在拓扑学和相关数学领域中,离散空间指一种特别简单的拓扑空间或相似的结构,在其中点都在特定意义下是相互孤立的。
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离散拓扑是可以在集合上给出的最精细的拓扑。离散拓扑中的每个子集都是开集,因此每个单子集也都是开集。
给定集合X:
- 在X上的离散拓扑是通过X的所有子集是开集(因此也是闭集)而定义的。如果X配备了它的离散拓扑,则X组成了离散拓扑空间;
- 在X上的离散一致是通过令X × X中的对角集的所有子集为周围(entourage)而定义的。如果X配备了它的离散一致,则X组成了离散一致空间;
- 在X上的离散度量定义为
- 。这时,被称为离散度量空间或孤点空间;
- 给定拓扑空间的离散子空间是指的拓扑子空间(的子集与的子空间拓扑),其拓扑等于离散拓扑。例如,若具有通常的欧几里得拓扑结构,那么(赋予了子空间拓扑)就是的离散子空间,而不是;
- (取决于),使得,且这样的集合由孤点组成,则集合在度量空间中是离散的;
- 集合,若,使得离散的,则集合在度量空间中一致离散。
若某个堆积半径(Packing Radius)要么有要么有,则称度量空间是一致离散集。[1]度量空间之下的拓扑空间可以是离散的,而没有一致离散的度量:例如在实数的集合上的平常度量。
离散空间不一定一致离散的证明
令,以实数的平常度量考虑该集合。由于,都可以用开区间(其中)包围之,则是离散空间。因此,交集完全是单元素集。由于实数开集与的交对诱导拓扑来说也是开的,所以是开集,单元素集也是开集,是离散空间。
然而,不是一致离散的。设,使得只要就有,则只需证中至少有、两点比更近即可。由于相邻点与的间距为,我们需要找到满足此式的:
由于总有大于任何给定实数,因此中总有至少两点的间距小于,因此不一致连续。
离散结构常常用作不带任何其他自然拓扑、一致或度量的集合的“默认结构”。离散结构常用作检验特定假设的“极端”例子。例如,将离散拓扑结构赋予任何群,都可将其视作拓扑群,这意味着拓扑群相关的理论适用于所有群。实际上,分析学家更可能指被代数学家称为“离散群”的平凡非拓扑群。有时这一点会有很好的应用,例如结合庞特里亚金对偶性时。
0维流形(或微分、或解析流形)就只是离散可数拓扑空间(不可数离散空间不是第二可数空间)。由此,我们可以把任何离散可数群视作0维李群。
尽管离散空间从拓扑学的角度看没有什么令人兴奋的,但却可以从它们构造有趣的空间。例如,可数无限多个自然数离散空间的积与无理数空间同胚,这里的同胚由连分数展开给出。可数无限多个离散空间的积与康托尔集同胚;事实上如果在积上应用积一致结构,则它与康托尔集是一致同构的,这种同构通过数字的三进制表示·给出(见康托尔空间)。局部单射函数的每个纤维都必然是其定义域的离散子空间。
在数学基础中,对积紧性的研究是超滤子原理(等同于布尔素理想定理)的拓扑方法的核心,而超滤子原理是选择公理的弱形式。
在某种意义上,离散拓扑的对立是密着拓扑(也称为“不可分拓扑”),具有最少可能数目的开集(即空集和空间自身)。离散拓扑面向始对象或自由对象,而密着拓扑面向终对象或余自由对象:所有从拓扑空间到密着空间的函数都是连续的。