幾乎所有

數學中，幾乎所有（英語：Almost all）表示「除了極少數可忽略的以外，其他都是」。更準確的說法，若${\displaystyle X}$是集合，「集合${\displaystyle X}$中幾乎所有的元素」表示「集合${\displaystyle X}$中，不考慮在某個可忽略（英语：negligible set）子集內元素的其他元素。」「可忽略」的具體意思則依上下文而定，可能是有限集合、可數集或零测集。

相反的，幾乎沒有（almost no）表示「只有極少數可忽略的是」，「集合${\displaystyle X}$中幾乎沒有的元素」表示「集合${\displaystyle X}$中，只有在某個可忽略子集內的元素」。

不同數學領域中的意思

普遍的意思

數學裡的「幾乎所有」有時會指「无限集合中的元素，只有有限多個不符合，其餘都符合」的情形^[1][2]。此用法也會用在哲學上^[3]。「幾乎所有」也可以指「不可數集中的元素，只有可數數量的不符合，其餘都符合」的情形^{[sec 1]}。

例如：

• 幾乎所有正實數都超過10^12[4]:293。
• 幾乎所有质数都是奇数（只有2例外）^[5]
• 幾乎所有多面体都是非正多面體（只有九個例外，五個柏拉圖立體和四個星形正多面體）。
• 若P是非零多項式，則P(x) ≠ 0對幾乎所有的x都成立。

量測理論中的意思

更多信息：幾乎處處

康托尔函数是幾乎處處導數都為零的函數

在探討实数時，有時「幾乎所有」是指「除了在某個零测集以外的所有實數。」^{[6][7][sec 2]}。同様地，若S是某個實數集合，則「幾乎所有在集合S裡的數字」是指「除了在某個零测集以外，集合S的所有實數。」^[8]數線可以視為是一維的欧几里得空间。在更廣義的n維空間（n為正整數），其定義則推廣為「除了在某個零测集以外，空間裡的所有點。」^{[sec 3]}或是「除了在某個零测集以外，集合S裡的所有點。」 （此時，S是空間中點的集合）^[9]。更廣義的說法，「幾乎所有」在测度理論中有時是指幾乎處處^{[10][11][sec 4]}，或是概率论中的几乎必然^{[11][sec 5]}。

例子：

• 在测度空间（例如實數）裡，可數集是零测集。有理数的集合可數，因此幾乎所有的實數都是無理數^[12]。
• 康托爾的第一篇集合論論文（英语：Cantor's first set theory article）證明了代數數的集合也是可數的，因此幾乎所有的實數都是超越數^{[13][sec 6]}。
• 幾乎所有實數都是正规数^[14]。
• 康托尔集也是零测集，雖然康托尔集不可數，但幾乎所有實數都不在內^[6]。
• 康托尔函数的導數在单位区间內幾乎所有數字下均為0^[15]。這是以上範例的結果，因為康托尔函数是局部常數函數（英语：locally constant functio），在康托尔集以下，其導數為0。

數論中的意思

更多信息：漸進幾乎必然

数论中的「幾乎所有正整數」可以指「自然密度為1集合裡的正整數」。也就是說，若A是一個正整數的集合，當n趨近無限大時，小於n，在集合A裡的正整數數量，除以小於n的正整數數量，比值趨近於1，則幾乎所有整數都是在集合A內^{[16][17][sec 7]}。

若再進一步推廣，令S是正整數的無窮集合，例如正的偶數集合或是质数集合，若A是S的子集合，且當n趨近無限大時，若集合A裡小於n的元素數量，除以集合S裡小於n的元素數量，比值趨近於1，則可以說幾乎所有集合S裡的元素都在集合A裡。

例子：

• 正整數的餘有限集（英语：cofinite set）其自然密度為1，因此每一個餘有限集都包括幾乎所有的正整數。
• 幾乎所有正整數都是合数^{[sec 7][proof 1]}
• 幾乎所有正的偶數都可以表示為二個質數的和^[4]:489。
• 幾乎所有質數都不是孪生素数。進一步說，針對每一個正整數g，幾乎所有質數的間隙都大於g，幾乎所有質數和其較大質數以及較小質數的間隔都都大於g，也就是說，在p − g和p + g之間沒有其他的質數^[18]。

拓撲學中的意思

在topology^[19]，特別是动力系统理论中^[20][21][22]（包括經濟學的應用）^[23] ，拓扑空间內幾乎所有的點可以指「除了在某個貧乏集（英语：meagre set）以外，所有此空間內的點。」有些則用更限定的定義，子集包括空間內幾乎所有的點，若這個子集包括某個开集的稠密集^[21][24][25]。

例子：

• 給定某個不可約（英语：hyperconnected space）代数簇，在簇內幾乎所有點都符合的性质就是普遍性質（英语：generic property）^{[sec 8]}。這是因為在具有扎里斯基拓扑的不可約代数簇裡，所有非空的開集合都是稠密集

代數中的意思

在抽象代数和数理逻辑中，若U是集合X的超滤子，「集合X內幾乎所有元素」有時是指「U的部份元素內的元素」^{[26][27][28][29]}。針對任何將X分為二個不交集的集合划分，其中一個不交集包括X裡幾乎所有的元素。^[29]

證明

1. 質數定理指出小於等於n的質數個數漸近等於n/ln(n)。因此，質數比例大約是ln(n)/n，隨著n趨近於无穷大，質數比例會趨近於0，而合數比例會趨近於1^[17]

相關條目

• 足夠大（英语：Sufficiently large）
• 幾乎
• 幾乎處處
• 几乎必然

參考資料

一次文獻

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外部連結

• 埃里克·韦斯坦因. Almost All. MathWorld.