截角大二十面體

在幾何學中，截角大二十面體又稱為大截角二十面體^[1]是一種由五角星和六邊形構成的星形多面體，具有二十面體群的對稱性，其結構可由大二十面體透過截角變換構造而得，其索引編號在馬德爾的文獻中為U₅₅、考克斯特的論文為C₇₁、溫尼爾的《多面體模型》中為W₉₅。

截角大二十面體

類別	星形均勻多面體
對偶多面體	大星形五角化十二面體
識別
名稱	截角大二十面體
參考索引	U55, C71, W95
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	tiggy
數學表示法
考克斯特符號 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	t{3,5/2} t0,1{3,5/2}
威佐夫符號 （英语：Wythoff symbol）	2 5/2 | 3 2 5/3 | 3
性質
面	32
邊	90
頂點	60
歐拉特徵數	F=32, E=90, V=60 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	12個五角星{5/2} 20個正六邊形{6}
面的佈局 （英语：Face configuration）	12{5/2}+20{6}
頂點圖	6.6.5/2
對稱性
對稱群	Ih, [5,3], *532
圖像
6.6.5/2 （頂點圖） 大星形五角化十二面體 （對偶多面體）
查 论 编

截角大二十面體的對偶多面體是大星形五角化十二面體^[2]。

性質

截角大二十面體共由32個面、90條邊和60個頂點組成^[3]。其32個面由12個五角星和20個正六邊形組成，每個頂點都是2個六邊形和1個五角星的公共頂點，其頂點圖可以以6.6.5.2表示。

截角大二十面體可以視為由大二十面體透過截角變換構造而得，因此在施萊夫利符號中可以用t{3,⁵/₂} 來表示，其中t代表截角變換，{3,⁵/₂} 表示大二十面體。在考克斯特記號中也可以用來表示。在截角的過程中，將大二十面體的12個頂點截去，產生12個五角星，而原本的三角形面也因此變成了六邊形。

頂點座標

幾何中心位於原點的邊長為1單位長截角大二十面體其頂點座標為：

(±1, 0, ±3/τ)

(±2, ±1/τ, ±1/τ³)

(±(1+1/τ²), ±1, ±2/τ)

其中，τ為黃金比例。截角大二十面體所有頂點皆位於一個球面上。

二面角

截角大二十面體有兩種二面角^[4]，分別為六邊形-六邊形二面角和六邊形-五角星二面角。

其中，六邊形-六邊形二面角為五平方根三分之一的反餘弦值^[5]：

${\displaystyle \cos ^{-1}{({\frac {\sqrt {5}}{3}})}\approx 0.72973\approx 41.81031^{\circ }}$

相關多面體

名稱	大星形十二面體	截角大星形十二面體	大截半二十面体	截角大二十面體	大二十面體
考式（英语：Coxeter-Dynkin digram）
圖像

對偶複合體

截角大二十面體與其對偶的複合體為複合截角大二十面體大星形五角化十二面體。其共有92個面、180條邊和92個頂點，其尤拉示性數為4，虧格為-1，有12個非凸面^[6]。

參見

• 大二十面體

參考文獻

1. Eric W. Weisstein. Truncated Great Icosahedron. 密西根州立大學圖書館. （原始内容存档于2013-06-21）.
2. Eric W. Weisstein. Great Truncated Icosahedron, whose Dual is the Great Stellapentakis Dodecahedron. 密西根州立大學圖書館. （原始内容存档于2013-06-21）.
3. Truncated great icosahedron. bulatov.org. （原始内容存档于2012-06-01）.
4. Johann Pitsch, Über Halbreguläre Sternpolyeder, Zeitschrift für das Realschulwesen 6 (1881), 9-24, 64-65, 72-89, 216.
5. Self-Intersecting Truncated Regular Polyhedra: Truncated Great Icosahedron. dmccooey.com. （原始内容存档于2016-03-04）.
6. compound of great truncated icosahedron and great stellapentakisdodecahedron. bulatov.org. （原始内容存档于2016-09-06）.

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因. 截角大二十面體. MathWorld.