格蘭迪級數(英語:Grandi's series),即
,是由意大利數學家格蘭迪在1703年發表的。後來荷蘭數學家丹尼爾·伯努利和瑞士數學家萊昂哈德·歐拉等人也都曾研究過它。格蘭迪級數寫作:
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed1c55a1ac34c32acb7e1c72b2176f8b791448a)
它是一個發散級數,也因此在一般情況下,這個無窮級數是沒有和的。但若對該發散級數進行一些特別的求和處理時,就會有特定的和出現。格蘭迪級數的歐拉和和切薩羅和均為
。
格蘭迪級數與級數1 − 2 + 3 − 4 + …有緊密的聯繫。歐拉將這兩個級數當作1 − 2n + 3n − 4n + …的特例(其中
為任意自然數),這個級數既直接擴展了他在巴塞爾問題上所做的工作,同時也引出了現在所知的狄利克雷η函數和黎曼ζ函數。
針對以下的格蘭迪級數
- 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …
一種求和方式是求它的裂項和:
- (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.
但若調整括弧的位置,會得到不同的結果:
- 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.
用不同的方式為格蘭迪級數加上括弧進行求和,其級數和可以得到0或是1的值。
格蘭迪級數為发散几何级数,若將收斂幾何級數求和的方式用在格蘭迪級數,可以得到第三個數值:
= 1 − 1 + 1 − 1 + …,因此
- 1 −
= 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … =
,即
- 2
= 1,
可得到
=
[1]。
依照上述的計算,可以得到以下的二種結論:
- 格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + … 的和不存在[1][2]。
- 格蘭迪級數的和為
[2]。
上述二個答案都可以精確的證明,但需要用19世紀提出的一些良好定義的數學概念。從17世紀歐洲開始使用微積分起,一直到現在嚴謹的數學成型之前,上述二個答案已造成數學家們尖銳及無止盡的爭論[3][4]。
對於格蘭迪級數
,看似可以用以下的方式處理,得到數值
:
- 級數內的數兩兩相加或相減。
- 每一項乘以一個係數。
- 調整括弧順序。
- 在級數前面增加新的項。
不過因為上述的處理方式只能適用在收斂的級數,而
不是收斂級數,因此上述處理都不適用。
由於各項 1,−1,1,−1,1,−1,…… 以一種簡單模式排列,格蘭迪級數可以透過移項以及逐項求和,再透過解方程得出一數值。暫時假設
這樣的寫法有意義——其中的
為常數,那麼以下的計算將說明
:
![{\displaystyle {\begin{smallmatrix}2s\ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )&+\,1\,+&(\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,1\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&1\,\ +&[\,(\,\underbrace {1\,-\,1\,-\,1\,+\,1} _{0}\,)\quad &+\ \ \;\;\,&(\,\underbrace {-\,1\,+\,1\,+\,1\,-\,1} _{0}\,)\,+\,\cdots ]\end{smallmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056466ea3bbda58c1f81516bf8ce589c61e22f9c)
因此,
[5]。
再者,有許多的求和方式可以處理發散級數,並且可以對一些發散級數求和;其中相對簡單的方法是切薩羅求和[6]。
恩納斯托‧切薩羅在1890年第一個出版有關對發散級數求和的嚴謹方法,就是切薩羅和。基本概念類似萊布尼茲的機率法,一個級數的切薩羅和是其所有分項和的平均。也就是針對每個
,計算前
項的和
的平均,當
趨近無限大時的極限值即為切薩羅和。
以格蘭迪級數而言,而數列
的各項分別為
,
而
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}={\frac {1}{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5feafd0975b01beab34d482371bb29658a402570)
因此,格蘭迪級數的切薩羅和為
。
也可以用廣義的切薩羅和
來計算[7]。
這個級數的部分和如下:
![{\displaystyle {\begin{cases}S_{1}=1\\S_{2}=1-1=0\\S_{3}=1-1+1=1\\S_{4}=1-1+1-1=0\\\quad \;\,\vdots \end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f796816f17f218299f72a03151e5ecca560852)
由此得出另一個無窮序列:
,
根據無窮級數的定義,
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\,(-1)^{n}=\lim _{n\to \infty }S_{n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37618c02f69e9c010b517ebde3a84a6c83cbab8c)
