIS數列A001652）。

註釋

1. 若n≡0 (mod 9)，則n×(n+1)≡0×1≡9 (mod 9)

   • 若n≡1 (mod 9)，則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 9)
   • 若n≡2 (mod 9)，則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 9)
   • 若n≡3 (mod 9)，則n×(n+1)≡3×4≡12≡3 (mod 9)
   • 若n≡4 (mod 9)，則n×(n+1)≡4×5≡20≡2 (mod 9)
   • 若n≡5 (mod 9)，則n×(n+1)≡5×6≡30≡3 (mod 9)
   • 若n≡6 (mod 9)，則n×(n+1)≡6×7≡42≡6 (mod 9)
   • 若n≡7 (mod 9)，則n×(n+1)≡7×8≡56≡2 (mod 9)
   • 若n≡8 (mod 9)，則n×(n+1)≡8×9≡72≡9 (mod 9)

   故得證。
2. 若n≡0 (mod 10)，則n×(n+1)≡0×1≡0 (mod 10)

   • 若n≡1 (mod 10)，則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 10)
   • 若n≡2 (mod 10)，則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 10)
   • 若n≡3 (mod 10)，則n×(n+1)≡3×4≡12≡2 (mod 10)
   • 若n≡4 (mod 10)，則n×(n+1)≡4×5≡20≡0 (mod 10)
   • 若n≡5 (mod 10)，則n×(n+1)≡5×6≡30≡0 (mod 10)
   • 若n≡6 (mod 10)，則n×(n+1)≡6×7≡42≡2 (mod 10)
   • 若n≡7 (mod 10)，則n×(n+1)≡7×8≡56≡6 (mod 10)
   • 若n≡8 (mod 10)，則n×(n+1)≡8×9≡72≡2 (mod 10)
   • 若n≡9 (mod 10)，則n×(n+1)≡9×10≡90≡0 (mod 10)

   故得證。
3. 因為n與(n+1)差1，所以兩數互質，故若n×(n+1)為平方數，則n與(n+1)也皆為平方數，2個平方數差1，則必為0與1，因此唯一的普洛尼克數兼平方數為0=0×1。
4. 普洛尼克数 n(n+1) 的4倍加1是4n²+4n+1 = (2n+1)²
5. 两个相邻的普洛尼克数 n(n+1) 和 (n+1)(n+2) 的平均是 (2n+2)(n+1)/2 = (n+1)²

参考资料

1. Knorr, Wilbur Richard（英语：Wilbur Knorr）, The evolution of the Euclidean elements, Dordrecht-Boston, Mass.: D. Reidel Publishing Co.: 144–150, 1975 [2021-03-18], ISBN 90-277-0509-7, MR 0472300, （原始内容存档于2016-05-08）.
2. McDaniel, Wayne L., Pronic Fibonacci numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1998, 36 (1): 56–59 [2017-05-26], MR 1605341, （原始内容存档 (PDF)于2020-09-29）
3. Sloane, N.J.A. (编). Sequence A029549 (Triangular numbers that are also pronic numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
4. pronic numbers. NUMBERS APLENTY. [2021-02-05]. （原始内容存档于2021-02-25）.