拓撲比較

在拓撲學和其相關的數學領域裡，拓撲比較是指在同一個給定的集合上的兩個拓撲結構之間的關係。在一給定的集合上的所有拓撲會形成一個偏序集合。此一序關係可以用來做不同拓撲之間的比較。

定義

定義 — ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}$ 和 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$ 都是 ${\displaystyle X}$ 的拓扑，若 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}\subseteq {\mathfrak {T}}_{2}}$ 称 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$ 比 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}$更细（fine）或更強（strong），或称 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}$ 比 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$更粗（coarse）或更弱（weak）。

進一步的，若 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}\subset {\mathfrak {T}}_{2}}$ ，称 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$ 比 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}$嚴格细（strictly fine），或称 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}$ 比 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$嚴格粗（strictly coarse）。^[1]

直觀上，${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$ 有更多甚至是「更小」的鄰域去逼近拓撲空間中的一點，所以相較之下，其拓撲結構比較「細緻」。但在 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$ 意義下定義的 「極限」要求在更多的鄰域都要能找到逼近點，所以其拓撲結構在收斂的意義下比較「強」。至於嚴格細或粗，就是額外要求 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}\neq {\mathfrak {T}}_{2}}$ 。

二元關係 ${\displaystyle \subseteq }$ 在 ${\displaystyle X}$ 所有的拓撲所組成的集合上定義了一個偏序集合。

例子

${\displaystyle X}$ 的拓扑裡，最粗的是由空集和全集两个元素构成的：

${\displaystyle {\mathfrak {T}}=\{X,\,\varnothing \}}$

而最细的拓扑是离散拓扑（discrete topology），也就是${\displaystyle X}$ 的冪集：

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{D}={\mathcal {P}}(X)}$

最粗拓撲

定理 — 設 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的一個子集族，則：

${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}=\bigcap {\bigg \{}{\mathfrak {T}}\,{\bigg |}\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}}){\bigg \}}}$

也是 ${\displaystyle X}$ 的拓扑。

證明

根據定理的條件，對所有集合 ${\displaystyle A}$ 有：

${\displaystyle O\in \tau _{\mathcal {F}}\Leftrightarrow (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (O\in {\mathfrak {T}})\right\}}$ (a)

以下將逐條檢驗拓扑的定義，來驗證 ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ 的確是${\displaystyle X}$ 的拓扑：

(1) ${\displaystyle X,\,\varnothing \in \tau _{\mathcal {F}}}$

若 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ 的確是 ${\displaystyle X}$ 的拓扑，那由拓扑的定義可以得到 ${\displaystyle X,\,\varnothing \in {\mathfrak {T}}}$ ，這樣從式(a)右方就可以得到 ${\displaystyle X,\,\varnothing \in \tau _{\mathcal {F}}}$ 。

(2) ${\displaystyle U,\,V\in \tau _{\mathcal {F}}}$ 則 ${\displaystyle U\cap V\in \tau _{\mathcal {F}}}$

若 ${\displaystyle U,\,V\in \tau _{\mathcal {F}}}$ ，從式(a)左方有：

${\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (U\in {\mathfrak {T}})\right\}}$

${\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (V\in {\mathfrak {T}})\right\}}$

所以有：

${\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (U,\,V\in {\mathfrak {T}})\right\}}$

所以根據拓扑的定義有：

${\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (U\cap V\in {\mathfrak {T}})\right\}}$

這樣從式(a)右方就可以得到 ${\displaystyle U\cap V\in \tau _{\mathcal {F}}}$ 。

(3) ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq \tau _{\mathcal {F}}}$ 則 ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {G}}\in \tau _{\mathcal {F}}}$

若 ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq \tau _{\mathcal {F}}}$ ，那對任意 ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$ ，從式(a)左方有：

${\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (g\in {\mathfrak {T}})\right\}}$

所以有：

${\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow ({\mathcal {G}}\subseteq {\mathfrak {T}})\right\}}$

所以根據拓扑的定義有：

${\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (\bigcup {\mathcal {G}}\in {\mathfrak {T}})\right\}}$

所以從式(a)右方可以得到 ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {G}}\in \tau _{\mathcal {F}}}$ 。

綜上所述，來驗證 ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ 的確是 ${\displaystyle X}$ 的拓扑。${\displaystyle \Box }$

根據以上的定理，可以做以下的定義：

定義 — ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的一個子集族，則：

${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}=\bigcap {\bigg \{}{\mathfrak {T}}\,{\bigg |}\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}}){\bigg \}}}$

稱為包含 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 的最粗拓撲（或最弱拓撲）。

另見

• 初拓撲－可使集合上的一組映射皆為連續的拓撲之中，最粗糙的拓撲。
• 終拓撲－可使集合上的一組映射皆為連續的拓撲之中，最精細的拓撲。

參考資料

1. Munkres, James R. Topology 2nd. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 2000: 77–78. ISBN 0-13-181629-2.