1 + 1 + 1 + 1 + …

1 + 1 + 1 + 1 + …，亦寫作 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{0}}$, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1^{n}}$或${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1}$，是一個發散級數，表示其部份和形成的數列不會收斂。數列1ⁿ可以視為公比為1的等比級數。不同於其他公比為有理數的等比級數，此級數不但在實數下不收斂，在某些特定數字p的p進數下也不收斂。若在擴展的實數軸中，因為部份和形成的數列單調遞增且沒有上界，因此級數的值如下：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1=+\infty \,,}$

級數1 + 1 + 1 + 1 + ⋯

平滑化之後

平滑化後的漸近特性，此直線在y軸的截軸為−1/2^[1]

此發散級數無法用切薩羅求和及阿貝爾和的求和法求和。

当出现于物理运用时，它也解释为ζ函數正規化（英语：Zeta function regularization），它是黎曼ζ函數在零点的取值。

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\,,}$

上述二個公式在${\displaystyle s=0}$時不成立，必需利用解析连续定义。

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!,}$

用上式求得（假設${\displaystyle \Gamma (1)=1}$）

${\displaystyle \zeta (0)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \zeta (1-s)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {\pi ^{3}s^{3}}{48}}+...\right)\ \left(-{\frac {1}{s}}+...\right)=-{\frac {1}{2}}\!}$

以下ζ(s)在s = 1時的級數展開：也是這種意義下此級數的和：

1 + 1 + 1 + 1 + · · · = ζ(0) = −¹⁄₂^[2]

也可用其他的s值來為其他的級數求和，例如ζ(-1)=1 + 2 + 3 + 4 + ⋯=–1/12，ζ(-2)=1 + 4 + 9 + ... = 0，其通式為

${\displaystyle \zeta (-s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{s}=1^{s}+2^{s}+3^{s}+\ldots =-{\frac {B_{s+1}}{s+1}}}$

其中B_k為伯努利数^[3]。

在同一年內，有兩位傑出的物理學家斯拉夫诺夫（A. Slavnov）和F. Yndurain 分别在巴塞羅那作了学术演讲。两场学术演讲的主题不同，但是在這兩個人的介紹當中，都说到了一句令觀眾非常難忘的话：“各位都知道，1 + 1 + 1 + 1 + … = −1⁄2”，某程度意味著「如果觀眾不知道这个，那么继续听下去是没有意义的。」 ^[4]

參考資料

1. Tao, Terence, The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation, April 10, 2010 [January 30, 2014], （原始内容存档于2017-06-06）
2. Cosmology: Techniques and Observations. [2008-10-03]. （原始内容存档于2020-11-17）.
3. Tao, Terence. The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation. 2010-04-10 [2014-03-10]. （原始内容存档于2017-06-06）.
4. Elizalde, Emilio. Cosmology: Techniques and Applications. Proceedings of the II International Conference on Fundamental Interactions. 2004 [2008-10-03]. （原始内容存档于2020-11-17）.