反餘弦

反餘弦（arccosine, ${\displaystyle \arccos }$, ${\displaystyle \cos ^{-1}}$）是一種反三角函數，也是高等數學中的一種基本特殊函數。在三角學中，反餘弦被定義為一個角度，也就是餘弦值的反函數，然而餘弦函數是雙射且不可逆的而不是一個對射函數（即多個值可能只得到一個值，例如1和所有同界角），故無法有反函數，但我們可以限制其定義域，因此，反餘弦是單射和滿射也是可逆的，另外，我們也需要限制值域，且限制值域時，不能和反正弦定義相同的區間，因為這樣會變成一對多，而不構成函數，所以我們將反餘弦函數的值域定義在${\displaystyle \left[0,\pi \right]}$（[0,180°]）。另外，在原始的定義中，若輸入值不在區間${\displaystyle [-1,1]}$，是沒有意義的，但是三角函數擴充到複數之後，若輸入值不在區間${\displaystyle [-1,1]}$，將傳回複數。

反餘弦
性質
奇偶性	非奇非偶函数
定義域	[-1, 1]
到達域	${\displaystyle [0,\pi ]}$ （[0,180°]）
周期	N/A
特定值
當x=0	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ （90°）
當x=+∞	N/A
當x=-∞	N/A
最大值	${\displaystyle \pi }$ （180°）
最小值	${\displaystyle 0}$
其他性質
渐近线	N/A
根	1
拐點	${\displaystyle \left(0,{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$ ${\displaystyle \left(0,90^{\circ }\right)}$
不動點	y軸為弧度時： 0.7390851332152... （42.3464588340929...°） y軸為角度時： 0.999847741531088...° （0.0174506351083467...）
k是一個整數。

命名

反餘弦的數學符號是${\displaystyle \arccos }$，最常被記為${\displaystyle \cos ^{-1}}$。在不同的編程語言和有些計算器則使用acos或acs。

定義

原始的定義是將餘弦函數限制在${\displaystyle [0,\pi ]}$（[0,180°]）的反函數
在複變分析中，反餘弦是這樣定義的:

${\displaystyle \arccos x=-{\mathrm {i} }\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,}$

這個動作使反餘弦被推廣到複數。

拓展到複數的反餘弦函數

性質

反餘弦函數是一個定義在區間${\displaystyle \left[-1,1\right]}$的嚴格遞減連續函數。

${\displaystyle \arccos :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[0,\pi \right]}$

（${\displaystyle \arccos :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[0,180^{\circ }\right]}$）

其圖形是對稱的，即對稱於點${\displaystyle \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)}$，或表示為${\displaystyle \left(0,90^{\circ }\right)}$，所以滿足${\displaystyle \arccos x=\pi -\arccos \left(-x\right)=180^{\circ }-\arccos \left(-x\right)}$
反餘弦函數的導數是：
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$.
反餘弦函數的泰勒級數是：

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos x&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(x+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |x|\leq 1\end{aligned}}}$

基於上述級數在${\displaystyle |x|}$接近1時收斂速度十分緩慢，在${\displaystyle x=-1}$求得的泰勒級數是：

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos x&{}=\pi -{\sqrt {2(x+1)}}\left(1+\left({\frac {1}{4}}\right){\frac {x+1}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{4\cdot 8}}\right){\frac {(x+1)^{2}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{4\cdot 8\cdot 12}}\right){\frac {(x+1)^{3}}{7}}+\cdots \right)\\&{}=\pi -{\sqrt {2(x+1)}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{3n}(n!)^{2}}}\right){\frac {(x+1)^{n}}{(2n+1)}}\end{aligned}}}$

由於先前描述的對稱關係${\displaystyle \arccos x=\pi -\arccos \left(-x\right)}$，可由上式計算${\displaystyle |x|}$接近1時的反餘弦值。

也可以用反餘弦和差公式將兩個餘弦值合併成一個餘弦值:

${\displaystyle \arccos x_{1}+\arccos x_{2}={\begin{cases}\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}\geq 0\\2\pi -\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}<0\end{cases}}}$

${\displaystyle \arccos x_{1}-\arccos x_{2}={\begin{cases}-\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}\geq x_{2}\\\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}<x_{2}\end{cases}}}$.

應用

直角三角形的輻角為其鄰邊和斜邊之間的比率的反餘弦值。

參見

• 餘弦
• 反正弦