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阿貝爾定理是冪級數的一個重要結果。
設為一冪級數,其收斂半徑為R。若对收敛圆(模长为 R 的复数的集合)上的某个复数,级数收斂,則有: 。
若收斂,則結果顯然成立,無須引用這个定理。
设级数收斂,下面证明:
令,则幂级数 的收敛半径为1,并且只需证明
令,则可化归到,于是以下只需要考虑 的情况。
设,那么。由幂级数性质可知 的收敛半径也是1。于是
对于任意的,固定 使得
再固定使得
于是对,
这就证明了
于是阿贝尔定理得证。
从证明中可以看出,对于一个固定的正数,设区域:
那么只要 在趋近于1,就有阿贝尔定理成立。
阿贝尔定理的一个有用应用是计算已知收敛级数。方法是通过在级数每项后加上项,将问题转换为幂级数求和,最后再计算 x 趋于 1 时幂级数的极限。由阿贝尔定理可知,这个极限就是原级数的和。
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