但是
的無窮序列無法收斂到某個固定值(不斷在0和1之間來回變動),所以
發散。
因此
這個級數也發散。
以下的幂級數和格蘭迪級數有關,也是其母函数:
![{\displaystyle f(x)=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots ={\frac {1}{1+x}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8da3c373e0b5b22da4037f93a7b531191355f378)
格蘭迪級數在另一個重要的級數中出現:
![{\displaystyle \cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ded71af84483938b4e3a3eb936e8effc0c9af2)
若x = π,其上述級數化簡為−1 + 1 − 1 + 1 − · · ,歐拉認為其值符合以下的關係式Σ cos kx = −1⁄2,不過達朗貝爾不同意此關係式,而拉格朗日認為這可以用類似歐拉對格蘭迪級數的理解來延伸說明[8]。
歐拉的聲明推測
![{\displaystyle 1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)=0?}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1deadba82b67c2cd8da638b6a1f9998f905799a)
針對所有的x,此級數都發散,不過對於幾乎所有的x,切萨罗和均為0。不過在x = 2πn時,其級數發散,而且是狄拉克梳的傅立葉級數。其一般和、切萨罗和及阿貝爾和分別和狄利克雷核、费耶核及泊松核的極限有關[9]。
將格蘭迪級數各項乘以1/nz可以得到以下的狄利克雷级数
![{\displaystyle \eta (z)=1-{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}-{\frac {1}{4^{z}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{z}}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af070f06c817d67d2fd8685c9477ae960cedfc1)
上述級數只有在實部大於0的複數z才會收斂,若令z = 0,即為格蘭迪級數。
不同於幾何級數,狄利克雷级数對於1 − 1 + 1 − 1 + · · · 的求和沒有什麽幫助。即使在右半平面上,上述的
也無法用初等函數來表示,也沒有直接證據可以證明當z趨近0時,
的極值。
另一方面,若使用其他較強的求和法,則上述的
可定義一個在整個複數平面的函數-狄利克雷η函数,而且此函數為解析函数。若z的實部> −1,就可以用切薩羅和進行求和,因此η(0) = 1⁄2。
狄利克雷η函数和另一個著名的狄利克雷级数及函數有關:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\eta (z)&=&\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}+{\frac {1}{4^{z}}}+\cdots -{\frac {2}{2^{z}}}\left(1+{\frac {1}{2^{z}}}+\cdots \right)\\[1em]&=&\displaystyle \left(1-{\frac {2}{2^{z}}}\right)\zeta (z),\end{array}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15bdf898b79dd021b9adbcd40469ac6e7ba1329b)
其中ζ為黎曼ζ函數。若將格蘭迪級數的和再配合上述公式,可以得到ζ(0) = −1⁄2。參照1 + 1 + 1 + 1 + …。
上述的關係式也可以推得一些更重要的性質。由於黎曼ζ函數可表示為η(z)和(1 − 21−z)相除的結果,二個函數在整個複數平面均為解析函数,而後者的零点是在z = 1的簡單零點,因此可得ζ(z)為亚纯函数,只在z = 1有一個極點[10]。
格蘭迪級數及其衍生的級數常在物理學的各領域中出現,最典型的是量子化的费米子場,其中同時有正的及負的特徵值,例如手征口袋模型(chiral bag model)。不過這些級數也出現在玻色子的相關研究中,例如卡西米爾效應。
在光谱非对称性領域也會用到由格蘭迪級數衍生的級數,而其求和方式是正規化的一部份,例如ζ函數正規化就是其中的一種。
Hardy (p.6) 結合格蘭迪級數
的計算提出了此推導過程。
Smail, Lloyd. History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes. University of Oregon Press. 1925: p.131. LCC QA295 .S64.
Ferraro, Giovanni. Convergence and formal manipulation in the theory of series from 1730 to 1815. Historia Mathematica. 2005, 34: 62. doi:10.1016/j.hm.2005.08.004.